Подготовка к ЕГЭ по математике.
Тест «Применение производной (прототипы задания В8)»
в двух вариантах
Предмет Алгебра,
Класс 10
Аннотация
Задания данного теста соответствуют теории по теме «Производная и
ее применение». Тест предназначен для проверки знаний, умений и навыков
учащихся 10 – 11 классов по теме "Применение производной". В тесте
представлены два варианта, в каждом из которых десять заданий, прототипов
задачи типа В8 ЕГЭ. К тесту прилагаются ответы и указания к решению
заданий.
Данная задача В8 на применение производной. В задачи дан либо
график функции, либо график производной функции. Если задан график
функции, то найти необходимо максимумы функции, минимумы,
промежутки монотонности..., если задан график производной функции, то
найти требуется то, что относится к графику функции, чаще всего это
количество целых точек, в которых производная положительна или
отрицательна.
Задача №2 данного теста на нахождение точек экстремума по графику
производной. В момент, когда график функции убывает, график
производной функции меньше нуля, в момент, когда график функции
возрастает - производная больше нуля, в момент, когда график функции
находится в своем минимуме или максимуме (эти точки называются
экстремумы - производная равна нулю.
Задача №3,4,8 на нахождение промежутков монотонности (убывания и
возрастания функций) по графику производной и с обратной задачей:
нахождение по графику функции промежутков, в которых производная
положительна или отрицательна (знакопостоянства графика производной
функции).
Задача №5 на нахождение точек, в которых касательная будет
параллельна заданному графику прямой (на графиках функции и ее
производной). Таких заданий всего два типа. В первом случае задан график
функции, для нахождения количества точек, в которых касательная к
графику функции параллельна, необходимо просто подсчитать все точки
максимумов и минимумов на заданном промежутке. Во втором случае задан
график производной функции, для нахождения количества точек, в которых
касательная к графику функции параллельна, необходимо:
1. Найти угловой коэффициент касательной. Это можно сделать двумя
способами:
· Найти производную функции графика прямой, это и есть
угловой коэффициент прямой;
· Взять число, которое стоит перед Х в уравнении, например,
если y=2х+5, то угловой коэффициент равен 2, если y=-х+3, то угловой
коэффициент равен -1
2. провести прямую параллельно оси ОХ через точку на оси ОY,
равную угловому коэффициенту прямой.
3. Подсчитать количество точек пересечения этой прямой с графиком
производной функции.
Задача №7 на нахождение наибольших и наименьших значений
графика функции на заданном промежутке. Здесь важно понять, что если
график функции возрастает, то первое значение отрезка, на котором надо
найти наибольшее или наименьшее значение функции будет наименьшим, а
второе - наибольшим и наоборот, если график функции убывает, то первое
значение отрезка на котором надо найти наибольшее или наименьшее
значение функции будет наибольшим, а второе - наименьшим.
Задание №9 на нахождение значения производной в заданной точке на
графике функции.
Тест «Применение производной (прототипы задания В8)».
ВАРИАНТ 1.
1 На рисунке изображен график функции y = f(x) и отмечены точки -2, -1, 1, 2.
В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите
эту точку.
2 Функция y = f (x)определена на промежутке (-18;6). На рисунке изображен
график ее производной. Найдите число точек минимума функции y = f (x) на
промежутке (-18;6) .
3 На рисунке изображен график функции y = f '(x) — производной y=
f(x)определенной на интервале (–5 , 7) . Найдите промежутки возрастания
функции y= f (x).В ответе укажите произведение всех целых точек, входящих
в эти промежутки.
4 На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале
(–6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции
положительна.
5 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале
(–5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции
параллельна прямой y=6 или совпадает с ней.
6 На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через
начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8.
Найдите значение производной функции в точке х0=8.
7 На рисунке изображен график y=f ‘(x) - производной функции f(x),
определенной на интервале (–8;4). В какой точке отрезка [–7; –3] функция
f(x) принимает наименьшее значение.
8 На рисунке изображен график y=f ‘(x) - производной функции f(x),
определенной на интервале (–2;12). Найдите промежутки убывания функции
f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
9 На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке
с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
10 На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале
(–5;5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна
0.
Тест «Применение производной (прототипы задания В8)».
ВАРИАНТ 2
1 На рисунке изображен график функции и отмечены точки -2, -1, 1,
4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе
укажите эту точку.
2 На рисунке изображен график y=f(x), определенной на интервале (–2;12).
Найдите сумму точек экстремума функции f(x) .
3 На рисунке изображен график y=f ‘(x) - производной функции f(x),
определенной на интервале (–7;4). Найдите промежутки возрастания
функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти
промежутки.
4 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале
(–5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции
f(x) отрицательна.
5 На рисунке изображен график y=f ‘(x) - производной функции f(x),
определенной на интервале (-10;2). Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x-11 или
совпадает с ней.
6 На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через
начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10.
Найдите f'(10).
7 На рисунке изображен график y=f ‘(x) - производной функции f(x),
определенной на интервале (–8;3). В какой точке отрезка [–3;2] функция f(x)
принимает наибольшее значение.
8 На рисунке изображен график y=f ‘(x) - производной функции f(x),
определенной на интервале (-11;3). Найдите промежутки возрастания
функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
9 На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке
с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
10 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале
(-7;5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна
0.
Ключи к тесту.
№ задания | Вариант 1 | Вариант 2 |
1 | Ответ: - 2 Указание. Поскольку в задаче требуется определить точку, в которой значение производной наибольшее, исключим из рассмотрения точки с абсциссами - 1 и 1 – в этих точках функция убывает, и производная в них отрицательна. Функция возрастает в точках -2 и 2. Однако, возрастает она в них по-разному – в точке -2 график функции поднимается круче, чем в точке 2, и следовательно, приращение функции в этой точки, а, значит и производная – больше. | Ответ: 4 Указание. Нас интересует точка, в которой производная принимает наименьшее значение, то есть мы ищем точку, в которой функция уменьшается наиболее быстро – на графике это точка, в которой самый крутой «спуск». Это точка с абсциссой 4. |
2 | 2 | Ответ: 44 Указание. Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44. |
3 | 12 | Ответ: –3 Указание. Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная положительна, то есть интервалам (−7; −5,5), (−2,5; 4). Данные интервалы содержат целые точки –6, –2, –1, 0, 1, 2, 3. Их сумма равна –3. |
4 | Ответ: 4 Указание. Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,6; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4. | Ответ: 8 Указание. Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (−4,3; 1,5) и (2,6; 4,3). В них содержатся целые точки −4, −3, −2, −1, 0, 1, 3, 4. Их 8 штук. |
5 | Ответ: 4 Указание. Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках. | Ответ: 5 Указание. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y=−2x−11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых y'(x0) = −2, геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5. |
6 | Ответ : 1,25 Указание. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид y=kx. Прямая проходит через точку (8; 10), значит, k=1,25. Поскольку угловой коэффициент равен значению производной в точке касания получаем: f'(8)=1,25. | Ответ: - 0,6 Указание. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид y=kx. Прямая проходит через точку (10; −6), значит, k=−0,6. Поскольку угловой коэффициент равен значению производной в точке касания получаем: f'(10)=−0,6. |
7 | Ответ: –7 Указание. На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке -7 | Ответ: –3 Указание. На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −3. |
8 | Ответ: 6 Указание. Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалам (−1; 5) длиной 6 и (7; 11) длиной 4. Длина наибольшего из них 6. | Ответ: 6 Указание. Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (−11; −10), (−7; −1), (2; 3). Наибольший из них — интервал (−7; −1), длина которого 6. |
9 | -2 | 2 |
10 | 4 | Ответ: 8 Указание. Производная к функции f(x) будет равна 0 в точках экстремума. По свойствам точек экстремума касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси абсцисс. На представленном графике 8 точек, удовлетворяющих этому условию. |
Источники
1. , ЕГЭ 2011. Математика. Задача В8. Геометрический смысл
производной. Рабочая тетрадь /Под ред. и . — М.:
МЦНМО, 2013.
2. ЕГЭ-2013. Математика : типовые экзаменационные варианты : 30 вариантов /Под ред.
и . — М. : Национальное образование, 2013.
3. ЕГЭ 2013. Математика. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий ЕГЭ.
, , 2013.
4. Открытый банк заданий ЕГЭ 2012: Задачи В8. http://*****/ege/zadaniev8
5. Банк решенных заданий ЕГЭ по математике. http://*****
6. Решения ЕГЭ по математике – 2013. http://mathnet. *****/rege. php? proto=27491__
