Теория вероятностей (стр. 8 )

= 0,476936).

11.5. Плотность совместного распределения вероятностей системы случайных величин X,Y имеет вид: , где Определить параметры распределения. Выяснить, зависимы или независимы случайные величины X, Y.

11.6. Плотность совместного распределения системы случайных величин X, Y:

. Найти коэффициент A. Найти законы распределения случайных величин X, Y. Установить, зависимы или нет случайные величины X, Y.

11.7. Система двух случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью совместного распределения: . Определить коэффициент A и найти радиус круга с центром в начале координат, вероятность попадания в который равна P.

11.8. Система случайных величин (X,Y) имеет плотность совместного распределения

, где . Найти a. Написать выражение плотностей распределения случайных величин X и Y. Определить математические ожидания и дисперсии случайных величин X и Y.

11.9. Производится единичное бомбометание по прямоугольной наземной цели. Ширина цели равна 20 м, а длина 100 м. Прицеливание по центру цели. Оси рассеивания совпадают с направлением полета и с перпендикуляром к этому направлению. Вероятное отклонение в направлении полета равно 60 м, в направлении, перпендикулярном полету – 40 м. Систематические ошибки отсут-ствуют. Вероятность попадания в цель при сбрасывании одной бомбы. Указание: Вероятное отклонение

11.10. Плотность совместного распределения системы случайных величин X, Y равна . Определить A. Найти функции распределения и плотности распределения случайных величин, входящих в систему. Определить, зависимы или независимы случайные величины: X, Y.

11.11. Дана плотность совместного распределения случайных величин X, Y:

Определить вероятность попадания в прямоугольник:

y

(2;1,5)

0

(0;-1) (2;-1) х

11.12. Система случайных величин (X, Y) распределена с постоянной плот-ностью внутри квадрата. Найти плотности распределения случайных величин X, Y входящих в систему:

1

-1 1 x

-1

11.13. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью:

Область D - квадрат, ограниченный линиями x = 0; x = 3; y = 0; y = 3.

Найти: а) Коэффициент a; б) вероятность попадания случайной точки (x, y) в квадрат, ограниченный прямыми x = 1, x = 2, y = 1, y = 2; в)

11.14. Определить плотность распределения вероятностей, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин (X, Y), если ,

11.15. Плотность совместного распределения случайных величин (X,Y): Определить: 1) коэффициент A; 2) законы распределения каждой из случайных величин, входящих в систему; 3) математичес-

кие ожидания каждой из случайных величин.

11.16. Плотность совместного распределения системы случайных величин X, Y равна . Найти коэффициент a. Установить, являются ли величины зависимыми. Определить вероятность совместного выполнения двух неравенств x < -3; y < 4.

11.17. Координаты случайной точки (X,Y) раcпределены равномерно внутри прямоугольника, ограниченного прямыми x = 0, x = a, y = 0, y = b. Определить вероятность попадания случайной точки в круг радиуса R = a ,если a > b, а центр круга совпадает с началом координат.

11.18. Координаты (X, Y) случайной точки распределены равномерно внутри прямоугольника, ограниченного прямыми x = a, x = b, y = c , y = d (в > a , d > c). Найти плотность распределения вероятностей и функцию распределения системы случайных величин X, Y. Выяснить, являются ли X, Y независимыми величинами.

11.19. Плотность совместного распределения случайных величин X, Y равна:

в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D - треугольник, ограниченный прямыми Найти а) ; б) коэффициент корреляции , дисперсии

11.20. Плотность совместного распределения системы случайные величины

(X, Y), заданной внутри круга радиуса R , равна . Опреде-лить: 1) постоянную C; 2) вероятность попадания в круг радиуса a < R, если центры обоих кругов совпадают с началом координат.

11.21. Плотность совместного распределения системы случайных величин

(X, Y): в области D и вне этой области. Область D определяется неравенствами Определить: a) постоянную a;

б) ; в) определить коэффициент корреляции r xy.

11.22. Дана плотность совместного распределения системы случайных величин . Определить вероятность попадания случайной точки (x, y) в прямоугольник с вершинами в точках (0; 0), (1; 0), (0; 1), (1; 1).

11.23. Плотность распределения вероятностей двумерного случайного вектора (X, Y) имеет следующий вид: .

Вычислить: а) значение постоянной c; б) вероятность ); в) центр рассеивания.

11.24. Случайные величины X и Y независимы и распределены каждая по показательному закону с параметрами соответственно l1 и l2. Найти вероятность

11.25. Функция совместного распределения двух случайных величин X и Y имеет следующий вид:

Найти одномерные законы распределения компонент и решить вопрос об их зависимости или независимости.

11.26. Случайные величины X и Y независимы и распределены следующим образом: X - по закону N(1; 2), Y - по равномерному закону на отрезке [0; 2].

Найти вероятность следующих событий: , где область

D = {(x,y) / (0 x2, 0y1); B = {X > Y}.

11.27. Случайная точка на плотности (X,Y) распределена по круговому нормальному закону (rxy = 0, sx = sy = s = 1,) с центром рассеивания в начале координат. Вычислить вероятности следующих событий: A = {Y > X},

B = {çYç> X}, C = {Y < 3X}, D = {çXç < 1}, E = {X < 1, Y < 2}.

11.28. Заданы следующие характеристики двумерного нормального вектора:

mx = -2; my = 3 и ковариационная матрица . Записать выражение для плотности распределения вероятностей f(x, y) и вычислить вероятность попадания в эллипс рассеивания с полуосями a = 2sx, b = 2sy.

11.29. Определить вероятность попадания точки с координатами (X, Y) в область, определяемую неравенствами (1 £ X £ 2, 1 £ Y £ 2), если функция распреде-ления

11.30. Определить математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин (X, Y), если плотность распределения вероятностей

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боровков вероятностей. – М.: Наука, 1972. – 288 с.

2. Вентцель вероятностей. – М.: Наука, 1962. – 564 с.

3. , Овчаров вероятностей. Задачи и упражнения. – М.: Наука, 1969. – 366 с.

4. , Овчаров задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь, 1983. – 416 с.

5. Гмурман вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш. школа, 1971. – 479 с.

6. Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. Школа, 1970. – 239 с.

7.Гнеденко теории вероятностей. – М.: Физматгиз, 1965. – 400 с.

8. Гурский вероятностей с элементами математической статистики. –М.: Высш. Школа, 1971. – 328 с.

9. , Скитович по теории вероятностей и математической статистике. – Л.: Изд-во Ленингр. Ун-та, 1967. – 332 с.

10. Ивашов-Мусатов вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука, 1979. –256 с.

11. , Филиппов вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш. Школа, 1973. – 368 с.

12. , Розанов вероятностей. – М.: Наука, 1973. – 494 с.

13. Пугачев вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука, 1979. – 496 с.

14. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / Под ред. . – М.: Наука, 1970. – 632 с.

15. , , Зубков задач по теории вероятностей. – М.: Наука, 1080. – 224 с.

16. Введение в теорию вероятностей и ее приложение. – М.: Мир, 1967. Т.1. – 498 с.

17. Чистяков теории вероятностей. – М.: Наука, 1978. – 224 с.

18. Виленкин . – М.: Наука, 1969. – 328 с.

19. Виленкин комбинаторика. –М.: Наука, 1975. – 208 с.

20. , , . Элементы комбинаторики. – М.: Наука, 1079. – 80 с.