Математика

Брянский государственный университет имени академика

Шестая Брянская корпоративная региональная олимпиада учащейся молодежи

Математика

Заочный тур

2014 г.

10 класс

Задача 1. На окружности располагаются n точек. Каждые две точки соединены отрезком, никакие три отрезка не пересекаются в одной точке внутри окружности. Сколько при этом образовалось треугольников с вершинами в точках пересечения отрезков внутри окружности?

Задача 2. В трапеции с основаниями a и b острые углы в сумме составляют 90°, а меньшая диагональ располагается под прямым углом к основаниям. Найти длины боковых сторон.

Задача 3. Доказать, что в записи бесконечной десятичной дроби, полученной путем следующего сложения:

нет ни одной цифры 8.

Задача 4. Перечислить все натуральные числа a и b такие, что в десятичной записи числа aa содержится b цифр, а в десятичной записи числа bb – a цифр.

Задача 5. Несколько учеников 10 класса в течении 4 минут наблюдали за этапом эстафеты Олимпийского огня в г. Брянске. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за это время факелоносец пробежал ровно 10 метров (бег проходил неравномерно, с остановками для приветствия зрителей). Ни в один момент времени эстафета не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь мог пробежать факелоносец за эти 4 минуты?

Задача 6. Найдите множество значений функции y=sin 2x, если xÎ[arсcos ].

Задача 7. График функции y=x2 был изображен в системе координат Oxy, затем координатные оси были стерты. Как, пользуясь лишь циркулем, линейкой и оставшейся на чертеже параболой, восстановить координатные оси и длину единичного отрезка?

Задача 8. Игра «Львы и антилопы» проводится по следующим правилам: львы охотятся за антилопой на участке саванны, имеющем форму шахматной доски 8×8 клеток. Все участники охоты за один ход могут передвигаться на одну клетку по вертикали или по горизонтали. Вначале ходит антилопа, затем делает ход каждый из львов, независимо друг от друга.

Если антилопа окажется на краю участка, то на следующем ходу она спрыгнет с него и спасется от львов. Если лев оказывается на одной клетке с антилопой, он ловит ее.

Ответьте на следующие вопросы.

1. Если антилопа уже стоит на одной из клеток внутри участка (не крайних), то могут ли два льва расположиться на крайних клетках участка так, чтобы они поймали антилопу?

2. Пусть охотятся три льва, но антилопа в первый раз может сделать два хода один за другим. Доказать, что антилопа спасется от львов, независимо от того, как все участники расположились на участке перед охотой.