Теория вероятностей (стр. 7 )

10.11. Случайный вектор (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:

Y X 0 1

-1 0,1 0,2

0 0,2 0,2

1 0,1 0,2

Найти математическое ожидание и дисперсию величины

10.12. В продукции завода брак вследствие дефекта A составляет 3 %, а вследствие дефекта B - 4,5 %. Годная продукция составляет 95 %. Найти коэффициент корреляции дефектов A и B . Указание. Ввести в рассмотрение случайную величину X = 1, если данное изделие обладает дефектом A и X = 0 в противном случае. Аналогично Y = 1; 0 в зависимости от того, обладает или нет это изделие дефектом B.

10.13. Два стрелка, независимо друг от друга, делают по два одиночных (независимых) выстрела каждый по своей мишени. Случайная величина X - число попаданий первого стрелка, Y - число попаданий второго стрелка. Вероятность попадания при одном выстреле для первого стрелка P1 = 0,7; для второго P2 = 0,4. Построить матрицу распределения вероятностей системы случайных величин (X,Y).

10.14. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу каждый по своей мишени. Случайная величина X - число попаданий первого стрелка. Y - число попаданий второго стрелка. Вероятность попадания при одном выстреле для первого стрелка P1 = 0,7, для второго P2 = 0,4. Построить матрицу распределения вероятностей системы случайных величин (u,v), где

.

10.15. Система случайных величин (Х,Y) имеет следующее распределение вероятностей:

Y X 0 1

-1 0,1 0,2

0 0,2 0,3

1 0 0,2

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

10.16. Имеется система случайных величин (X,Y), где

и коэффициент корреляции . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

10.17. Случайные величины X и Y связаны соотношением , где - неслучайные величины . Найти: а) Коэффициент корре-ляции ; б) Отношение среднеквадратических отклонений .

10.18. Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X - число появлений шестерки, Y - число появлений нечетной цифры. Описать закон распре-деления случайного вектора (X, Y). Установить зависимы или независимы компоненты Х и Y.

10.19.Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X - число появлений единицы, Y - число появлений нечетной цифры. Описать закон распре-деления случайного вектора (X,Y). Вычислить основные характеристики случайного вектора: .

10.20. Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X - число появлений шестерки, Y - число появлений четной цифры. Описать закон распределения случайного вектора (X, Y). Описать условный закон распределения случайной величины X при условии Y = 2 и при этом условии вычислить условное математическое ожидание .

10.21. Совместное распределение (X,Y) задано формулами:

Найти одномерные распределения X,Y и распределения .

10.22. Совместное распределение задано формулами:

,

Найти совместное распределение случайных величин:

10.23. Совместное распределение (X,Y) задано формулами

Найти

10.24. Совместное распределение случайных величин определяется формулами

Найти Являются ли X,Y независимыми величинами?

10.25. Случайные величины независимы; Найти:

а) коэффициент корреляции величин Х1+Х2, Х3+Х4+Х5; б) коэффициент корреляции величин Х1+Х2+Х3, X3+X4+X5 .

10.26.Дана таблица, определяющая закон распределения системы двух случайных величин (Х,Y):

X Y 2 4 6

1 l 3 0

2 4 2 2

3 5 2 l

Найти: а). , б). в). г) .

10.27. Система случайных величин (Х,Y) распределена по закону, выраженному таблицей:

Y X 0 1

-1 0,1 0,15

0 0,15 0,25

1 0,2 0,15

Описать условный закон распределения случайной величины Х, при условии Y = 0, при этом же условии вычислить условное математическое ожидание .

10.28. В таблице приведены данные о возможных сочетаниях отклонений длины валика (Х) и диаметра (Y) от номинальных размеров и соответствующие вероятности:

X Y	-1	0	1
-2	0,15	0,35	0,05
3	0,10	0,25	0,10

Найти закон распределения случайной величины Z = X + Y и проверить справед-ливость формулы

10.29. Случайные величины независимы. По заданным законам распреде-ления случайных величин найти закон распределения системы случайных величин

X 1 2 3 Y

P 0,3 0,5 0,2 P 0,1 0,4 0,3 0,2

10.30. Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: Х - число появлений шестерки, Y - число появлений нечетной цифры. Вычислить вероятности .

Задача № 11.

11.1. Система случайных величин имеет равномерное распределение внутри квадрата со стороной a. Диагонали квадрата совпадают с осями координат. Определить: а) плотность совместного распределения вероятностей системы (X,Y);

б) плотность распределения вероятностей каждой из случайных величин, входящих в систему.

11.2. Система трех случайных величин (X, Y, Z) распределена равномерно внутри цилиндра, ось которого совпадает с осью OZ и точкой O делится пополам. Радиус цилиндра равен R, а высота 2h. Определить: а) плотность совместного распределения вероятностей системы (X, Y, Z); б) плотность распределения каждой из случайных величин, входящих в систему.

11.3. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью распределения вероятностей , если и если . Найти: 1) a ; 2); 3)дисперсии ;

4) коэффициент корреляции .

11.4. Система двух случайных величин (X,Y) подчинена нормальному закону распределения. Рассеивание круговое. Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y) в круг, центр которого cовпадает с центром рассеивания, а радиус равен двум вероятным отклонениям (Вероятное отклонение где