Средний размер незатененных участков поверхностей зданий

7.3 Средний размер незатененных участков поверхностей зданий.

Предположим, что точка принадлежит отражающей поверхности здания, которую будем рассматривать как плоский вертикально установленный на поверхности земли экран конечных размеров. Пусть между точками и есть прямая видимость. Очевидно, что при этом также будет прямая видимость на все точки отражающей поверхности, расположенные над точкой (т. е. на точки ) при условии, что z>z2 . Если из точки будет виден горизонтальный отрезок длиной l, то будет просматриваться и вертикальная полоса шириной l над этим отрезком (рис. 7.5).

рис.7.5

Подсчитаем вероятность того, что из точки будет виден горизонтальный отрезок длиной l, содержащий точку . Для расчета воспользуемся уже описанным модельным представлением о множестве случайно размещенных на поверхности земли вертикальных плоских экранов, создающих затенения (см. рис. 7.5). Пусть отражающий экран. на котором выбрана точка B, расположен под углом к отрезку AB (см. рис. 7.6).

рис. 7.6

Выделим подмножество затеняющих экранов длиной L, ориентированных под углом к AB. Когда все экраны одинаковой высоты, или точки A и B выбраны на небольшой высоте у поверхности земли, отрезок cd длиной l не будет даже частично затеняться, если в изображенную на рис. 7.6 фигуру не попадет своей средней точкой ни одна проекция затеняющего экрана. Фигура состоит из двух параллелограммов и треугольника. При площадь этой фигуры приближенно равна

.

При пуассоновском распределении вероятность незатенения всего отрезка cd определяется средним числом пересечений случайно расположенных экранов с границами треугольника Acd. Для подсчета среднего числа пересечений с одинаково ориентированными экранами достаточно умножить указанную площадь на поверхностную плотность центров экранов . Далее нужно выполнить усреднение, как в 7.2, по длинам экранов и по в интервале от 0 до . В итоге среднее число пересечений границ треугольника с любыми экранами окажется равным

.

Окончательно вероятность увидеть весь отрезок cd из точки A имеет вид

. (7.9)

Первый множитель в (7.9) представляет собой вероятность незатенения точки B относительно A и аналогичен (7.6). Поэтому вероятность того, что случайная длина незатененного отрезка cd попадает в интервал [l,l+dl] при условии, что точка B не затенена, равна . С учетом нормировки получаем аналогично (7.3) выражение для условной плотности вероятности случайной длины l незатененного отрезка, удаленного от точки A на расстояние и ориентированного под углом к AB

. (7.10)

Отсюда нетрудно получить значение среднего горизонтального размера незатененных участков поверхностей зданий

. (7.11)

Выведенные соотношения нетрудно обобщить на случай, когда точка A поднята выше крыш домов высоты h. При этом в соответствии с (7.7) увеличивается вероятность прямой видимости между точками A и B и получается следующее выражение для вероятности незатенения отрезка cd относительно точки A

. (7.12)

Формулы (7.10), (7.11) имеют в этом случае тот же вид.