УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ РАН
КАФЕДРА ИСТОРИИ И ФИЛОСОФИИ НАУКИ
В. Х. ХАХАНЯН
ПЛАНЫ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ИСТОРИИ И ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
Методическое пособие для аспирантов-математиков 1 года аспирантуры
МОСКВА - 2014
Данное методическое пособие содержит темы семинарских занятий с аспирантами-математиками первого года обучения. Всего представлены темы для 14 занятий. Отдельная тема может занимать и более одного занятия. Каждое занятие содержит материал для подготовки слушателями самостоятельных выступлений в ходе занятия. При составлении настоящего пособия автор использовал:
а) программу философской части кандидатского экзамена по курсу «История и философия науки», предназначенную для аспирантов и соискателей учёных степеней всех научных специальностей, относящихся к блоку математических наук по классификации ВАК РФ.
б) программу, разработанную Учреждением Российской Академии Наук Институтом Философии РАН с участием ряда ведущих специалистов из МГУ им. , СПбГУ и ряда других университетов РФ и одобренную экспертным советом ВАК по философии, социологии и культурологи.
Рекомендуемая литература
А) Основная:
1. Современные философские проблемы естественных, технических и
социально-гуманитарных наук. М., Гардаки, 2007 (под редакцией д.
филос. н. ), стр.на стр. 63 представлены примерные
темы для рефератов).
2. , Перминов и методологические проблемы
математики. М., 1981.
3. Закономерности развития современной математики. Методологические
аспекты. М., Наука, 1987 (под редакцией д. филос. н. ).
4. О науке. М., 1990.
5. Перминов и основания математики. М., 2002.
6. Бесконечность в математике: философские и методологические аспекты
М., 1997 (под редакцией д. филос. н. ).
7. Философия математики и технических наук. М., Академ. Проект, 2006
(под общей редакцией д. филос. н. )
8. Boyer C. S. A History of Mathematics, Wiley and Sons, 1991/
9. Стройк очерк истории математики, М., Наука, 1990.
Б) Дополнительная:
1. Стили в математике. Социокультурная философия математики. Спб.,
1999 (под редакцией д. филос. н. ).
2. , Самохвалов философия математики:
недомогания и лечение. Новосибирск: «Параллель», 2007.
3. Успенский математики, или О математике как части
духовной культуры. «Новый мир», 2007, №№ 11, 12.
4. Бар- Основания теории множеств. М., Мир,
1966.
5. Арнольд дуэль вокруг Бурбаки // Вестник РАН,
2002, т. 72, № 3.
6. Очерки по истории математики. М., 1963.
7. Колмогоров в её историческом развитии (под
редакцией д. ф.-м. н. ).
8. Доказательства и опровержения. Как доказывают теоремы.
М., 1967.
9. Из истории математики // Историко-математические
исследования. М., 1958, Вып. 11.
10. Новиков половина XX века и её итог: кризис физико-
математического сообщества в России и на Западе // Историко-
математические исследования. Вторая серия. М., 2002, Вып. 7(42).
11. Ширяев истории становления математической теории
вероятностей. Вероятность, кн.2, М., МЦНМО, 2004, С. 875-894.
12. Колмогоров русской науки в развитии теории вероятностей.
Избр. труды, т. 4, Математика и математики. Кн. 1 О математике.
М., Наука, 2007, С. 337-352.
13. Лекции о развитии математики в ХIХ столетии. М., Наука,
1989 (большой перечень биографий многих математиков от Абеля до
Энке (см. также Стройк, стр. 232));
14. См. также книгу Стройка на стр. 232, там много ссылок на биографии;
15. Эварист Галуа. Изд-во «Молодая гвардия», 1960;
16. Грани алгебры. М., Факториал Пресс,
2008(наряду с книгой «Основы теории Галуа»,
содержит очень близкое изложение к тому, что, собственно, сделал сам
Э. Галуа).
17. Г. Лолли Философия математики. Наследие двадцатого столетия.
Изд-во Нижегородского госуниверситета 2012. Под ред. Проф.
1. Вводное занятие (лекция в учебной группе).
2. Исторические аспекты развития математики:
а) влияние египетской и вавилонской математики на математику Древней
Греции;
б) зарождение математики, как теоретической науки, в Древней Греции;
в) открытие несоизмеримости; геометрическая алгебра; апории Зенона
Элейского;
г) Демокрит и инфинитезимальные процедуры в Древней Греции;
д) Платон и математика;
е) аксиоматический метод и «Начала» Евклида;
ж) Евдокс; арифметика Диофанта;
з) Аристотель и математика.
3. Исторические аспекты развития математики:
а) математика в древней и средневековой Индии; отрицательные и
иррациональные числа; трактат «Шулва-Сутра»;
б) озарение как обоснование у древних; математика и астрономия;
в) математика в древнем и средневековом Китае; арабский восток и
арабские цифры; выделение алгебры в самостоятельную науку;
г) философия геометрии в связи с попытками доказательства V постулата
в геометрии Евклида (модели); Риман и Лобачевский;
д) средневековая Европа;геометрические и тригонометрические сведения
у Л. Пизанского (Фибоначчи); натурфилософские идеи в математике;
е) схоластики; инфинитезимальные методы; дискуссии о непротиворе-
чивости и бесконечности.
4. Исторические аспекты развития математики:
а) математика в эпоху Возрождения; проблема решения алгебраических
уравнений 3-ей и 4-ой степеней как основа возникновения новых
представлений о математических величинах; достижения в алгебре
Ф. Виета («Введение в аналитическое искусство»);
б) «философская теория» мнимых и комплексных чисел в «Алгебре» и
«Геометрии» Р. Бомбелли (1572); проблема перспективы в живописи
и математика;
в) математика и научно-техническая революция начала Нового времени;
проблема бесконечности; философский контекст аналитической
геометрии Р. Декарта; достижения в алгебре Нового времени и их
естественно-научное значение; ABC-гипотеза и её следствия;
г) первые теоретико-вероятностные представления; «вероятностная»
гносеология в трудах философов и математиков Нового времени и
проблема создания вероятностной логики ();
д) философское значение открытия И. Ньютоном и Г. Лейбницем
дифференциального и интегрального исчисления; вопросы
обоснования алгоритмов дифференциального и интегрального
исчисления; критика Б. Ньютвентвейта и Г. Беркли;
е) нестандартный анализ А. Робинсона и новый взгляд на историю
возникновения и развития анализа бесконечно малых.
5. Исторические аспекты развития математики:
а) развитие математического анализа в XVIII веке; проблемы
обоснования математического анализа в трудах О. Коши и Ж.
Адамара; философские идеи Б. Больца в области теории функций;
б) К. Вейерштрасс и арифметизация математического анализа; теория и
философское значение концепции действительных чисел (Г. Кантор,
Р. Дедекинд, Л. Брауэр, А. Марков);
в) эволюция геометрических представлений в XIX веке (Н. Лобачевский,
Я. Бояи, Б. Риман); обоснование неевклидовых геометрий; различные
виды тригонометрии;
г) Эрлангерская программа Ф. Клейна как новый взгляд на структуру
геометрических знаний;
д) философские взгляды П. Лапласа на сущность вероятности и
становление теории вероятностей как точной науки (парадокc
Бертрана и другие парадоксы в теории вероятностей).
6. Исторические аспекты развития математики:
а) теория множеств как основание математики; Г. Кантор и создание
«наивной» теории множеств;
б) взгляды Г. Фреге на природу математического мышления; программа
логической унификации математики (Б. Рассел);
в) «Основания геометрии» Д. Гильберта и становление геометрии как
формальной аксиоматической дисциплины;
г) философские проблемы теории вероятностей в конце XIX - середине
XX в. в.; новые взгляды на обоснование теории вероятностей
(аппроксимативный и алгоритмический);
Философские аспекты образа математики как науки:
д) предмет и метод математики; философия и методология математики;
е) математика как язык науки, как система моделей; математика и
естествознание, математика и техника;
ж) взгляды на математику философов и учёных (И. Кант, О. Конт,
А. Пуанкаре, Б. Рассел, Л. Брауэр, Д. Гильберт, Н. Лузин, ,
В. Арнольд, Ю. Манин, В. Успенский).
7. Философские аспекты образа математики как науки:
а) синтаксический, семантический и прагматический аспекты в
истолковании предмета математики; отношение математики к
действительности; идеальные объекты математики; нормы и идеалы
математической деятельности; специфика методов математики;
б) доказательства в математике; аксиоматическое построение теории
(содержательное, полуформальное, формальное); математика и логика
(индукция, дедукция, анализ, синтез, аналогия, обобщение,
абстрагирование); интуиция и мысленные эксперименты в математике;
в) структура математического знания (основные математические
дисциплины); структурное и функциональное единство математики;
аксиоматический метод и классификация математического знания;
г) философия математики: возникновение и этапы эволюции; основные
проблемы философии и методологии математики: установление
сущности математики, её предмета и методов, места математики в
науке и культуре; фундаменталистская и нефундаменталистская
(социокультурная) философии математики; философия математики
как раздел философии и как общая методология математики;
д) методология математики, возникновение и эволюция; методы
методологии математики (рефлексивный, проективный,
нормативный); внешние и внутренние функции методологии
математики, её прогностические ориентации.
8. Закономерности развития математики:
а) внутренние и внешние факторы развития математической теории;
«чистая» математика (Г. Харди); национальные математические школы
и их традиции (Л. Бибербах); социальные корни механики Ньютона
(Б. Гессен); культурная роль математики (Р. Уайлдер, В. Успенский);
эстафеты в математике (М. Розов); эволюция математики как переход
от исходной математической практики к последующей;
б) научные революции (Т. Кун), их концепция; применение концепции
научной революции к анализу развития математики; характеристики
преемственности научного знания; Д. Даубен, Е. Коппельман, М. Кроу,
Р. Уайдлер о специфике революций в математике; классификация
революций в математике; отличие математических парадигм от
естественно-научных;
в) фальсификационизм К. Поппера и концепция И. Лакатоса научных
исследовательских программ; возможности применения концепции
И. Лакатоса к изучению развития математики; проблема
существования потенциальных фальсификаторов в математике.
9. Философские концепции математики:
а) пифагореизм как первая философия математики; число как основа
вещей, числовой мистицизм; несоизмеримость и парадоксы Зенона;
пифагореизм у Платона и критика пифагореизма Аристотелем;
б) эмпирическая концепция математических понятий у Аристотеля, у
Ф. Бэкона и И. Ньютона, а также в XVII-XIX вв.; эмпиризм в
философии математики XIX в. (Дж. Ст. Милль, Г. Гельмгольц, Н.
Паш); современная концепция эмпиризма: эмпиризм И. Лакатоса,
натурализм Ф. Китчера; недостатки эмпирического обоснования
математики;
в) философские предпосылки и установки априоризма; умозрительный
характер математических истин; априоризм и обоснование
аналитичности математики у Лейбница; математика как априорное
синтетическое знание у Канта; неевклидовы геометрии и философия
математики Канта; гуссерлевский вариант априоризма; проблема
феноменологического обоснования математики;
г) формалистское понимание существования в математике и его
истоки; имманентная и транзиентная истины по Г. Кантору;
формалистское понимание существования по А. Пуанкаре и Д.
Гильберту.
10. Философские концепции математики:
а) современные концепции математики: эмпирическая философия
(критика евклидианской установки и идеи абсолютного
обоснования математики у И. Лакатоса); априористские идеи в
современной философии и методологии математики;
б) программа Н. Бурбаки и концепция математического
структурализма; математический платонизм; реализм как теория об
онтологической основе математики; радикальный реализм К.
Гёделя; реализм и проблема не индуктивистского обоснования
теории множеств; физикализм; социологические и
социокультурные концепции природы математики.
Философия и проблема обоснования математики:
в) проблема обоснования математического знания на разных стадиях
его развития; геометрическое обоснование алгебры в античности;
проблема обоснования анализа в XVIII в.; поиски единой основы
математики в рамках аксиоматического метода: противоречия
и становление современной проблемы обоснования математики;
аксиома выбора и аксиома детерминированности связанные с
ними разные концепции теории множеств;
г) логицистская установка Г. Фреге; критика психологизма и
кантовского интуиционизма в понимании числа; трудности
концепции Г. Фреге; представление математики на основе логики
отношений и теории типов (Рассел-Уайтхед); результаты К.
Гёделя и А. Тарского и достижения логицизма.
11. Философия и проблема обоснования математики:
а) идеи Л. Брауэра по обоснованию математики; праинтуиция как
исходная база математического мышления; существование в
математике; неоинтуиционизм (интуиционизм) Л. Брауэра (учение
о конструкции); критика логики (законы исключённого третьего и
снятия двойного отрицания); недостаточность интуиционизма;
следствия интуиционизма Л. Брауэра для современной математики
и её методологии; конструктивные течения в математике, школа
конструктивизм ;
б) программа Д. Гильберта абсолютного обоснования
математических теорий на основе финитизма; выход за
пределы финитизма в теоретико-множественных и семантических
доказательствах непротиворечиворечивости арифметики (Г.
Генцен, П. Новиков, Н. Нагорный); роль теорем К. Гёделя в
современных дискуссиях по обоснованию математики.
12. Философско-методологические и исторические проблемы
математизации науки:
а) прикладная математика; логика и особенности приложений
математики; математика как язык науки; уровни математизации:
обработка экспериментальных данных, построение моделей
явлений и процессов, создание математизированных теорий;
б) специфика приложения математики в различных областях знания;
новые возможности применения математики, предлагаемые
теорией категорий, теорией катастроф, теорией топосов,
фракталов; унивалентные основания математики; проблема
поиска адекватного математического аппарата для создания
новых приложений математики.
Философско-методологические и исторические проблемы
математизации науки:
в) математическая гипотеза как метод развития физики;
математическое предвосхищение; «непостижимая
эффективность» математики в физике: проблема рационального
объяснения; этапы математизации в физике (теория
относительности, квантовая механика, суперматематика,
современное состояние физических теорий (теория струн));
проблема единственности физической теории (как проблема
получения адекватного понимания реального мира
(космогоническая картина мира)); выбор подходящих для такого
понимания математических теорий;
г) постклассическая фаза (аксиоматическая и конструктивная
теории поля); перспективы математизации других областей
знания (не физических); границы, трудности и перспективы
математизации гуманитарных наук.
13. Философско-методологические и исторические проблемы
математизации науки:
а) вычислительное, концептуальное и метафорическое
применения математики; границы применимости вероятностно-
статистических методов в научном познании; «моральные»
применения теории вероятностей – иллюзии и реальность;
б) математическое моделирование: предпосылки, этапы
построения модели, выбор критериев адекватности, проблемы
интерпретации; сравнительный анализ математического
моделирования в различных областях знания; математическое
моделирование в экологии: историко-методологический
анализ;
в) применение математики в финансовой сфере: история,
результаты и перспективы; математические методы и модели и
их применение в процессе принятия решений при управлении
сложными социально-экономическими системами:
возможности, перспективы и ограничения.
14. Философско-методологические и исторические проблемы
математизации науки; вопрос обоснования математики:
а) ЭВМ и математика (роль ЭВМ в математическом
моделировании и доказательстве теорем); математический
эксперимент и ЭВМ;
б) основания математики и проблема решения вопроса о
непротиворечивости математических теорий: современное
состояние вопроса.
15. Заключительное занятие (лекция в учебной группе).
