Рассматриваем третью границу 
: 
. Выразим 
и подставим в выражение функции
.
Ищем наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
Находим 
при 
, а это значение 
не входит в . Теперь выбираем из найденных значений функции 
наибольшее. Это значение равно 6 в точке 
. А наименьшее значение принимается в двух точках 
и 
.
Ответ: 
, 
.
6) Найти производную функции 
в точке 
в направлении от этой точки к точке 
.
Решение. Напишем формулу производной функции по направлению вектора 
.
, где 
- орт направления вектора .
Сначала найдем вектор , в направлении которого будем искать производную. 
= 
. Найдем длину . 
. Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами орта , поэтому 
.
Теперь найдем частные производные функции .
Все найденные значения подставляем в формулу производной по направлению.
Вывод. Функция убывает по направлению вектора 
, так как полученная производная меньше нуля.
Ответ: 
7) Найти формулу вида 
методом наименьших квадратов по данным опыта.
х | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
у | 3,3 | 4,0 | 2,8 | 0,9 | 1,2 |
Решение. Нужно провести прямую так, чтобы сумма квадратов расстояний от точек, данных в таблице, до искомой прямой была наименьшей. Для этого составляется функция 
, которая зависит от двух переменных 
и 
и находится точка ее минимума.
. Это можно записать короче : 
. Находим стационарную точку.
Перепишем эти уравнения так, чтобы потом можно было решить полученную систему линейных уравнений относительно и методом Крамера.
Найдем коэффициенты при и .Для этого составим таблицу.
|
|
|
|
|
1 | 1 | 1 | 3,3 | 3,3 |
2 | 2 | 4 | 4,0 | 8,0 |
3 | 3 | 9 | 2,8 | 8,4 |
4 | 4 | 16 | 0,9 | 3,6 |
5 | 5 | 25 | 1,2 | 6,0 |
Σ | 15 | 55 | 12,2 | 29,3 |
Внизу получились в результате суммирования нужные коэффициенты. Подставляем их в систему:
. Ответ: 
Тема 8. Неопределенный интеграл
Вычислить интегралы:
1)
Можно проверить, что интеграл найден верно. Для этого воспользуемся формулой 
Ответ: 
.
2)
Ответ: 
3)
Ответ: 
4)
Найдем отдельно интегралы.
Подставляя найденные выражения в 
, получим
Ответ: 
5)
Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель так же, как число 231 на 8, столбиком
результат записывается смешанной дробью : 
Аналогично делим многочлены.
Берем степень
, делим на 
, получаем . Затем
умножаем на 
, получаем 
и отнимаем от
. взаимно уничтожаются, 
сносим вниз,
а 
при вычитании становится 
. Затем делим
на , получаем 
. Затем умножаем на 
,
получаем 
и это отнимаем и т. д.
Записываем результат деления 
и подставляем его под знак интеграла 
. Последнее слагаемое представляет собой правильную дробь, которую можно разложить в сумму простейших дробей.
Приравниваем числители дробей 
, 
Теперь
Ответ: 
6)
Ответ : 
.
Так находятся интегралы, если есть хотя бы одна нечетная степень 
и 
. В случае, если имеются только четные степени, интегралы находят с помощью понижения степени по формулам тригонометрии.
7)
Ответ: 
Тема 9. Приложения определенных интегралов
1) Вычислить интегралы.
а) 
=
. Под знаком интеграла неправильная рациональная дробь.
Делим столбиком.
.
Ответ: 
.
б)
Ответ: 
2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 
и
Найдем точки пересечения графиков этих линий. 
прямой 
у 0 1 5 х
Так как 
, то площадь данной фигуры
Ответ: 
3) Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями 
 |
Выбираем, как дано, больше нуля, значит, 
. Так как объем тела вращения 
а в нашем случае 
то
Ответ: 
.
Список литературы
1. , Ершова линейной алгебры и аналитической геометрии. Минск: Высш. шк., 19с.
2. , Никольский математика: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1980, 1984. –120 с.
3. , Никольский и интегральное исчисление.
- М.: Наука, 19с.
4. , , Шумов курс высшей математики. - М.: Высш. шк., 1978. – Т.1. – 384 с.
5. Щипачев высшей математики. - М.: Высш. шк., 1998. –200 с.
6. Элементы линейной алгебры / Сост. , , . Омск: Изд-во ОмГТУ, 1998. – 36 с.
7. Клетеник задач по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1986. –240 с.
8. Берман задач по курсу математического анализа. - М.:Наука, 1977. –416 с.
9. Головина алгебра и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1985.
10. Предел и непрерывность / Сост. , . - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2000. – 36 с.
11. Сборник задач и упражнений по курсу высшей математики / Под ред. .- М.: Высш. шк., 1973. – 576 с.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
