Задания I тура дистанционной олимпиады по математике для учащихся 10 класса

ФГБОУ ВПО «БГПУ» им. М. Акмуллы

Центр развития одаренности школьников

ЗАДАНИЯ

I тура дистанционной олимпиады по математике

для учащихся 10 класса

Вариант 1

1. Разложить на множители

Решение. ((х+y+z)3-x3)-(y3+z3)=(y+z)(x2+2xy+y2+2yz+z2+2xz+x2+xy+xz+x2)----(y+z)(y2-yz+z2)=(y+z)(3x2+3xy+3yz+3xz)=(y+z)(3x(x+y)+3z(y+x))=

=(y+z)(x+y)(3x+3z)=

=3(x+y)(x+z)(y+z).

2. Найти сумму

+ +…+

3. Решить уравнение

+ + + + + =0

4. Углы треугольника связаны соотношением: sinα=2sinβ*cosγ

Доказать, что треугольник равнобедренный.

Решение. Сумма углов треугольника равна 1800, т. е. α+β+γ=1800,

α=1800-(β+γ), sinα=sin(1800-(β+γ))=sin(β+γ)=sinβcosγ+cosβsinγ;

По условию sinα=2sinβ*cosγ. Значит получается, что β=γ. А это

Означает, что треугольник равнобедренный.

5. Стороны одного треугольника равны медианам второго треугольника. Найти отношение площадей этих треугольников.

ВЫПОЛНИЛ

Фамилия_Воробьева _________________________

Имя_____Вера_______________________________

Отчество__Валерьевна________________________

Класс____10_________________________________

Школа__МОБУ СОШ д. Сарышево_____________

Город (село)_________________________________

Район__Мелеузовский_________________________

Ф. И.О. учителя_____