ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ

"Математический анализ»

для студентов 1 курса дневного отделения экономического факультета

учебный год, 1-й семестр

Преподаватель - доцент

Экзамен представляет собой письменную работу, выполняемую в течение 150 минут и состоящую из двух частей различного уровня сложности. На выполнение заданий первой части, гарантирующих оценку «удовлетворительно», отводится 90 минут. Если студент выполняет задание, он по желанию может взять задание второй части, на выполнение которой отводится 60 минут. В билете указывается количество баллов, которые необходимо набрать по первой части для получения оценки «удовлетворительно», а также общая сумма баллов, необходимая для оценок «хорошо» и «отлично». При выставлении оценки учитываются баллы, полученные в семестре (каждая контрольная, написанная на «3», оценивается в 0,5 балла, на «4» 0,75 балла, на «5» - 1балл) .

ЛИТЕРАТУРА

1. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н. Ш Кремера. М.: Банки и Биржи, ЮНИТИ. 1998 (и позднее).

2. Фоменко анализ. Часть I. - Ростов-на-Дону. 2001

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. . М.: ИНФРА-М. 2001

4. , Спинко к решению задач по математическому анализу. Метод. указания для студентов специальности «Менеджмент организаций» (дневное и заочное отделение экономфака РГУ). - Ростов-на-Дону, 2004

ЧАСТЬ 1

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ (необходимо знать определения и формулировки приводимых утверждений, без доказательств)

1. Модуль вещественного числа, его свойства. Что представляют собой множества, описанные неравенствами: |x|<6; |x-3|>4; |x+2|=5; |x-4|£2; |x|³3 (и им аналогичными)…

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

2. Окрестности числа и бесконечно удаленной точки (определения). Уметь выписывать окрестности заданных точек при различных значениях e.

3. Ограниченность функции (определения, примеры ограниченных и неограниченных функций), связь с существованием конечного предела

4. Замечательный предел, задающий число «e», функции «экспонента» и «натуральный логарифм», их свойства (включая эскиз графика).

5.Теоремы о переходе к пределу в неравенствах.

6. Бесконечно малые функции: определение и свойства.

7. Бесконечно большие функции: определение и свойства.

8. Определения бесконечно малой и бесконечно большой функции, теорема о связи между ними.

9. Теорема об арифметических действиях с пределами функций.

10. Эквивалентные функции, теорема о замене эквивалентных функций, эквивалентность функции своему конечному ненулевому пределу, замечательные пределы и цепочки эквивалентностей.

11. Приращения аргумента и функции, определение непрерывности функции в точке и на множестве, критерий непрерывности функции.

12. Теоремы о непрерывных функциях (формулировки).

13. Понятие об односторонних пределах, теорема о связи с обычным пределом

14. Приращения аргумента и функции, определение производной функции в точке, физический и геометрический смысл производной (уметь записать уравнение касательной, проведенной к графику функции в указанной точке), дифференцируемость в точке и на множестве.

15. Основные правила дифференцирования.

16. Определения производной функции в точке и непрерывности функции в точке, теорема о связи между непрерывностью и дифференцируемостью.

17. Правило Лопиталя.

18. Теорема Лагранжа и ее следствия.

19. Определение возрастания (убывания) функции, достаточные условия (связь со знаком первой производной). Критерий возрастания (убывания).

20. Определение точек локального экстремума и экстремумов функции, необходимое и достаточные условие точки экстремума.

21. Понятие о направлениях выпуклости графика функции (для непрерывной и дифференцируемой функций). Связь со знаком второй производной для дифференцируемой функции.

22. Определение точки перегиба графика функции, необходимое и достаточное условие

23. Частные и полное приращения функции f(x,y), определение частных производных первого порядка.

24. Частные производные f(x,y) второго порядка и теорема о совпадении смешанных частных производных.

25. Направляющие косинусы, теорема о формуле для вычисления такой производной. Градиент функции f(x,y) в точке, его величина и смысл.

26. Определение точки безусловного экстремума функции f(x,y). Стационарные точки. Необходимое условие точки экстремума. Достаточное условие экстремума (через знак дифференциала второго порядка)

27. Определения внутренней и граничной точек множества, внутренности, границы, ограниченного и замкнутого множества. Теорема об абсолютном экстремуме

28. Первообразная функции, теорема о первообразной, понятие о неопределенном интеграле. Теорема Коши.

29. Основные свойства неопределенного интеграла, теорема об интегрировании по частям и теорема о замене переменной для неопределенного интеграла.

30. Теоремы об интегрируемых функциях и основные свойства определенного интеграла.

31. Интеграл с переменным верхним пределом и две теоремы о таком интеграле.

32. Несобственные интегралы с конечной особой точкой (знать определение и уметь проверить сходимость по определению, например, для интегралов ;;)

33. Несобственные интегралы с бесконечной особой точкой (знать определение и уметь проверить сходимость по определению, например, для интегралов ; ;)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ – см. приложение «ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ»

ЧАСТЬ 2

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ (необходимо также знать формулировки тех утверждений, которыми Вы пользуетесь при доказательствах)

1. Определение предела функции на языке окрестностей (уметь сформулировать общее определение, а также выписывать определения на языке «e-d» для конкретных случаев, например, , , ). Единственность предела.

2. Ограниченность функции и теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел (доказывать).

3. Бесконечно малые функции (определение), лемма о представлении функции, имеющей конечный предел (доказывать).

4. Приращения аргумента и функции, определение производной функции в точке, геометрический смысл производной (доказать).

5. Теорема Лагранжа (формулировка), следствия (с доказательством).

6. Определение точек экстремума, необходимое условие экстремума (доказательство для случая точки максимума и точки минимума).

7. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции, определение и их нахождение

8. Второе достаточное условие экстремума и его применение (на примерах)

9. Линейность неопределенного интеграла (доказывать)

10. Теорема об интегрировании по частям для неопределенного интеграла (доказывать).

11. Монотонность определенного интеграла (обе теоремы с доказательством)

12. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ – применение фактов теории, а также

    Определение характера точек разрыва различных функций, в том числе содержащих знак модуля или строчно-заданных функций. Нахождение производных и дифференциалов первого и высших порядков, в том числе показательно-степенных функций Вычисление пределов с использованием правила Лопиталя и эквивалентных функций Дифференцирование функций двух переменных, в том числе нахождение производной в любом направлении, в направлении градиента и т. д. Нахождение безусловных экстремумов функций двух переменных Нахождение условных экстремумов функции двух переменных методом Лагранжа Нахождение неопределенного и определенного интегралов основными методами, упомянутыми в программе 1-й части. Нахождение площадей плоских фигур

ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ К ЧАСТИ 1

Упражнение 1. Найти пределы, не применяя правило Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6)

7) ; 8) ; 9)

Упражнение 2. Дифференцирование функции одного переменного

1) 2)

3) , 4)

5) 6)

7) , (1,5б); 8)

Упражнение 4. Найти дифференциал первого порядка функции в данной точке a.

1)

2)

3)

4)

Упражнение 5. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

1) ; 2) ;

3) ; 4) 5) ;

Упражнение 6. Определить интервалы возрастания-убывания, найти локальные максимумы и минимумы данной функции:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9)

Упражнение 7. Найти наибольшее и наименьшее значения данной функции на указанном отрезке.

1) , [2;4]

2) , [1/2;2]

3) ;

4) , [0;3]

5) , ;

6) , a);

Упражнение 8. Определить направления выпуклости и точки перегиба графика данной функции:

1) ; 2) ; 3) ;

4) 5)

Упражнение 9. Используя правила интегрирования по частям для неопределенных и определенных интегралов, найти:

1) 2) ; 3) ) 4)

Упражнение 10. Найти, применяя внесение под знак дифференциала или используя нужную замену переменных:

1) а) , б) , в) г)

2) а) , б), в) ; г)

3) а) б) , в) , г) ;

Упражнение 11. Найти неопределенные интегралы, содержащие квадратный трехчлен:

а) ; б) ; в) г)

Упражнение 12. Найти интегралы от тригонометрических функций:

1) ; 2) 3) 4)

Упражнение 13. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками следующих функций:

1) ; 2)

3) ; 4)

5) 6)

УПРАЖНЕНИЕ 14. Найти частные производные первого порядка:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

УПРАЖНЕНИЕ 15 Найти полный дифференциал функции в заданной точке:

1),М(2;1); 2) , M(0;2);

3),M(2;0); 4), M(2;1).

УПРАЖНЕНИЕ 16. Найти частные производные второго порядка:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5)

УПРАЖНЕНИЕ 17. Найти производные по указанному направлению в заданной точке, а также градиент и его величину в этой точке

1) , M(1;0), l=(3;-4).

2) , M(1;2), l=(-2;-3).

3) , M(1;-1), l=(-3;1).

УПРАЖНЕНИЕ 18. Найти локальные безусловные экстремумы функций:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5); 6) ;

7) ; 8) ().

УПРАЖНЕНИЕ 19. Найти условные экстремумы функций:

1) при ;

2) при ; 3) при .