Задания I тура дистанционной олимпиады по математике для учащихся 8 класса

ФГБОУ ВПО «БГПУ» им. М. Акмуллы

Центр развития одаренности школьников

ЗАДАНИЯ

I тура дистанционной олимпиады по математике

для учащихся 8 класса

Вариант 1

1. Разложить на множители

(a-x)-(a-y)+(x-y)=ay3-xy3-ax3+x3y+(x-y)a3=xy(x2-y2)-a(x3-y3)+(x-y)a3=xy(x-y)(x+y)-a(x-y)(x2+xy+y2)+(x-y)a3=(x-y)(xy(x+y)-a(x2+xy+y2)+a3)=(x-y)(x2y+xy2-ax2+axy+ay2+a3)

2. Найти все целые и положительные n, при которых дробь принимает целые значения.

Решение:

(3n2-3n+20):20=(3n2-3n):20+1=(3n(n-1)):20+1
3n(n-1)=0
n=0 (не удовлетворяет); n=1.

3n(n-1) делится нацело на 20,если n=20;40;60 и т. д. и n-1=20,

n = 21 , n = 41, n = 61.

Ответ: При n=1, n=20,21,40,41 и т. д.

3. Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 100 включительно.

Решение:

В каждой десятке есть числа оканчивающееся на цифру 5 , которые при умножении на четное число дает в конце 0 ,таких чисел всего 10 штук, имеются 9 десятков оканчивающееся на 0 , и у числа 100 имеется 2 нуля.
Всего 10+9+2=21(нуль)

Ответ: Произведение всех целых чисел от 1 до 100 включительно оканчивается 21 нулями.

4. Докажите, что биссектрисы внешних углов прямоугольника, пересекаясь, образуют квадрат.

Дано:

ABCD-прямоугольник
AM,BM,BN,CN,CP,DP,DK,AK-биссектрисы внешних углов ABCD

Доказать, что MNPK-квадрат.

Треугольник ABM= Треугольнику CDP-по стороне и прилегающим к ним углам.

Угол А= Углу С= 45градусам.

Угол В= Углу D= 45 градусам.

AB=CD(по условию)

Треугольник BCN= Треугольнику ADK-по стороне и прилежащим к ним углам.
Угол А= Углу В= 45 градусам.

Угол С= Углу D= 45 градусам.

Треугольник BCN, Треугольник ADK, Треугольник ABM, Треугольник CDP-прямоугольные и равнобедренные.

Доказать MNPK-квадрат.

Треугольник ABM и CDP- равнобедренные и прямоугольные.

Треугольник ABM, Угол М=90 градусов, т.к. Угол А= Углу В= 45 градусам.

Треугольник CDP, Угол Р=90 градусов, т.к. Угол С= Углу D= 45 градусам.

Треугольник ABM= Треугольнику CDP- по стороне и прилегающим к ней углам.

АВ=СD(по условию), Угол А= Углу С, Угол В= Углу D.

Получим АМ=ВМ=СD=PD

Аналогично Треугольник BCN= Треугольникy ADK

Получим BN=CN=AK=DK

Получим, что MN=NP=PK=KM

Угол М= Углу N= Углу Р=Углу К= 90 градусам.

Значит МNPK-квадрат, ч. т.д.

5. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?

Решение:
Рассмотрим движение минутной стрелки часов.

20 минут - это 1/3 часа, т. е. 1/3 от 360°. Если идти от нуля, т. е. от штриха, показывающего 12 часов ровно, но это будет угол 360°/3=120°.

Значит, 120°-это угол между минутной стрелкой и нулём.

Рассмотрим движение часовой стрелки часов. За 20 минут часовая стрелка пройдёт 1/3 часть между 12ч и 13ч.

Штрихи, показывающие часы, делят круг в 360° на 12 частей.

1/12 часть круга составляет 30°.

Тогда 1/3 из 30° будет 10°.

Значит, часовая стрелка будет отклонена от нуля на 10°.

Тогда угол между часовой и минутной стрелками в 12 часов 20 минут будет 120°-10°=110°.

Ответ: 110°.

ВЫПОЛНИЛ

Фамилия _________ Азнабаев _________________

Имя _____________ Айнур ____________

Отчество _________ Разихович _________________

Класс ____________8(А)__________________

Школа_ГБОУ_СЛИ_№2________________________

Город (село)_Стерлитамак________________________

Район_______________________________

Ф. И.О. учителя_ ______________________