Модели оптимизации производства (стр. 1 )

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

,

Модели оптимизации производства

Методические указания и задания к курсу

«Математические методы и модели

в управлении»

Новосибирск 2011

УДК 658.011.22(075.8)

Методические указания разработаны в соответствии с программой дисциплины "Математические методы и модели в управлении" для высших учебных заведений. Тематика заданий: планирование и управление запасами, планирования замены оборудования и т. д. Прилагаются равноценные варианты и подробные методические указания к решению задач.

Методические указания предназначены для студентов экономических специальностей дневной и заочной формы обучения.

Методические указания и задания рассмотрены и утверждены на заседании кафедры “Менеджмент на транспорте” 13 октября 2010 г.

Составители: доц., канд. экон. наук , доц.

Ответственный редактор:

доцент кафедры “Менеджмент на транспорте”, канд. экон. наук

Рецензент: зав. кафедрой “Социальная психология управления” СГУПС, канд. экон. наук

© Сибирский государственный университет

путей сообщения, 2011

ВВЕДЕНИЕ

В процессе перехода и развития в условиях рыночной экономики промышленные предприятия вынуждены пересматривать свою политику в части хранения и управления запасами (как сырья, так и конечной продукции), замены основных фондов. Правильное и своевременное определение стратегии в данных вопросах позволяет высвободить значительные оборотные средства, что, в конечном итоге, повышает эффективность используемых ресурсов.

В данных методических указаниях рассмотрены основные математические модели, адаптированные для решения этих вопросов. В условиях неопределенности исходных данных (приближения к реальным условиям) возможно использование модификаций данных моделей, усложняющих процесс их решения и анализа.

1. Планирование и управление запасами

ЗАДАНИЕ 1

Объём продажи некоторого магазина составляет N рулонов обоев в месяц. Причем объём спроса равномерно распределен в течение месяца. Магазин производит заказ партии обоев непосредственно у производителя по цене Цз д. е. за рулон. Время доставки заказа от поставщика составляет t рабочих дней (при 6–дневной рабочей неделе). Стоимость подачи заказа составляет Спод д. е., а издержки хранения Схр — 20% среднегодовой стоимости запасов.

Требуется:

1. Найти оптимальный размер заказа обоев у производителя, обеспечивающий минимум годовой общей стоимости запаса единицы продукции.

2. Найти интервал и уровень повторного заказа. Принять, что магазин работает 300 дней в году.

3. Показать, является ли выгодной для магазина скидка S % при заказе размера партии более 500 рулонов.

Исходные данные для решения задачи приведены в приложении П1.

ЗАДАНИЕ 2

Предприятие закупает агрегат с запасными блоками к нему. Стоимость одного блока составляет b д. е. В случае выхода агрегата из строя из–за поломки блока, отсутствующего в запасе, простой агрегата и срочный заказ нового блока к нему обойдется в a д. е. Опытное распределение агрегатов по числу блоков, потребующих замену, представлено в приложении П2. Затраты на один блок при их избытке (b) и недостатке (a) приведены в приложении П3.

Требуется:

1. Определить оптимальное число запасных блоков, которое необходимо приобрести вместе с агрегатом.

2. Подтвердить полученное значение аналитическим путем.

2. Планирование объема производства

ЗАДАНИЕ 3

Производственный процесс компании по производству цветных телевизоров основан по принципу выпуска партии общим объемом N штук в неделю. Спрос на наиболее популярную модель телевизора составляет Ds штук в год и равномерно распределяется в течение года. Вне зависимости от того, в какой момент времени возникает необходимость в производстве партии телевизоров популярной модели, стоимость производственного процесса составляет Спр д. е. Стоимость хранения составляет Схр за штуку.

Требуется:

1. Определить объем партии телевизоров популярной модели, при которой затраты на производство и хранение были минимальны.

2. Рассчитать число производственных циклов в год, их периодичность, а также продолжительность производства одной партии телевизоров. Количество рабочих недель в году — 50.

3. Определить, на сколько процентов увеличиться общая ежегодная стоимость производства телевизоров по сравнению со стоимостью при экономичном размере партии, если объем выпускаемой партии увеличить на 20 единиц.

Исходные данные для решения задачи приведены в приложении П4.

ЗАДАНИЕ 4

На некотором станке производятся детали в количестве P единиц в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке производительностью D единиц в месяц; оставшиеся детали образуют запас. Издержки производства составляют Спр, а издержки хранения — 20% среднегодовой стоимости запасов в год. Стоимость производства одной детали равна К д. е.

Требуется:

1. Определить размер партии деталей, производимой на первом станке, а также частоту организации цикла для производства этих деталей.

2. Рассчитать общую переменную стоимость производства.

3. Проанализировать, как изменяться величины, полученные в п.1, 2, при снижении стоимости производства в 2 раза.

Исходные данные для решения задачи приведены в приложении П5.

3. Планирование замены оборудования

ЗАДАНИЕ 5

В аппарате диспетчерской сигнализации исполь­зуется три типа элементов, которые периодически выходят из строя и подлежат замене. По данным наблюдения за рабо­той элементов установлено распределение 500 элементов по времени их службы (приложение П6). Общее время на замену одного элемента — 6 мин, двух — 8 мин, трех — 9 мин. Стоимость нового элемента — 5000 д. е. Заработная плата механика за за­мену элементов составляет 4000 д. е. в час. Потери от простоев — 6000 д. е. в час.

Требуется:

1.Разработать модель возможного выхода из строя всех типов элементов.

2. Сравнить затраты средств по двум вариантам: а) замена только выбывшего из строя элемента: б) замена всех элементов, если один выходит из строя.

ЗАДАНИЕ 6

Станок эксплуатируется в течение 8 лет, после чего продается. В начале каждого года нужно принять решение сохранить станок или заменить его новым. Стоимость нового станка P=30 д. е. После t лет эксплуатации (1 £ t £ 8) станок можно продать за S(t)=18–2*t д. е. (ликвидная стоимость). Стоимость продукции, производимой на станке возраста t, r(t) и эксплуатационные затраты u(t) на станок приведены в приложении П7, П8.

Требуется определить оптимальную стратегию эксплуатации станка возраста 1…8 лет.

Методические указания к решению задач

1. ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ

ЗАДАНИЕ 1. Решение данной задачи базируется на статической детерминированной модели без дефицита, которая описывает издержки, связанные с наличием запасов, за весь период хранения. В данном случае за период принят год. Рассмотрим механизм решения задачи при следующих исходных данных:

- объем продаж обоев N=50 рулонов в месяц; закупочная цена одного рулона Цз=40 д. е.; время доставки заказа t =12 рабочих дней; стоимость подачи одного заказа Спод=100 д. е.; издержки хранения Схр — 20% среднегодовой стоимости запасов; скидка s =5%.

Общая стоимость запасов в год (Сзап) является суммой общей стоимости подачи в год и общей стоимости хранения запасов в год (рис.1.1).

Стоимость,

д. е.

EOQ Объем заказа, ед.

Рисунок 1.1 Зависимость стоимости и объема заказов

Если потребность в обоях составляет N рулонов в месяц, а каждый заказ подается на партию в q рулонов, то ежегодное количество заказов составит:

, (1.1)

а ежегодная стоимость подачи заказа:

, (1.2)

В простейшей ситуации, когда уровень запасов изменяется линейно (по времени) и принадлежит промежутку от q до 0, средний уровень запасов равен q/2. Тогда ежегодная стоимость хранения определяется по формуле:

, (1.3)

и, следовательно, общая стоимость запасов в год составляет:

, (1.4)

или

, (1.5)

Нетрудно заметить, что если размер заказа невелик, то стоимость подачи заказа является доминирующей. В этом случае заказы подаются часто, но на небольшое количество продукции. Если размер заказа является достаточно большим, основной компонентой становиться стоимость хранения — делается небольшое число заказов, размер которых достаточно велик.

Если принять во внимание стоимость закупки продукции, то можно рассчитать общую годовую стоимость закупки и хранения:

, (1.6)

где — стоимость закупки обоев:

(1.7)

Путем дифференцирования (1.5.) получим, что стоимость запасов Сзап будет минимальна, если объем заказа будет равен:

, (1.8)

Полученный объем называется экономичным размером заказа (EOQ).

Исходя из условия примера, он равен:

Количество заказываемых рулонов должно быть целым, поэтому в качестве EOQ выберем значение 122. Минимальное значение стоимости запасов равно:

д. е.

Общая стоимость закупки и хранения запасов в год:

д. е.

Таким образом, стоимость запасов составляет 3,9% общей стоимости в год.

Заказ новой партии обоев необходим по истечении периода, равного q/(12*N). Если в году 300 рабочих дней, то интервал повторного заказа равен:

,дней (1.9)

Т. е. для нашего примера:

=61 рабочий день

Объем продажи обоев за 12 дней поставки составит:

, (1.10)

рулона

Следовательно, уровень повторного заказа равен 24 рулонам, т. е. подача нового заказа производиться в тот момент, когда уровень запасов равен 24 рулонам.

Если магазин захочет получить скидку производителя, то размер партии увеличится, поскольку в этом случае она должна составлять не менее 500 рулонов в год, тогда как в настоящий момент уровень запасов составляет 122 рулона. Будет ли скомпенсировано увеличение издержек хранения снижением закупочной цены и стоимости подачи заказа?

Из вышеизложенных расчетов имеем, что при закупочной цене 40 д. е. значение общей годовой стоимости составляет 24979,80 д. е. Рассмотрим вариант, когда закупочная цена с учетом скидки 5% равна 38 д. е. Оптимальный уровень запаса равен:

, т. е. 125

Полученное значение меньше, чем 500. Следовательно, оптимальный объем заказа, соответствующий новой цене, не является допустимым. Минимально возможная стоимость за год будет равна:

д. е.

Очевидно, что предоставляемая производителем скидка выгодна магазину, так как приводит к снижению общей стоимости на 159,80 д. е.

ЗАДАНИЕ 2. Решение данной задачи основано на стохастической модели управления запасами, у которой спрос является случайным.

Данные о распределении агрегатов по числу блоков представлено в табл.1.1.

Таблица 1.1 Исходные данные для решения

Число замененных блоков r	0	1	2	3	4	5	6 и более
Статическая вероятность (доля) агрегатов Р(r), которым потребовалась замена r блоков	0,80	0,10	0,05	0,02	0,02	0,01	0,00

Обозначим через s уровень запаса. Если спрос r ниже уровня запаса s, то появляются издержки из–за омертвления средств и увеличиваются затраты на хранение запаса b д. е. на единицу. И, наоборот, если спрос r выше уровня запаса s, то это приводит к "штрафу" за дефицит a д. е. на единицу.

В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривается её среднее значение или математическое ожидание. В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r, имеющем закон распределения Р(r), математическое ожидание суммарных затрат имеет вид:

(1.11)

В выражении (1.11) первое слагаемой учитывает затраты на хранение излишка s-r блоков (при r£ s), а второе — штраф за дефицит на r-s блоков (при r> s).