МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени
Факультет компьютерных наук и информационных технологий
УТВЕРЖДАЮ
___________________________
"__" __________________20__ г.
Рабочая программа дисциплины
Уравнения математической физики
Направление подготовки
010500 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем
Профиль подготовки
Параллельное программирование
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Саратов,
2011 год
1. Цели освоения дисциплины
Дисциплина "Уравнения математической физики" в основном посвящена исследованию задач для дифференциальных уравнений с частными производными, возникающих из рассмотрения некоторых важных задач физики и механики. Цель курса уравнений математической физики – дать основы общей теории математических моделей, возникающих в механике, электродинамике, оптике, теории теплопередачи и т. д. Преподавание курса имеет целью изложение основных сведений о моделях математической физики, о методах решения задач, сводящихся к дифференциальным уравнениям и к системам дифференциальных уравнений в частных производных, развитие прикладных навыков в контексте комплексного синергетического подхода основной образовательной программы.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Данная учебная дисциплина входит в раздел «Математический и естественнонаучный цикл. Дисциплины по выбору» ФГОС-3.
Для изучения данной дисциплины необходимы компетенции, сформированные у учащихся в курсах: «Алгебра и теория чисел», «Геометрия и топология», «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Функциональный анализ».
Дисциплина имеет логическую и содержательно-методическую взаимосвязь с дисциплиной «Методы вычислений II».
Сформированные в процессе изучения дисциплины «Уравнения математической физики» компетенции, необходимы студенту при изучении дисциплины «Компьютерное моделирование».
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля)
- способность применять знания на практике (ОК-5);
- исследовательские навыки (ОК-6);
- определение общих форм, закономерностей, инструментальных средств для данной дисциплины (ПК-1);
- умение понять поставленную задачу (ПК-2);
- умение формулировать результат (ПК-3);
- умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать математически точных результат (ПК-5);
- умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата (ПК-6);
- умение грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7);
- умение ориентироваться в постановках задач (ПК-8);
- знание корректных постановок классических задач (ПК-9);
- понимание корректности постановок задач (ПК-10);
- способность передавать результат проведенных физико-математических и прикладных исследований в виде конкретных рекомендаций, выраженных в терминах предметной области изучавшегося явления (ПК-15).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
- Знать:
1) основные математические модели, описывающие физические явления, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных;
2) постановки основных типов задач математической физики;
3) свойства решений и методов нахождения решений основных задач математической физики
- Уметь:
1) правильно выбрать математическую модель для изучаемого физического явления;
2) правильно ставить соответствующие задачи;
3) находить решения некоторых основных типов задач;
4) анализировать полученные решения.
- Владеть:
1) навыками решения и демонстрации проведенного решения предлагаемой проблемы или задачи.
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единицы, 180 часов.
№ п/п | Раздел дисциплины | Семестр | Неделя семестра | Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) | Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Формы промежуточной аттестации (по семестрам) | ||
Лекции | Практ. занятия | самост. работа | |||||
1. | Раздел 1. Задачи математической физики | 6 | 1-2 | 8 | 4 | 4 | Контрольная работа (7 неделя) |
2. | Раздел 2. Уравнения гиперболического типа | 6 | 3-7 | 20 | 10 | 10 | Контрольная работа (7 неделя) |
3. | Раздел 3. Уравнения параболического типа | 6 | 8-9 | 8 | 4 | 8 | Контрольная работа (15 неделя) |
4. | Раздел 4. Уравнения эллиптического типа | 6 | 10-14 | 20 | 10 | 12 | Контрольная работа (15 неделя) |
5 | Раздел 5. Уравнения смешанного типа | 6 | 15-16 | 8 | 4 | 5 | Контрольная работа (15 неделя) |
Промежуточная аттестация | Экзамен, 45 часов | ||||||
Итого: 180 | 64 | 32 | 39 | 45 |
Раздел 1. Задачи математической физики
1.1. Общие сведения об уравнениях математической физики. Построение математических моделей физических задач и нахождение их приближенных решений. Понятие корректно и некорректно поставленных задач. Примеры.
1.2. Основные уравнения математической физики – волновое уравнение, уравнение Лапласа, уравнение теплопроводности и другие, физические задачи, приводящие к этим уравнениям. Постановка задач математической физики.
1.3. Классификация уравнений в частных производных второго порядка, приведение к каноническому виду.
Раздел 2. Уравнения гиперболического типа
2.1. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Постановка задачи Коши для одномерного волнового уравнения. Общее решение уравнения, бегущие волны. Формула Даламбера, распространение волн. Корректность задачи Коши для уравнения колебаний струны. Отражение волн в случае полубесконечной струны. Задача Коши для неоднородного уравнения колебания струны. Понятие об обобщенном решении.
2.2. Краевая задача для одномерного волнового уравнения. Постановка краевой задачи для одномерного волнового уравнения. Метод Фурье разделения переменных. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Вещественность собственных значений, ортогональность собственных функций. Ряд Фурье по собственным функциям. Стоячие волны. Функция источника (функция Грина) и ее свойства. Сходимость ряда по собственным функциям к решению краевой задачи. Интеграл энергии, единственность решения краевой задачи. Краевая задача для неоднородного уравнения.
2.3. Задача на характеристиках (задача Гурса). Постановка задачи на характеристиках для общего гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными. Сведение задачи Гурса к системе интегральных уравнений. Существование и единственность решения задачи Гурса.
2.4. Метод Римана. Постановка задачи Коши для общего гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными. Вывод формулы Римана, существование и единственность функции Римана. Симметрия функции Римана. Существование и единственность решения задачи Коши. Задача Коши для телеграфного уравнения.
2.5. Задача Коши и краевые задачи для волнового уравнения. Постановка задачи Коши для трехмерного волнового уравнения. Вывод формулы Кирхгоффа. Распространение волн в пространстве, принцип Гюйгенса. Существование решения задачи Коши. Метод спуска Адамара. Формула Пуассона для двумерного волнового уравнения, цилиндрические волны. Постановка краевых задач для многомерного уравнения. Метод разделения переменных для многомерных задач.
Раздел 3. Уравнения параболического типа
3.1. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности. Принцип максимума и минимума для решений уравнения теплопроводности. Единственность решения задачи Коши. Интеграл Пуассона.
3.2. Краевая задача для уравнения теплопроводности. Постановка краевой задачи для уравнения теплопроводности. Теорема единственности. Решение краевой задачи методом разделения переменных.
Раздел 4. Уравнения эллиптического типа
4.1. Гармонические функции и их свойства. Уравнение Лапласа, гармонические функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Свойства гармонических функций. Основная интегральная формула для гармонических функций. Теорема о среднем. Принцип максимума и минимума для гармонических функций. Тождество Дирихле.
4.2. Основные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона. Уравнения Лапласа и Пуассона. Задачи Дирихле и Неймана для ограниченной области. Единственность и устойчивость решения задачи Дирихле. Необходимое условие разрешимости задачи Неймана. О единственности решения задачи Неймана. Теорема об устранимой особенности. Преобразование Кельвина. Поведение гармонической функции на бесконечности. Задачи Дирихле и Неймана для неограниченных областей. Единственность решения внешних задач Дирихле и Неймана. Сведение внешних задач к внутренним.
4.3. Метод функции Грина решения задач Дирихле и Неймана. Построение функции Грина, ее свойства. Решение задач Дирихле и Неймана с помощью функции Грина. Решение задачи Дирихле для шара. Формула Пуассона.
4.4. Задачи Дирихле и Неймана в двумерном случае. Сведение задачи Неймана к задаче Дирихле. Метод разделения переменных. Решение задачи Дирихле для круга.
4.5. Существование решения задачи Дирихле. Неравенство Гарнака. Теоремы Гарнака о последовательностях гармонических функций. Супергармонические и субгармонические функции, их свойства. Верхние и нижние функции, их свойства. Существование решения задачи Дирихле. Регулярные точки. Достаточные условия регулярности точки. Барьеры, достаточные условия существования барьеров.
4.6. Теория потенциала. Потенциалы простого и двойного слоя, их свойства. Разрыв потенциала двойного слоя и нормальной производной потенциала простого слоя. Решение краевых задач Дирихле и Неймана методом интегральных уравнений. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, исследование полученных интегральных уравнений.
4.7. Потенциал объемных масс, его свойства. Задача Дирихле для уравнения Пуассона. Потенциал объемных масс – решение уравнения Пуассона.
Раздел 5. Уравнения смешанного типа
5.1. Теорема Коши-Ковалевской. Задача Коши для нормальных систем уравнений в частных производных. Теорема Коши-Ковалевской. Мажорантный метод, существование и единственность решения задачи Коши.
5.2. Уравнения смешанного типа. Задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
В скобках указаны примеры заданий из задачников [4, 5] основной литературы.
1. Классификация и приведение к каноническому виду линейных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными:
а) уравнения с постоянными коэффициентами ([4], № 2.1. (п. п.1-6)),
б) уравнения смешанного типа ([4], № 2.2),
в) упрощение канонической формы для уравнений с постоянными коэффициентами ([5], № 95-102),
г) нахождение общего решения уравнения гиперболического типа ([4], № 2.3, 2.11).
2. Задача Коши:
а) метод характеристик ([5], № 000-394, 438-442),
б) метод отражений для полубесконечной струны ([5], № 000-452),
решение уравнения гиперболического типа на полуоси ([5], № 000-455).
3. Метод разделения переменных в однородных смешанных задачах:
а) задачи о свободных колебаниях струны с закрепленными, свободными и упруго закрепленными концами ([4], № 20.1, 20.14 (п. п.1-3)),
б) задачи о теплопроводности в стержне с теплоизолированной боковой поверхностью ([4], № 20.40-20.42),
в) распределение тепла в стержне с теплообменом ([4], № 20.43).
4. Метод разделения переменных в задачах с неоднородными уравнениями:
а) однородные граничные условия ([4], № 20.6, 20.15),
б) неоднородные граничные условия ([4], № 20.9, 20.16).
5. Гармонические функции:
а) проверка гармоничность заданной функции ([5], № 000, п. п. а)-ж)),
б) построение сопряженной гармонической функции в двумерном случае ([5], № 000-172),
в) нахождение общего вида гармонических функций заданного класса (многочлен второй степени, независимых от заданных координат и т. д.) ([5], № 000).
6. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона:
а) краевые задачи на плоскости ([4] № 16.1-16.5),
б) трехмерный случай ([4], № 16.13-16.15).
7. Метод функции Грина:
а) построение функции Грина для некоторых симметричных областей методом отражений ([4], № 17.1-17.2, 17.11),
б) Решение задачи Дирихле ([4], № 17.4-17.9, 17.12-17.17).
5. Образовательные технологии
Наряду со значимым объемом лекционного материала, читаемого автором, содержащего базовую теоретическую часть, сопровождаемую необходимым и полным набором демонстрационных примеров и задач, в рамках курса дисциплины предполагается активное учебное взаимодействие среди обучающихся посредством использования базы контрольных материалов в виде разбора конкретных задач, персонифицированного тренинга обучаемого, в том числе и с позиции формирования и развития общекультурных и профессиональных навыков
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
, Уравнения математической физики. – М.: Наука, 2004.2. , Уравнения математической физики. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.
3. Уравнения математической физики. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010.
4. Сборник задач по уравнениям математической физики / Под ред. B. C. Владимирова. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. С., , Уравнения в частных производных математической физики. – М.: Наука, 1970.
2. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.: Наука, 1983.
3. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1979.
4. Линейные уравнения в частных производных. –
М.: Наука, 1977.
5. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1982.
6. Сборник задач по методам математической физики. – М.: Наука, 1975.
7. , , Сборник задач по уравнениям математической физики. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990.
8. , Сборник задач по уравнениям математической физики. – М.: Наука, 1985.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Учебная аудитория с обязательным наличием специализированной доски, мела (маркера), проектора и возможностью размещения всех обучающихся.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению «010500 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» и профилю подготовки «Параллельное программирование».
Автор:
__________________
Программа одобрена на заседании кафедры математической физики и вычислительной математики от 21 февраля 2011 года, протокол
Зав. кафедрой математической физики и вычислительной математики | ___________ |
|
Декан механико-математического
| __________ |
|
Декан факультета КНИТ к. ф.-м. н. | ___________ |
|
