Контрольные задания по математике для слушателей заочных подготовительных курсов

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра математики

Контрольные задания по математике

для слушателей заочных подготовительных курсов

Уфа 2003

УДК 51(076)

ББК 22.11

К65

Рекомендовано к изданию методическим советом факультета механизации сельского хозяйства

(протокол от 01.01.01 г)

Составители: ст. преподаватели кафедры математики

,

Ответственный за выпуск:

зав. кафедрой математики

Цель задания – углубление знаний по математике, подготовка к единым государственным экзаменам и вступительным экзаменам в вузы.

Предлагаемые задачи рассчитаны на учащихся, успешно освоивших программу средней школы и способных к самостоятельной работе. Задания содержат задачи средней и повышенной трудности. Для их решения достаточно знаний, полученных в школе.

После каждой контрольной работы приведены примеры решений типовых задач. При наличии нескольких способов решения нужно выбрать из них наиболее простой и интересный и кратко описать другие пути решения задач.

Выполненные задания высылаются в университет для проверки. Проверенные работы отправляются обратно.

К оформлению работы предъявляются следующие требования:

1. Задание должно быть правильно и грамотно оформлено. Каждая работа выполняется в отдельной ученической тетради, на обложке указываются фамилия, имя, отчество, факультет, номер контрольной работы и подробный домашний адрес с указанием почтового индекса

2. Чертежи и графики должны быть выполнены четко. При необходимости чертежи могут быть многоцветными.

3. Решение задач должно быть подробно пояснено с указанием использованных теорем и формул. Для замечаний проверяющего оставляются поля шириной 3см.

Контрольную работу №1 выслать не позднее 25 декабря 2003 г.

Контрольную работу №2 выслать не позднее 10 февраля 2004 г.

Контрольную работу №3 выслать не позднее 20 марта 2004 г.

Контрольную работу №4 выслать не позднее 10 мая 2004 г.

Контрольные работы высылать на проверку г. Уфа – 1,

50 лет Октября,34. БГАУ.

Контрольная работа № 1

1. Решите неравенство: .

2. Чему равна сумма целых чисел, содержащихся в ООФ?

3. Укажите количество целочисленных решений неравенства

4. Решите неравенство: .

5. Упростите функцию:

6. При каком целом положительном x значение выражения ближе всего к –0,7?

7. Укажите все номера только нечетных функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) .

8. Найдите область значения функции .

9. Найдите площадь правильного 12-угольника , если диагональ .

10. При каких значениях параметра а корни уравнения больше 1 ?

Решение типовых задач к контрольной работе №1

1 Решите неравенство: │3-|х-2|│ ≤ 1

Решение: Когда есть модуль в модуле, начинать надо с внутреннего.

Случай 1. х ≤ 2. Тогда │х-2│= 2- х и имеем │3-(2-х)│ ≤ -1 │1+ х│ ≤ 1

Случай 1.1. х ≤ -1. Тогда │1+ х│= -1- х и неравенство принимает вид

- х-1 ≤ 1 х≥-2

Для получения ответа учитываем оба случая и решение неравенства:

Случай 1.2. >-1. Тогда │х+1│= 1+ х и неравенство принимает вид

1+ х ≤ 1 х ≤ 0.

Учитываем оба случая и решение:

Объединяя решения случаев 1.1 и 1.2, получаем

.

Случай 2. . Тогда и имеем

.

Случай 2.1. . Тогда неравенство будет иметь вид

.

Следовательно, .

Случай 2.2. >5. Тогда и неравенство будет

.

Значит, .

Объединяя случаи 2.1 и 2.2, получим .

Чтобы получить ответ, объединяем решения случаев 1 и 2.

Ответ:.

2 Решите неравенство:

>

Решение:

Найдем область определения неравенства:

.

> (1)

Так как обе части неравенства неотрицательны, то на множестве допустимых значений оно равносильно неравенству

>,

полученному возведением в квадрат обеих частей неравенства (1). Последнее неравенство равносильно системе неравенств

Если < 0, т. е. х > , то неравенство (3) не имеет решений (отрицательное не может быть больше положительного).

Если 0, т. е. , то система (2), (3) равносильна неравенству

> >0.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули функции

: ,

Отмечаем нули функции на числовой оси и на полученных интервалах определяем знаки функции :

при ;

при

Учитывая, что , получим ответ <

Ответ:

3 При каком значении параметра а один корень уравнения больше 1, а другой меньше 1.

Решение:

Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось , причем отрезок должен содержать внутри себя точку 1. Следовательно, значение квадратного трехчлена при должно быть отрицательным. Это условие необходимое и достаточное, чтобы выполнялось неравенство

Ответ: .

4 Найдите область значений функции

Решение:

Решим относительно х:

Решим методом интервалов:

Нули функции: или. При функция неотрицательна, при функция отрицательна.

Ответ:

Контрольная работа №2

1. Найдите сумму корней уравнения:

,

принадлежащих отрезку .

2. Упростите выражение: .

3. Вычислите без таблиц и калькулятора:

.

4. Решите неравенство: .

5. Вычислите: , если .

6. Сколько корней имеет уравнение ?

7. Найдите , если .

8. Сколько корней имеет система ?

9. Постройте график функции:

а) ; б)

10. В окружность вписан правильный 9-угольник А1А2А3…А9 с диагональю А1А4, равной 12. В эту же окружность вписан правильный 6-угольник. Найти радиус окружности, вписанной в 6-угольник.

Решение типовых задач

к контрольной работе № 2

1 Вычислите: sin (arctg arccos).

Решение: Пусть . Тогда и и . Воспользуемся формулой

.

Так как , то

,

,

Следовательно,

Ответ: 0.

2 Решите неравенство:

(8)

Решение: Функция является периодической с периодом . Построим график функции на интервале и проведем прямую . Функция возрастает на интервале , а прямая пересекает график этой функции в точке с абсциссой .

y

0 z

Поэтому решениями неравенства (8) на интервале являются все числа х из интервала , а множество всех решений неравенства (8) представляет собой совокупность интервалов вида

Ответ:

3 Решите уравнение: .

Решение: Найдем область определения

Уравнение эквивалентно следующим системам:

1) или

2) , где

Ответ:где

4 Постройте график функции:

.

Решение: По определению

Тогда

График будет иметь вид

y

2

0 1 x

Контрольная работа №3

1. Чему равна сумма корней уравнения:

?

2. Чему равно количество целых решений неравенства:

?

3. Решите уравнение:.

4. Чему равна сумма целых чисел в ООФ:

?

5. Чему равна сумма целых решений неравенства:

?

6. Чему равна сумма корней уравнения:

7. Вычислите без таблиц и калькулятора:

.

8. Решите систему уравнений : .

9. Вычислите значение выражения: .

10. Определите графически число корней уравнения:

.

Решение типовых задач

к контрольной работе № 3

1 Решите неравенство и укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству

Решение: По определению

Случай 1. . Тогда и неравенство принимает вид

.

Обозначим тогда

Найдем нули функции и решим неравенство методом интервалов:

при ; при .

Учитывая, что имеем или

Случай 2. .Тогда . Имеем

Обозначим . Получим

Решим последнее неравенство методом интервалов.

Найдем нули функции

или

- + +

· ·

1 x

Но при учете того, что при любых x, неравенство решений не имеет.

Ответ: .

2 Решите неравенство:

.

Решение: Неравенство равносильно совокупности систем вида

(1) (2)

Система (1) равносильна системе

Система (2) равносильна системе

,

откуда следует, что , так как .

Ответ: .

3 Решите неравенство:

Решение: Данное неравенство равносильно неравенству

которое равносильно совокупности следующих двух систем неравенств:

Для того, чтобы решить системы неравенств (1) и (2), рассмотрим функции .

Их графики пересекаются в точках А и В, абсциссы которых являются корнями соответственно уравнений откуда находим

1) Если то график функции лежит выше графика функции . Поэтому система (14) не имеет решений.

2) Если то график функции лежит выше графика функции на интервалах Поэтому множество решений системы (15) – объединение интервалов

Ответ:

4

а) Найдите значение выражения:

+.

Решение:

Выполним преобразование некоторых слагаемых:

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

При выполнении данного задания использовались свойства:

Ответ: 16.

б) Найдите значение выражения , если .

Решение:

Распишем равенство , следовательно .

Ответ: .

в) , если

Решение:

.

Ответ: .

Контрольная работа №4

1. В течение дня по прямой дороге мимо стоявшего на ней наблюдателя проследовал двигавшийся с постоянной скоростью объект. В 10 ч. расстояние между наблюдателем и объектом составляло 2 км, в 15 ч. – 5 км, а поравнялись они после 7 ч. Какое расстояние между ними было в 11 ч.?

2. Сколько килограммов спирта нужно выпарить из 45 кг 90%-го раствора этого спирта с водой, чтобы сделать его 50%-м?

3. Сумма первых двух членов геометрической прогрессии равна 28, а сумма следующих двух членов равна 252. Найдите сумму первых пяти членов данной прогрессии, если знаменатель прогрессии отрицательный.

4. Радиус основания прямого кругового цилиндра . Найдите объем цилиндра, если площадь его полной поверхности равна . (Число считайте равным 3).

5. Квадрат целого числа, меньшего пяти, умножили на само это число, увеличенное на четырнадцать. Найдите наибольшее значение такого произведения.

6. Найдите наименьшее целое значение функции

7. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали пересекаются в т. О, причем АО=3ОС. Площадь треугольника АОD равна 36. Найдите площадь трапеции.

8. Найдите длину промежутка возрастания функции .

9. При каком натуральном значении параметра а уравнение имеет ровно 2 корня?

10. Число 54 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых, два из которых пропорциональны числам 1 и 2, таким образом, чтобы произведение всех слагаемых была наибольшим.

Решение типовых задач

к контрольной работе № 4

1. Дан треугольник MNK, точка О – центр вписанной окружности. , , . Вычислить величину угла NMK в градусах.

N

Решение:

О – центр вписанной окружности

1)

O

K

М

;

;

; .

2)

;

.

3) .

=.

Здесь используются формулы:

;

;

;

;

;

;

, .

Ответ: .

2 Найдите все такие значения параметра а, при каждом из которых уравнение для любого значения b имеет ровно один корень.

Решение:

Рассмотрим функцию .

Она (как многочлен) определена и непрерывна на множестве действительных чисел. Многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень. Поэтому нам необходимо найти все такие значения параметра а, при каждом из которых для любого значения b этот корень единственный.

Находим . Если точка , в которой меняет знак с “плюса” на “минус”, т. е. если точка максимума функции , то сам максимум может быть равным нулю благодаря выбору

Тогда в силу непрерывности функции будем иметь (кроме ) еще один корень, больший чем , что не соответствует условию задачи.

Таким образом, необходимо и достаточно, чтобы производная была неотрицательна при всех значениях а. Вторая производная имеет критическую точку х=3, откуда находим минимум производной

При производная принимает только неотрицательные значения.

Функция возрастает на R и имеет ровно один корень.

Ответ: .

3 Число 18 разбейте на два слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Решение: Пусть одно из слагаемых равно х, тогда другое по условию 18 – х. Здесь х может принимать любые значения, а функция

должна принимать наименьшее значение.

Имеем . Итак, критическая точка всего одна и (проверьте сами!) является точкой минимума. Значит, минимальное значение принимает при х = 9.

Ответ: 9 и 9.

4 Найдите высоту конуса, имеющего наибольший объем среди всех конусов, вписанных в сферу радиуса R.

Решение: В сечении сферы плоскостью, проходящей через ось конуса, образуется окружность радиуса R с центром в точке О, а в сечении конуса – равнобедренный треугольник АВС.

Пусть D – центр основания конуса, h – его высота, r – радиус основания. Тогда ВD = h, АD = r. Продолжим отрезок BD до пересечения с окружностью Е. Поскольку прямой по свойству перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла, . Пусть V – объем конуса, тогда

Заметим, что и на интервале (0;2R) уравнение имеет единственный корень и

Следовательно, объем является наибольшим при

Ответ:

5 Три числа, сумма которых равна 78, образуют геометрическую прогрессию. Их можно рассматривать также как первый, третий и девятый члены арифметической прогрессии. Найти эти числа.

Решение:

Пусть числа - члены геометрической прогрессии, - члены арифметической прогрессии. Тогда , . Имеем систему уравнений:

,

,

=78,

,

,

, ,

не удовлетворяет;

,

,

,

.

Список рекомендуемой литературы :

1. М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы.- М: Высшая школа, 1996.

2. , Практикум по элементарной математике-М :Просвещение, 1991.

3. Материалы единых государственных экзаменов и контрольные измерительные материалы для подготовки к единому государственному экзамену по математике.

Дополнительные сведения о решении различных задач можно получить в журнале «Квант». Можно использовать любую другую специализированную литературу.

Лицензия РБ на издательскую деятельность № от 2003 года

Подписано в печать __________2003 г. Формат 60х84. Бумага типографская. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л.________.Усл. изд. л._______Тираж_______экз. Заказ№______

Издательство Башкирского государственного аграрного университета.

Типография Башкирского государственного аграрного университета.

Адрес издательства и типографии: 4.