Тест ДВГУ (ДВФУ) Математика. Часть 1
Верно ли, что если вектора a, b, c некомпланарны, то они линейно независимы?
Да.
Нет.
Дайте понятие базиса в трехмерном пространстве.
Три вектора a, b, c образуют базис, если любой вектор d может быть представлен линейной комбинацией векторов a, b, c.
Если для любого вектора d найдутся такие вещественные числа a, m, g, что d = la+ mb + gc, то вектора a, b, c образуют базис.
Чтобы определить базис в трехмерном пространстве, достаточно задать любые три вектора a, b, c.
Любые три неколлинеарных вектора в трехмерном пространстве образуют базис.
Дайте понятие базиса на плоскости.
Если любой вектор c может быть представлен как линейная комбинация векторов a и b, то вектора a и b образуют базис.
a и b - базис, если для любого вектора c существуют числа l и m, такие, что c = la + mb.
a и b образуют базис, если они линейно зависимы.
a и b образуют базис, если они коллинеарны.
Дайте понятие декартовых прямоугольных координат точки.
Декартовыми прямоугольными координатами точки M называются проекции вектора OM на оси Ox, Oy, Oz.
Числа x, y, z называются декартовыми прямоугольными координатами точки M, если выполняется равенство: OM = xi + yj + zk, где i, j, k - декартовый прямоугольный базис.
Дайте понятие коллинеарных векторов.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат в одной плоскости.
Дайте понятие компланарности векторов.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.
Любые три вектора являются компланарными.
Дайте понятие линейных операций над векторами.
Линейными операциями над векторами называют операции сложения векторов и умножения вектора на вещественное число.
Линейными операциями над векторами называют операции возведения векторов в степень числа е.
Дайте понятие упорядоченной тройки векторов.
Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой - вторым и какой - третьим.
Если три вектора имеют начало в одной точке, то они упорядочены.
Если тройка образована перпендикулярными векторами, то она упорядочена.
Как выглядит каноническое уравнение гиперболы?
x2/a2 - y2/b2 = 1
x2 + y2 = 1
Как выглядит каноническое уравнение параболы?
y2 = 2px
xy = p
Как выглядит общее уравнение прямой в пространстве?
Система уравнений: A1x + B1y + C1z + D1 = 0; A2x + B2y + C2z + D2 = 0
A1x + B1y = D
Как выглядит уравнение плоскости в отрезках?
x/a + y/b + z/c = 1
xyz = 1
Как выглядит уравнение прямой в отрезках?
x/a + y/b = 1
a/x + b/y = 1
Как выглядит уравнение прямой, проходящей через заданные точки M1(x1, y1 и M2(x2, y2)?
(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1)
(x-x2)/(x-x1) = (y-y2)/(y-y1)
Как вычисляется определитель второго порядка?
Определитель матрицы A={aij} второго порядка вычисляется по формуле: a11*a22 - a21*a12
Определитель матрицы A={aij} второго порядка вычисляется по формуле: a12*a21 - a11*a22
Как вычисляется расстояние d от точки M до плоскости a?
d(M, a) = |xcosa + ycosb + zcosg - p|
d(M, a) = cosa + cosb + cosg - p
Как вычисляется угол между плоскостями a1 и a2, если (A1, B1, C1) и (A2,B2,C2) - вектора нормалей к соответствующим плоскостям?
Как записывается каноническое уравнение прямой в пространстве?
(x-x0)/l1 = (y-y0)/l2 = (z-z0)/l3
l1(x-x0) + l2(y-y0) = 0
Как записывается каноническое уравнение прямой?
(x-x0)/l1 = (y-y0)/l2
x - kx = y - ky
Как записывается каноническое уравнение эллипса?
x2/a2 + y2/b2 = 1
x2 + y2 = 1
Как записывается координатная форма векторного произведения?
a*b = a1b1 + a2b2 + a3b3.
Как записывается координатная форма смешанного произведения?
Как записывается нормальное уравнение плоскости?
xcosa + ycosb + zcosg - p = 0
x + y + z = 0
Как записывается нормальное уравнение прямой?
xcosa + ysina - p = 0, где p - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, a - угол между единичным вектором нормали, выходящим из начала координат и осью Ox.
x = p
Как записывается общее уравнение плоскости?
Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C - координаты вектора нормали к плоскости.
Ax + By + C =0, где A, B, C - координаты вектора нормали n к плоскости.
Как записывается общее уравнение прямой?
ax + by + c = 0
ax2 + by = 0
Как записывается скалярное произведение векторов a и b, где a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)?
a*b = a1b1 + a2b2 + a3b3.
Скалярное произведение a*b равно сумме попарных произведений соответствующих координат векторов a и b.
a*b = a2b2 + a3b3 + a4b4.
Как записывается уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), не лежащие на одной прямой?
(x-xL)(y-y1)(z-zL)+(x-x2)(y-y2)(z-z2)+(x-x3)(y-y3)(z-z3) = 0
Как записывается уравнение прямой с угловым коэффициентом?
y = kx + b
y = kx - k
Как записывается уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве?
(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)
(x-x0)/l1 = (y-y0)/l2 = (z-z0)/l3
Как записывается формула расстояния d от точки M до прямой l на плоскости?
d(M0,l) = |x0cosa + y0sina - p|
d(M, l) = |x + y - p|
Как можно найти скалярное произведение векторов a и b, если неизвестны их координаты?
a*b = |a|*|b|*cosj, где j - угол между векторами a и b.
a*b = (a+b)*cosj, где j - угол между векторами a и b.
Как определить угол a между прямой и плоскостью, если (A, B,C) - вектор нормали к плоскости, (l1, l2, l3) - направляющий вектор прямой?
sina = (Al+Bl+Cl)/(A+B+C)
Какие основные свойства имеет векторное произведение?
Векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда axb = 0.
axa = 0.
axb = bxa.
(laxb) = l(axb).
ax(b + c) = axb + axc.
a x a = ag.
axb = gbxa.
Какие свойства имеет скалярное произведение?
ab = ba
(aa)b=a(ab), где a - число.
a(b+c) = ab + ac
aa = a2 = |a|2
Если a не равно 0 и b не равно 0, то ab = 0 тогда и только тогда, когда a перпендикулярен b.
a*b = 0 тогда и только тогда, когда a и b компланарны.
Какие системы называются совместными?
Система называется совместной, если она имеет решения.
Это система с ненулевыми коэффициентами при неизвестных.
Каков геометрический смысл смешанного произведения?
Модуль смешанного произведения векторов (axb)c равен объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b и c. Знак смешанного произведения совпадает с ориентацией тройки векторов a, b и c.
Модуль смешанного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, приведенных к общему началу, направление определяется вектором c, знак - ориентацией тройки векторов a, b и c.
Каково необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов?
Равенство нулю их векторного произведения.
Равенство нулю их скалярного произведения.
Каково необходимое и достаточное условие линейной зависимости трех векторов?
Компланарность.
Эти три вектора должны образовывать базис.
Каково условие параллельности плоскостей?
A1/A2 = B1/B2 = C1/C2
A1A2 + B1B2 + C1/C2 = 0
Каково условие перпендикулярности плоскостей?
A1A2 + B1B2 + C1/C2 = 0
A1/A2 = B1/B2 = C1/C2
Каково условие перпендикулярности прямой и плоскости?
A/l1 = B/l2 = C/l3
Al1+Bl2+Cl3 = 0
Каково условие перпендикулярности прямых в случае канонического задания прямых: l:(x-x0)/l1 = (y-y0)/l2 и m:(x-x0)/m1 = (y-y0)/m2?
l1m1 + l2m2 = 0
l1l2 + m1m2 = 0
l1k2 + m1k2 = 0
Каково условие перпендикулярности прямых в случае, если они заданы общими уравнениями l1:A1x + B1y + C1 = 0; l2:A1x + B2y + C2 = 0?
A1A2 + B1B2 = 0
A1B2 + A2B1 = 0
Каково условие перпендикулярности прямых в случае, если они заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y = k1x + b1; y = kx2 + b2?
k2 = -1/k1
k1k2 - 1 = 0
Назовите какое-либо свойство определителей
Сумма произведений элементов одной строки матрицы A n-ного порядка на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.
Если все элементы какой-либо строки (или столбца) матрицы умножить на число c, то ее определитель также умножится на c.
Если матрица имеет две пропорциональные строки (или столбца), то ее определитель равен нулю.
Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной ее строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
При транспонировании матрицы определитель не меняется.
При перемене местами двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
Если все элементы матрицы умножить на число c, то ее определитель также умножится на c.
При транспонировании матрицы определитель меняет знак на противоположный.
Назовите свойства линейной зависимости векторов.
Если в совокупности векторов a1, a2, ..., an есть нулевой вектор, то эта совокупность линейно зависима.
Если в совокупности векторов a1, a2, ..., an есть два одинаковых вектора, то эта совокупность линейно зависима.
Если к линейно зависимой системе k векторов a1, a2, ..., ak добавить векторы akan, то полученная система будет линейно зависимой.
Любая подсистема линейно независимой системы векторов также линейно независима.
Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы можно линейно выразить через другие.
Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы можно выразить через другие.
Любая подсистема линейно зависимой системы векторов также линейно зависима.
Система векторов, содержащая хотя бы два компланарных вектора, является линейно зависимой.
Напишите параметрическое уравнение прямой.
Два уравнения в системе: x = l1t + x0, y = l2t + y0
x/a + y/b = t
Определите операцию умножения матриц
Произведением матрицы A={aij}, (i=1,2,...,m, j=1,2..., n), имеющей порядки m и n, и матрицы B={bij}, (i=1,2,...,n, j=1,2...,p), имеющей порядки n и p, соответственно, называется матрица C={cij}, (i=1,2,...,m, j=1,2...,p), имеющая порядки m и p и элементы cij, определяемые формулой cij = S(k=1...n)aikbkj
Произведением матрицы A={aij}, (i=1,2,...,m, j=1,2...,n), имеющей порядки m и n, и матрицы B={bij}, (i=1,2,...,n, j=1,2...,p), имеющей порядки n и p, соответственно, называется матрица C={cij}
Определите правило сложения матриц.
Суммой двух матриц A={aij}, (i=1,2,...,m, j=1,2..., n) и B={bij}, (i=1,2,...,m, j=1,2..., n) одних и тех же порядков m и n называется матрица C={cij}, (i=1,2,...,m, j=1,2..., n), элементы которой cij=aij+bij
Суммой двух матриц A={aij}, (i=1,2,...,m, j=1,2..., n) и B={bij}, (i=1,2,...,m, j=1,2..., n) одних и тех же порядков m и n называется матрица C={cij}, (i=1,2,...,m, j=1,2..., n), элементы которой cij=aij-bij
Определите правило умножения матрицы на число.
Произведением матрицы A={aij}, (i=1,2,...,m, j=1,2..., n) на вещественное число l называется матрица C={cij}, (i=1,2,...,m, j=1,2...,n), элементы которой равны cij=laij, (i=1,2,...,m, j=1,2...,n)
Произведением матрицы A={aij}, (i=1,2,...,m, j=1,2..., n) на вещественное число l называется матрица C={c<ij}, (i=1,2,...,m, j=1,2..., n), элементы которой равны cij=aij - bij, (i=1,2,...,m, j=1,2...,n)
Приведите пример элементарного преобразования системы линейных уравнений
Умножение какого-либо уравнения системы но число, отличное от нуля.
Прибавление к одному уравнению другого, умноженного на произвольное число.
Перемена местами двух уравнений системы.
Исключение уравнения из системы.
Решение системы.
Сколько базисов образуют два неколлинеарных вектора?
Один и только один базис.
Два базиса.
Ни одного, так как для образования базиса требуется коллинеарность векторов.
Сколько угодно.
Сколько существует разложений вектора по базису?
Единственное.
Сколько угодно.
В зависимости от базиса может быть ни одного, одно, два, или сколько угодно.
Сформулируйте критерий линейной зависимости двух векторов на плоскости.
Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.
Критерий линейной зависимости двух векторов на плоскости - их неколлинеарность.
Сформулируйте правило сложения векторов (правило треугольника).
Суммой векторов a+b называется вектор, начало которого совпадает с началом векторов a и b.
Суммой векторов a+b называется вектор, идущий из начала вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a.
Сформулируйте теорему о линейной зависимости четырех векторов.
Система любых четырех векторов в трехмерном пространстве линейно зависима.
Система четырех векторов линейно зависима, если хотя бы два из них компланарны.
Сформулируйте теорему о разложении вектора по базису.
Для любого вектора d найдутся такие числа l, m, g, что справедливо разложение: d = la + mb + gc, где a, b, c - базис.
Для любого вектора d найдутся такие вектора a, b, c, что d = a + b +c.
Укажите условие параллельности прямой и плоскости
P||l: Al1+Bl2+Cl3 = 0
P||l: A/l1 = B/l2 = C/l3
Чему равен модуль векторного произведения векторов a и b?
Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b.
Это длина перпендикуляра к этим векторам.
Что можно сказать о трех векторах, лежащих в одной плоскости?
Эти вектора линейно зависимы.
Эти вектора коллинеарны.
Эти вектора линейно независимы.
Эти вектора образуют базис.
Что называется вектором?
Вектор - это прямая линия.
Вектор - это направленный отрезок.
Что называют координатами вектора с в данном базисе a и b?
Числа l и m в разложении вектора c в данном базисе.
Два вещественных числа l и m.
Что такое векторное произведение двух векторов?
c является векторным произведением a и b, если |с| = |a|*|b|*sinj, где j - угол между a и b; c ортогонален каждому из векторов a и b; c направлен так, что тройка a, b, c является правой.
c = aL*bL + a*b + a*b.
Что такое гипербола?
Гипербола - геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости есть величина постоянная.
Гипербола - геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости есть величина постоянная.
Гипербола - геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой фокусом.
Что такое линейная зависимость векторов?
Векторы a1, a2, ..., an называются линейно зависимыми, если выполняется равенство a1a1 + a2a2 + ... +anan = 0, где a1, ..., an - числа.
Векторы a1, a2, ..., an называются линейно зависимыми, если выполняется равенство a1a1 + a2a2 + ... +anan = 0, где a1, ..., an - числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля.
Что такое линейная независимость векторов a1, a2, ..., an?
Векторы a1, a2, ..., an называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все числа a1, ..., an равны нулю.
Векторы a1, a2, ..., an называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно в случае, когда среди чисел a1, ..., an есть числа, равные нулю.
Что такое матрица?
Матрица - прямоугольная таблица чисел, содержащая некоторое количество n строк и некоторое количество m столбцов:
Матрица - таблица чисел, содержащая некоторое количество n строк и столбцов: 
Что такое обратная матрица?
Матрица B называется обратной к матрице A (матрицы A, B, E квадратные n-ного порядка), если выполняется условие: AB=BA=E.
Матрица B называется обратной к матрице A (матрицы A, B, E квадратные n-ного порядка), если выполняется условие: AE=B.
Матрица B называется обратной к матрице A (матрицы A, B, E квадратные n-ного порядка), если выполняется условие: A-B=0.
Что такое определенная (крамеровская) система?
Это система, имеющая единственное решение.
Это система, имеющая хотя бы одно решение.
Это система с хотя бы одним ненулевым свободным членом.
Что такое парабола?
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной прямой, расположенной в этой же плоскости, равно расстоянию до некоторой точки этой плоскости.
Парабола - геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости есть величина постоянная.
Что такое смешанное произведение векторов a, b и c?
Если вектор a векторно умножается на вектор b, а затем получившийся вектор скалярно умножается на вектор c, то то в результате получится число, называемое смешанным произведением a, b, c.
Это вектор, получаемый умножением вектора c+ на скалярное произведение векторов a и b.
Что такое эллипс?
Эллипс - геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости есть величина постоянная.
Эллипс - геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой фокусом.
Эллипс - геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости есть величина постоянная.
