4. sin x + cos x = 2
5. sin4x + cos4x = 
Ответы: +, –, +, –, –
22. Фигуры на плоскости
61 Могут ли быть перпендикулярны:
1. диагонали параллелограмма
2. две высоты прямоугольного треугольника
3. два диаметра окружности
4. две прямые, симметричные относительно оси
5. две диагонали правильного 99-угольника
Ответы: +, –, +, +, –
62 В каждой окружности:
1. есть самая большая хорда
2. есть самая маленькая хорда
3. для каждой хорды найдется равная и перпендикулярная ей
4. есть две равные хорды, которые разбивают окружность на попарно различные части
5. любые две равные хорды симметричны относительно некоторой прямой
Ответы: +, –, +, –, +
63 Для каждого правильного n-угольника выполняется следующее утверждение:
1. он имеет ровно n осей симметрии
2. у него есть центр симметрии
3. у него найдутся n равных диагоналей (n > 4);
4. его можно построить циркулем и линейкой
5. при повороте вокруг центра на угол 
он совмещается сам с собой
Ответы: –, –, +, –, +
64 В равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно 2, угол при вершине B больше 40°. В этом треугольнике:
1. угол А меньше 70°
2. боковая сторона АВ больше 1
3. площадь больше 1
4. радиус описанной окружности больше 2
5. радиус вписанной окружности меньше 1
Ответы: +, +, –, +, +
65 В четырехугольнике ABCD угол А равен 60°, углы В и D прямые, AC = CD. Этот четырехугольник обладает следующими свойствами:
1. у него есть ось симметрии
2. его диагонали перпендикулярны
3. в него можно вписать окружность
4. около него можно описать окружность
5. диагональ АС равна сумме сторон АС и CD
Ответы:
23. Прямые и плоскости в пространстве
66 В тетраэдре ABCD точки K, L, M и N – середины сторон AD, BD, BC и AC соответственно. Следующие прямые скрещиваются:
1. AD и BC
2. AL и CK
3. NL и MK
4. AM и KL
5. KN и LM
Ответы: +, +, –, +, –
67 Если для двух плоскостей выполняется одно из следующих условий, то эти плоскости параллельны.
1. Они пересекают третью плоскость по параллельным прямым.
2. Для каждой прямой в одной из них есть параллельная прямая в другой.
3. Они перпендикулярны одной и той же плоскости.
4. Каждая прямая, пересекающая одну из них, пересекает и другую.
5. Они параллельны одной и той же прямой.
Ответы: –, +, –, +, –
68 В результате ортогонального проектирования на некоторую плоскость
1. проекцией плоскости может быть прямая
2. проекцией квадрата может быть прямоугольник с неравными сторонами
3. проекцией тетраэдра может быть треугольник
4. проекцией шара может быть эллипс
5. проекцией куба может быть восьмиугольник
Ответы: +, +, +, –, –
24. Призмы и пирамиды
69 PABCD – правильная четырехугольная пирамида, каждое ребро которой равно 2.
В этой пирамиде
1. расстояние от вершины А до прямой PС равно 2
2. расстояние от вершины С до плоскости BPD больше 1
3. расстояние от центра основания до плоскости PCD больше 1
4. угол между прямыми PA и BC больше угла между прямой РА и плоскостью основания
5. угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания, больше угла наклона боковой грани к плоскости основания
Ответы: +, +, –, +, –
70 В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 1, а боковое ребро равно а. Если выполнено одно из следующих условий, то призма является кубом.
1. а = 1
2. диагональ равна 
3. объем равен 2
4. радиус описанного шара равен 
5. в призму можно вписать шар
Ответы: +, +, –, –, +
71 В тетраэдре PABC боковое ребро PB перпендикулярно основанию. В таком тетраэдре
1. все грани – прямоугольные треугольники
2. ребра АР и ВС взаимно перпендикулярны
3. есть плоскость симметрии
4. площадь грани АРС больше площади основания
5. не может быть тупого двугранного угла
Ответы: –, –, –, +, +
25. Тела вращения
72 Дан шар.
1. Существует единственное сечение, которое имеет наибольшую площадь.
2. Чем сечение дальше от центра, тем его площадь меньше.
3. Сечения, имеющие одинаковую площадь, равноудалены от центра.
4. На его поверхности найдутся четыре точки, попарные расстояния между которыми одинаковы.
5. Через любую точку вне шара можно провести ровно две плоскости, касательные к шару.
Ответы: –, +, +, +, –
73 Радиус основания цилиндр равен R, высота – h. Если выполнено данное условие, то его объем больше 10.
1. h = 1, R < 1,5
2. R = 1, h = 3
3. R = h = 1,3
4. цилиндр вписан в шар радиуса 5
5. R = 1 и наибольшее по площади сечение цилиндра наклонено к плоскости основания под углом 60°
Ответы: –, –, +, –, +
74 Верны следующие утверждения о конусе.
1. Наибольшим по площади его треугольным сечением является осевое.
2. Каждая его плоскость симметрии проходит через его ось.
3. Имеется более пяти разных по форме его сечений, отличных от точки и отрезка.
4. Существует такая плоскость, ортогональная проекция на которую отлична от круга и от треугольника.
5. Площадь любого его сечения меньше площади его боковой поверхности.
Ответы: –, +, +, +, +
26. Многогранники
75 Существует наклонный параллелепипед, у которого:
1. есть плоскость симметрии;
2. все грани ромбы;
3. высоты имеют разную длину;
4. существует описанная сфера;
5. существует вписанная сфера.
Ответы: –, +, +, –, +
76 Дан прямоугольный параллелепипед. Существует
1. его сечение, являющееся трапецией;
2. точка, равноудаленная от всех вершин;
3. точка, равноудаленная от всех граней;
4. его проекция, являющаяся шестиугольником;
5. диагональ, перпендикулярная другой диагонали.
Ответы: +, +, +, +, +
77 Верны следующие утверждения о выпуклых многогранниках.
1. Существует многогранник с любым числом граней, большим трех.
2. Существует многогранник с любым числом ребер, большим семи.
3. Существует многогранник с любым числом вершин, большим трех.
4. Существует многогранник, имеющий одинаковое число вершин и ребер.
5. Существует многогранник, имеющий одинаковое число вершин и граней.
Ответы: +, +, +, –, +
27. Площади
78 Площадь треугольника больше 1, если:
1. Одна из его сторон равна 1, а другая равна 2;
2. Одна из его сторон равна 100, другая равна 200, а третья равна 300;
3. Одна его сторона равна 2, а углы при ней равны 80° и 70°;
4. Одна его сторона равна 4, другая сторона равна 5, а угол против стороны, равной 5, равен 30°;
5. Радиус вписанной окружности равен 1.
Ответ:
79 Площадь сечения может равняться:
1. 4, если это сечение шара радиусом 1;
2. 5, если это сечение куба с ребром 1;
3. 4, если это сечение цилиндра с радиусом 1 и образующей 1;
4. 2, если это сечение конуса и проходит через его вершину. Образующая поверхности конуса равна 2 и составляет с плоскостью основания угол 150.
5. 4/5, если это сечение правильной треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 1 и попарно перпендикулярны.
Ответы: –, –, –, +, +
80 Диаметр основания конуса равен образующей его поверхности и равен 2. В таком конусе:
1. Площадь осевого сечения больше, чем 1,5.
2. Существует сечение, параллельное основанию, площадь которого равна 1.
3. Существует сечение, проходящее через вершину конуса, площадь которого меньше, чем 0,01.
4. Наибольшая площадь треугольного сечения равна 2.
5. Существует сечение с площадью, равной 8.
28. Объемы
81 Объем некоторого цилиндра больше 10, если
1. Радиус его основания больше 1 и его высота больше 1;
2. Радиус его основания меньше 1 и его высота меньше 2;
3. Его осевым сечением является квадрат со стороной 3;
4. Диагональ его осевого сечения равна 4 и образует с плоскостью основания угол 600;
5. Он вписан в шар радиуса 2.
Ответы: ?, –, +, +, –
82 Объем некоторой призмы больше 5, если этой призмой является
1. Куб с диагональю 3;
2. Прямоугольный параллелепипед, диагональ которого равна 3 и составляет с его ребрами углы 450;
3. Прямой параллелепипед, у которого все ребра равны 1;
4. Наклонный параллелепипед, у которого все ребра равны 2;
5. Правильная треугольная призма, каждое ребро которой больше 2.
Ответы: +, –, –, ?, ?
83 Объем пирамиды больше 1, если этой пирамидой является
1. Правильный тетраэдр с ребром большим, чем 2;
2. Правильная треугольная пирамида, у которой боковые ребра равны 2 и все плоские углы при вершине прямые;
3. Правильная треугольная пирамида, у которой боковые ребра равны 10, а плоский угол при вершине равен 10;
4. Четырехугольная пирамида, у которой все ребра равны 2;
5. Тетраэдр, в котором две грани являются равносторонними треугольниками со стороной 10, а угол между этими гранями тупой.
Ответы: +, +, –, +, –
84 Это утверждение верно.
1. Радиус шара пропорционален кубическому корню его объема;
2. Если радиус шара больше 1, то объем этого шара больше 4;
3. Чем больше объем шара, тем больше объем правильного тетраэдра, вписанного в него;
4. Если даны шары радиусами R1 и R2 с объемами V1 и V2 соответственно, причем R2 = 2R1, то V2/V1<7;
5. Если даны шары радиусами R1 и R2 с объемами V1 и V2 соответственно, и V2 > 2V1, то R2/R1 > 1.
Ответы: +, +, +, –, –
85 Объем некоторого тела больше 10, если это тело:
1. прямоугольный параллелепипед, диагональ которого, равная 30, образует равные углы с гранями, имеющими с ней общую точку;
2. тетраэдр, у которого пять ребер равны 4;
3. правильная четырехугольная пирамида, у которой боковые ребра равны 2;
4. цилиндр, у которого осевое сечение имеет площадь 6;
5. конус с площадью поверхности 16.
29. Вероятности
86 Вероятность указанного события не превосходит половины.
1. При бросании игральной кости выпадет четное число очков.
2. При бросании пары игральных костей в сумме выпадет не более семи очков.
3. При двух последовательных бросаниях игральной кости ни разу не выпадет ни единица, ни шестерка.
4. При трех последовательных бросаниях пары игральных костей на них хоть раз выпадет в сумме 10 очков или больше.
5. При трех последовательных бросаниях игральной кости каждый раз выпадает разное количество очков.
Ответы: +, –, +, +, –
87 9 монет случайным образом раскладывают в три различных кармана. Вероятность указанного события равна p.
1. Монеты различны, первый карман оказался пустым. 
0,026
2. Монеты различны, в каждом кармане по три монеты. 
3. Монеты одинаковы, первый карман оказался пустым. 
4. Монеты одинаковы, в каждом кармане по три монеты. 
5. Монеты различны, пустых карманов нет. 
Ответы: +, +, –, +,
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
