Тема : «Математические задачи в художественных произведениях».
Автор: Щербаков Михаил
Руководитель: , учитель математики.
МБОУ Измайловская СОШ, п. Измайлово
Цель: рассмотреть применение математики в художественных произведениях.
Математические задачи ставят перед читателями авторы некоторых романов, повестей, рассказов, как правило - между делом, зачастую сами не обращая на это внимания. Но если читатель любитель математики, от него такая задача не ускользнет! Он не упустит случая разобраться, что это там предложил автор: разрешима задача или нет, сколько решений, можно ли обобщить. Иногда автор бывает столь любезен, что вместе с условием приводит и решение задачи.
Задача Льва Толстого « Как Пахом покупал землю»
Отрывок из рассказа «Много ли человеку земли нужно»:
«— А цена какая будет? — говорит Пахом. — Цена у нас одна: 1000 руб. за день.
— Какая же это мера — день? Сколько в ней десятин будет?— Мы этого, — говорит, — не умеем считать. А МЫ за день продаем; сколько обойдешь в день, то и твое, а цена 1000 руб.
— Да ведь это, говорит, — в день обойти земли много будет. Засмеялся старшина.
— Вся твоя, — говорит. — Только один уговор, если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги. Только брызнуло из-за края солнце, вскинул Пахом скребку на плечо и пошел в степь…Верст 5 прошел…. Дай пройду еще верст пяток, тогда влево загибать начну. Пошел еще напрямик.«Ну, — думает, в эту сторону довольно забрал; надо загибать». Остановился, вырыл ямку побольше и загнул круто влево. Прошел еще и по этой стороне много; загнул второй угол. Оглянулся Пахом на шихан (бугорок).«Ну, — думает; — длинны стороны взял, надо эту покороче взять»….по третьей стороне всего версты две прошел. И до места все те же верст 15. «Нет, — думает, — хоть кривая дача будет, а надо прямиком поспевать».Вырыл Пахом поскорее ямку и повернул прямиком к шихану»
Решение: По этим данным мы и можем начертить план обойденного Пахомом участка.
Рис.№1.Уточнение маршрута.
Начертим план обойденного Пахомом участка. В четырехугольнике АВСР сторона АВ =10 верстам; СР= 2;верстам; АР= 15; верстам; углы В и С — прямые. Пусть ВС=х проведем перпендикуляр РЕ к АВ (Тогда в прямоугольном треугольнике АЕР нам известны катет АЕ = 8 верстам_и гипотенуза АР = 15 верстам. Неизвестный катет ЕD=13 верстам. Вторая сторона имела длину около 13 верст. Очевидно, Пахом ошибся, считая вторую сторону короче первой. имел перед глазами изображенный выше чертеж когда писал свой рассказ. Теперь легко вычислить и площадь трапеции АВСD со стоящей из прямоугольника ЕВСЕ и прямоугольного треугольника АЕD. Она равна
2х13+1/2 х8х13=78 кв. верстам. Вычисление по формуле трапеции дало бы, конечно, тот же результат:АВ + СР)/2хВС=(10+2)/2х 13= 78 кв. верст. Мы узнали, что Пахом обежал обширный участок площадью в 78 кв. верст, или около 8000 десятин. Десятина обошлась ему в 12,5 копеек.
Задача. Ошибка Джека Лондона
Отрывок из романа Джека Лондона «Маленькая хозяйка большого дома» дает материал для геометрического расчета:
«Посреди поля возвышался стальной шест, врытый глубоко в землю. С верхушки шеста к краю поля тянулся трос, прикрепленный к трактору. Механики нажали рычаг — и мотор заработал. Машина сама двинулась вперед, описывал окружность вокруг шеста, служившего ее центром.
— Чтобы окончательно усовершенствовать машину, — сказал Грэхем, — вам остается превратить окружность, которую она описывает, в квадрат. Да, на квадратном поле пропадает при такой системе очень много земли. Грэхем произвел некоторые вычисления, затем заметил: Теряется примерно три акра из каждых десяти. —Не меньше».
Решение: Расчет неверен: теряется меньше чем 0,3 всей земли. Пусть, в самом деле, сторона квадрата — а. Площадь такого квадрата — а2. Диаметр вписанного круга равен также а, а его площадь (πа2)/4. Пропадающая часть квадратного участка составляет: а2 - (πа2)/4 = (1- π/4)· а2 =0,22а2
Мы видим, что необработанная часть квадратного поля составляет не 30%, как полагали герои американского романтиста, а всего только 22%.
Геометрия Гулливера
Автор «Путешествия Гулливера» Джонатан Свифт с большой осмотрительностью избежал опасности запутаться в геометрических отношениях. В стране лилипутов футу соответствовал дюйм, а в стране великанов, наоборот, дюйму – фут. Другими словами, у лилипутов все люди, все вещи, все произведения природы в 12 раз меньше нормальных, у великанов – во столько же раз больше. Эти, на первый взгляд, простые отношения сильно усложнялись, когда приходилось решать следующие вопросы:
Задача: Во сколько раз Гулливер съедал за обедом больше, чем лилипут?
Во сколько раз Гулливеру требовалось больше сукна на костюм, нежели лилипуту?
Сколько весило яблоко в стране великанов?
Автор «Путешествия» справился с этими задачами в большинстве случаев вполне успешно. Он правильно рассчитал, что раз лилипут ростом меньше Гулливера в 12 раз, то объём его тела меньше в 12 ∙ 12 ∙ 12, т. е. в 1728 раз. Следовательно, для насыщения тела Гулливера нужно в 1728 раз больше пищи, чем для лилипута.
Правильно рассчитал Свифт и количество материала на костюм Гулливеру. Поверхность его тела больше, чем у лилипута, в 12 ∙ 12 = 144 раза; во столько же раз нужно ему больше материала. Надобность производить подобные расчёты возникала у Свифта чуть не на каждой странице.
В новелле «Замок с секретом» детективная история.
Задача: Вычислить, сколько времени понадобится слесарю, чтобы открыть секретный замок сейфа, ключ от которого утерян. Дверь сейфа можно открыть, лишь установив определенным образом 5 дисков с 36 буквами на их краях (то есть подобрав нужный шифр). На составление одной комбинации требовалось три секунды времени.
Можно ли надеяться что шкаф будет открыт в течении 10 рабочих дней.
Решение: Подсчитаем, сколько всех буквенных комбинаций надо было перепробовать.
Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двух буквенных комбинаций возможно 36·36= 362. К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую из 36 буки третьего кружка. Значит, трехбуквенных комбинаций возможно 362· 36=363.
Таким же образом определяем, что четырехбуквенных комбинаций может быть 364 а пятибуквенных 365 илиЧтобы составить эти 60 с лишним миллионов комбинаций, по требовалось бы времени, считая по 3 секунды на каждую,
З х 60=
секунд. Это составляет болеечасов, или почти 6300 восьми рабочих дней — более 20 лет.
Значит шансов на то, что шкаф будет открыт в течение ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на 6300, или один из 630. Это очень малая вероятность.
«Муму»
Задача :«…Из числа всей ее челяди самым замечательным лицом был дворник Герасим, мужчина двенадцати вершков роста, сложенный богатырем и глухонемой от рождения».
Решение: Зная соотношения между старорусскими мерами длины и современными вычислим рост Герасима: 12* 4,5 см = 54 см. Рост младенца в среднем составляет 51-53 см. Какой же Герасим тогда богатырь? Но раньше указывали лишь число вершков, на которое он превышал два аршина. Проведем повторное вычисление:
1) 2*72см = 144см (2 аршина)
2)144 +54= 198см (2 аршина и 12 вершков).
Ответ: рост Герасима был 1м 98см - высокий человек.
« Дедушка Мазай и зайцы»
Задача: « Вижу один островок небольшой-
Зайцы на нем собралися гурьбой.
С каждой минутой вода подбиралась
К бедным зверькам; уж под ними осталось
Меньше аршина земли в ширину,
Меньше сажени в длину».
Каковы же размеры островка в современных единицах длины и площади? S= а*в, а = 1аршин=72см, в=1 сажень =216см. S= 0,72 *2,16 =1,5552 м2. Ответ: островок небольшо
Заключение. Математика красива и многообразна.
О красоте ее форм можно говорить постоянно, и сколько бы мы о ней не говорили, нам не хватит слов. Математика, поражает своими новыми формами из века в век, из поколения в поколение. «Математика … выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного». (Аристотель)
Литература:
«История математики в школе, IV – VI классах», изд. Просвещение, М., 1981, с.240. , «За страницами учебника математики», изд. Просвещение, М., 1996, с.320. «Занимательная геометрия», изд. технико – теоретической литературы, М., 1950, с.296. Детская энциклопедия, т. 11, «Язык и литература», изд. Педагогика, М., 1976, с.480 Интернет-сайты: forum. *****,rasnajamatematika
