Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей Псковской области

«Псковский областной центр развития одаренных детей и юношества»

Областной конкурс «Юные дарования» 2012/2013

«Юный знаток математики»

Очный тур

8 класс

РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ

1. В справочнике «Магия для чайников» написано: «Замените в слове ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЕ одинаковые буквы на одинаковые цифры, а разные – на разные. Если полученное число окажется простым, случится настоящее землетрясение». Возможно ли таким образом устроить землетрясение?

В слове «ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЕ» буква Е встречается 4 раза, а остальные 9 букв встречаются по одному разу. Это значит, что в числе все 10 цифр будут присутствовать по одному разу, а какая-то одна цифра (соответствующая букве Е) - ещё 3 раза сверх того.

Сумма 10 цифр от 0 до 9 равна 45, т. е. кратна 3.Сумма трёх одинаковых цифр также кратна 3. Тем самым, как бы мы не заменяли в слове «ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЕ» буквы на цифры, сумма цифр полученного числа будет кратна трём. Значит, по признаку делимости на 3 и полученное число будет делиться на 3.

Поскольку единственное простое число, делящееся на 3,- это само число 3, а наше число заведомо его больше, полученное число не может быть простым.

Ответ: нет

2. Постройте график функции

Графиком данной функции является прямая с выколотыми точками .

3. Три одинаковые банки с тремя красками наполнены на две трети. Имеется возможность переливать любую часть жидкости из одной банки в другую. Как сделать во всех банках одинаковую смесь, если другой посуды нет и выливать краску нельзя?

Содержимое одной из банок разлить по двум другим, а затем из

полученных двух полных банок налить в пустую по половине банки.

Затем слить остатки в какую-либо из неполных банок. Получим в двух банках одинаковую смесь, можно теперь отлить по из каждой в пустую банку, получим во всех банках по смеси.

4. Пусть . Вычислите значение выражения .

1 способ: из условия следует, что , причём . Подставим: .

2 способ: .

Треугольник АВС равнобедренный: АВ=ВС=1, .

5. Биссектрисы АК и СМ пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АМО.

Так как треугольник АВС - равнобедренный и ABC = 360, то

BАC = BСA = 720 (см. рис.).

Так как АK и СM - биссектрисы треугольника, то

ВАK = CAK = BCM = ACM = 360.

AВK = BAK, значит, АВК - равнобедренный (АК = ВК).

АМС = СКА (по II признаку равенства треугольников), значит, АК = СM и СK = АМ, тогда, ВМ = ВК. АОС - равнобедренный, значит, АО = ОС, так как АК = МС, то МО = ОК.

РАМО = АО + ОМ + АМ = АО + ОК + АМ = AK + AM = ВK + АМ =

= ВМ + АМ = АВ = 1.

Каждая задача оценивалась в 7 баллов, максимально за работу – 35 баллов