XI Международная дистанционная олимпиада «Эрудит»
Математика
2 тур
Задания
Максимальное количество баллов – 30 баллов
1. 
(3 балла) Каждый день кот Матроскин съедает сосисок ровно в два раза больше своего веса, а каждую ночь худеет в три раза. Однажды, отправляясь на четырехдневную рыбалку, пес Шарик подсчитал и оставил коту Матроскину на пропитание 40 кг сосисок, и этого количества в точности ему хватило. Сколько же весил Матроскин, когда Шарик отправился на рыбалку?
Решение: Пусть Х-вес Матроскина, х+2х= Зх - вес после того, как съедает сосиски; Зх/3=х - вес после ночи; значит 40/4=10 съедает каждый день на рыбалке. Значит вес Матроскина 10/2=5 кг.
Ответ: 5 кг.
2. (3 балла) Однажды пес Шарик и кот Матроскин решили навестить заболевшего дядю Федора и отправились к нему в город. Если они поедут в город на автобусе, а обратно пойдут пешком, то затратят на весь путь 1 ч 30 мин. А, если же они в оба конца поедут на автобусе, то затратят на весь путь всего 30 мин. Сколько же времени на дорогу потратят пес Шарик и кот Матроскин, если они пойдут в город и обратно из города пешком? (Ответ обоснуйте).
Решение: В оба конца автобусом затратит 30 минут, значит, доедет до школы на автобусе за 30 : 2 = 15 минут
1 ч 30 мин -15 мин = 1 ч 15 мин (затратит на дорогу до школы пешком)
1 ч 15 мин * 2 = 2 ч 30 мин (потратит на дорогу, если пойдет пешком в школу и обратно)
Ответ: 2 ч 30 мин
3. (3 балла) Однажды решили Кот Матроскин, пес Шарик, Дядя Федор и почтальон Печкин сложиться деньгами и вторую корову покупать. Матроскин заметил, что, если они сложатся без него, то соберут 90 тыс. рублей, без Шарика – 85 тыс. рублей, без дяди Федора – 80 тыс. рублей, без Печкина – 75 тыс. рублей. Ребята, сколько же денег было у каждого? (Ответ обоснуйте).
Решение:
Пусть х тыс. р. денег было у Матроскина, тогда (х+5) тыс. р. было у – Шарика, (х+10) тыс. р. у дяди Федора, (х+15) тыс. р. было у Печкина.
(х+5)+(х+10)+(х+15)=90
Зх+30=90
Зх=60 х=20
Ответ: Матроскин – 20 тыс. р., Шарик 25 тыс. р., дядя Федор 30 тыс. р., Печкина - 35 тыс. р.
4. (4 балла) Однажды, глубокой темной ночью, друзья – почтальон Печкин, Дядя Федор, пес Шарик и кот Матроскин возвращались с поиска клада. Они заблудились и вышли к реке, через которую шел мост. Матроскин может пройти этот мост за 10 минут, дядя Федор – за 2 минуты, Печкин – за 1 минуту, а Шарик – за 5 минут. Мост выдерживает только двоих друзей, и чтобы не упасть в воду, двигаться по мосту без фонарика нельзя. Смогут ли друзья перейти мост, пока светит фонарик, если заряда его батареек хватит еще ровно на 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя, носить друг друга на руках нельзя).
Решение:
На другой берег пойдут Печкин и дядя Федор. Обратно пойдет дядя Федор = 2 минуты, Туда пойдут шарик и Матроскин =10 минут. Обратно пойдет печкин = 1 минута Туда печкин идядя федр - 2 минуты.
Ответы: успеют перейти за 17 минут.
5. (5 баллов) По дороге от деревни Простоквашино до города, в котором живет дядя Федор, на каждом километре стоит столб с табличкой. На одной стороне табличке написано расстояние до города, на другой – расстояние до Простоквашино. По пути из Простоквашино в город, пес Шарик и Матроскин заметили, что если сложить все цифры, записанные на обеих сторонах таблички, то получится число 13. Найдите расстояние между Простоквашино и городом.
Решение:
Расстояние между селами не может быть больше, чем 49 километров, так как тогда на одном из столбов будет написано с одной стороны 49, а с другой - не 0, то есть, сумма цифр будет больше 13. На первых девяти столбах с одной стороны записаны однозначные числа от 1 до 9, поэтому числа, записанные с другой стороны, также должны быть из одного десятка (чтобы суммы цифр были одинаковы). Следовательно, искомое расстояние выражается числом, оканчивающимся на 9. Числа 9,19, 29 и 39 решениями не являются, так как на первом столбе сумма цифр не будет равна 13. Таким образом, искомое расстояние равно 49 километрам.
Ответ: 49 км.
6. (6 баллов) Однажды, на зимних каникулах в Простоквашино, дядя Федор, пес Шарик и кот Матроскин играли в снежки. Первый снежок бросил Шарик, затем в ответ на каждый попавший в него снежок дядя Федор бросал по 6 снежков, Матроскин – по 5 снежков, а Шарик – по 4 снежка. Когда игра закончилась, игроки решили посчитать, в кого, сколько снежков попало. Найдите, сколько снежков попало в каждого из игроков, если мимо цели пролеснежков? (Ответ обоснуйте).
Решение:
Пусть х снежков бросил Федор, у снежков - Матроскин, z снежков бросил Шарик. Тогда снежков 13+x+y+z, так как 13 не попали в цель. С другой стороны Федор 6х, Матроскин 5 у, Шарик 4z+l. Получаем уравнение 6x+5y+4z+l=13+x+y+z получаем 5x+4y+3z=12. Перебором получаем, х=1, у=1, z=l.
Ответ: Каждый попал по 1 разу
7. (6 баллов) Дядя Федор, Шарик, Матроскин и почтальон Печкин отправились на поиски клада с золотыми монетами, и нашли его. Когда они вернулись домой, то каждые двое друзей сосчитали суммы своих нарытых золотых монет. У них получилось шесть чисел - 14, 18, 28, 28, 38, 42. Определите, сколько золотых монет откопал каждый из друзей (определите эти четыре числа). (Ответ обоснуйте).
Решение:
Дядя Федр + Печкин = 42, Шарик + Печкин = 38, Печкин + Матроскин = 28, Дядя Федор + шарик = 28, Дядя Федор + Матроскин = 18, Матроскин +Шарик = 14 ,=4 - разность, (28-4)/2 = 12-Шарик=2 - Матроскин, 38-12 =26-Печкин=16 - дядя Федор.
Ответ: 12-Шарик, 2- Матроскин, 26-Печкин, 16 - дядя Федор.
