Математическая олимпиада школьников г. Омска
имени

второй (городской) этап
23.12.06 · 9 класс

Решением Оргкомитета имя профессора , основателя и
бессменного председателя жюри городской олимпиады, присвоено
математической олимпиаде школьников г. Омска.

1. При каких значениях а уравнения и имеют хотя бы один общий корень?

2. В треугольнике АВС проведена медиана BD, а на продолжении стороны ВС за точку В отмечена точка F. Прямая FD пересекает сторону АВ в точке Е, причем площади треугольников FBE и AED оказались равными. Докажите, что равны площади треугольников FEC и АЕС.

3. Натуральные числа от 1 до 100 выписаны по одному на карточках. Вася составляет наборы из трех карточек так, чтобы в каждом наборе одно из чисел равнялось произведению двух других. Какое наибольшее количество таких наборов могло получиться у Васи?

4. Простые числа подобраны так, что выполнено равенство . Докажите, что эти числа равны.

5. Сторона ВС треугольника АВС равна полусумме двух других сторон. Докажите, что вершина А треугольника, середины сторон АВ и АС, а также центры вписанной и описанной окружностей треугольника лежат на одной окружности.

6. Три приведенных квадратных трехчлена , и подобраны так, что при всех значениях аргумента выполнены неравенства
и . Докажите неравенство .

Математическая олимпиада школьников г. Омска
имени

второй (городской) этап
23.12.06 · 9 класс

Решением Оргкомитета имя профессора , основателя и
бессменного председателя жюри городской олимпиады, присвоено
математической олимпиаде школьников г. Омска.

1. При каких значениях а уравнения и имеют хотя бы один общий корень?

2. В треугольнике АВС проведена медиана BD, а на продолжении стороны ВС за точку В отмечена точка F. Прямая FD пересекает сторону АВ в точке Е, причем площади треугольников FBE и AED оказались равными. Докажите, что равны площади треугольников FEC и АЕС.

3. Натуральные числа от 1 до 100 выписаны по одному на карточках. Вася составляет наборы из трех карточек так, чтобы в каждом наборе одно из чисел равнялось произведению двух других. Какое наибольшее количество таких наборов могло получиться у Васи?

4. Простые числа подобраны так, что выполнено равенство . Докажите, что эти числа равны.

5. Сторона ВС треугольника АВС равна полусумме двух других сторон. Докажите, что вершина А треугольника, середины сторон АВ и АС, а также центры вписанной и описанной окружностей треугольника лежат на одной окружности.

6. Три приведенных квадратных трехчлена , и подобраны так, что при всех значениях аргумента выполнены неравенства
и . Докажите неравенство .

© Оргкомитет, 2006