Программа вступительного испытания по математике

Минобрнауки России

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

В помощь абитуриентам

ПРОГРАММА

вступительного испытания

по математике

КИРОВ

2013

Печатается по решению

редакционно-издательского отдела

Вятского государственного гуманитарного университета

Программа вступительного экзамена по математике разработана для абитуриентов 2013 года, имеющих право сдавать вступительные испытания в форме, устанавливаемой Университетом самостоятельно.

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

Программа вступительного экзамена по математике разработана на основе государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования.

Настоящая программа состоит из трех разделов:

· В первом разделе перечислены основные математические понятия, которыми должен владеть поступающий на письменном экзамене.

· Второй раздел представляет собой перечень основных теорем и формул. При подготовке к письменному экзамену целесообразно познакомиться с формулировками утверждений этого раздела.

· Третий раздел содержит перечень умений и навыков, которыми обязан владеть абитуриент.

Объем знаний и степень владения материалом, описанным в программе, соответствуют курсу математики средней школы. Поступающий может пользоваться всем арсеналом средств из этого курса. Однако, для решения экзаменационных задач достаточно уверенного владения теми понятиями и их свойствами, которые перечислены в настоящей программе.

1. Натуральные числа. Делимость. Простые и составные числа. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.

2. Целые, рациональные и действительные числа. Изображение чисел на прямой. Проценты. Модуль числа, степень, корень, арифметический корень, логарифм. Синус, косинус, тангенс, котангенс числа (угла). Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.

3. Числовые и буквенные выражения. Равенства и тождества.

4. Функция, ее область определения и область значений. Возрастание, убывание, периодичность, четность, нечетность. Наибольшее и наименьшее значение функции. График функции.

5. Определение и основные свойства функций: линейной, квадратичной, степенной, у=k/x, показательной, логарифмической, тригонометрических, арифметического корня.

6. Уравнение, неравенство, система. Решения (корни) уравнения, неравенства, системы. Равносильность.

7. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

8. Прямая, луч, отрезок; длина отрезка. Угол, величина угла. Параллельные прямые.

9. Треугольник. Виды треугольников.

10. Четырехугольник: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.

11. Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус, касательная к окружности. Дуга окружности. Сектор.

12. Подобные фигуры.

13. Координатная прямая. Числовые промежутки. Декартовы координаты на плоскости

14. Определение производной. Ее физический и геометрический смысл. Производные функций: y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ax, y=axn, y=lnx.

1. Свойства числовых неравенств.

2. Формулы сокращенного умножения.

3. Свойства линейной функции и ее график.

4. Формула корней квадратного уравнения. Теорема о разложении квадратного трехчлена на линейные множители. Теоремы Виета.

5. Свойства квадратичной функции и ее график.

6. Неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел. Неравенство для суммы двух взаимно обратных чисел.

7. Формулы общего члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии.

8. Формулы общего члена и суммы n первых членов геометрической прогрессии.

9. Свойства степеней с натуральными и целыми показателями. Свойства арифметических корней n-й степени. Свойства степеней с рациональными показателями.

10. Свойства степенной функции с целым показателем и ее график.

11. Свойства показательной функции и ее график.

12. Основное логарифмическое тождество. Логарифмы произведения, степени, частного. Формула перехода к новому основанию.

13. Свойства логарифмической функции и ее график.

14. Основное тригонометрическое тождество. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Формулы приведения, двойного и половинного аргумента. Синус и косинус суммы и разности двух аргументов. Преобразование в произведение сумм (разностей) синусов и косинусов. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму. Введение вспомогательного угла.

15. Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Обратные тригонометрические функции.

16. Свойства тригонометрических функций и их графики.

17. Теорема Пифагора.

18. Признаки равенства и подобия треугольников.

19. Формулы площади: треугольника, параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата, трапеции.

20. Формулы длины окружности и площадей круга, сектора. Уравнение окружности.

21. Формула расстояния между двумя точками плоскости.

22. Производные суммы, произведения, частного двух функций.

На экзамене по математике поступающий должен уметь:

1. выполнять (без калькулятора) действия над числами и числовыми выражениями, преобразовывать буквенные выражения, переводить одни единицы измерения в другие;

2. сравнивать числа и находить их приближенные значения (без калькулятора), доказывать тождества и неравенства для буквенных выражений;

3. решать уравнения, неравенства, системы (в том числе с параметрами) и исследовать их решения;

4. исследовать функции, строить графики функций и множества точек на координатной плоскости, заданные уравнениями и неравенствами;

5. изображать геометрические фигуры на чертеже;

6. пользоваться свойствами чисел, функций и их графиков, свойствами арифметической и геометрической прогрессии;

7. пользоваться соотношениями и формулами, содержащими модули, степени, корни, логарифмические, тригонометрические выражения, величины углов, длины, площади;

8. составлять уравнения, неравенства и находить значения величин, исходя из условия задачи.

Примерные типы заданий

1. Найдите 65% от 40% числа 50.

2. Вычислить .

3. Решить уравнение

4. Решить неравенство

5. Найти сумму целых решений системы неравенств

6. Окружность, построенная на стороне АС треугольника АВС как на диаметре, проходит через середину стороны ВС и пересекает сторону АВ в точке D так, что . Найдите площадь треугольника АВС, если АС=1.

7. Найти производную функции

8. Прямая касается параболы в точке . Найдите произведение коэффициентов .

9. Нечетная функция определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции . Найдите число корней уравнения .

10. Две бригады должны были закончить работу за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому вторая закончила оставшуюся часть работы за 7 дней. За сколько дней могла сделать всю работу каждая бригада, работая отдельно?

11. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

12. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.

Ответы к примерным заданиям

1. 13

2. -1,2

3. 5

4.

5. 10

6.

7.

8. -6

9. 5

10. 28 и 21

11.

12. 30°.

Рекомендуемая литература

1. Готовимся к единому государственному экзамену. Математика [Текст] / Л. О. Денищева, Е. М. Бойченко, Ю. А. Глазков и др. – М.: Дрофа, 2004. – 120 с.

2. Гусев, В. А. Практикум по решению математических задач. Геометрия [Текст]: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / В. А. Гусев, В. Н. Литвиненко, А. Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 1985. – 223 с.

3. Островский, А. И. Геометрия помогает арифметике [Текст] / А. И. Островский, Б. А. Кордемский. – М.: Физматгиз, 1960. – 168 с.

4. Пойа, Д. Как решать задачу [Текст]: пер. с англ. / Д. Пойа. – М.: Учпедгиз, 1959. – 216 с.

5. Полонский, В. Б. Геометрия [Текст]: задачник к школьному курсу / В. Б. Полонский, Е. М. Рабинович, М. С. Якир. – М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-S, 1998. – 256 с.

6. Понарин, Я. П. Геометрия [Текст]: учебное пособие / Я. П. Понарин. – Ростов-на-Дону:Феникс, 1997. – 512 с.

7. Ткачук, В. В. Математика – абитуриенту [Текст] / В. В. Ткачук. – М.: МЦНМО, 2001. – 892 с.

8. Фридман, Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи [Текст]: кн. для учащихся ст. классов сред. шк./ Л. М. Фридман, Е. Н. Турецкий. – 3-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 1989. – 192 с.

9. Шарыгин, И. Ф. Факультативный курс по математике : Решение задач [Текст]: учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. / И. Ф. Шарыгин. – М.: Просвещение, 1989. – 252 с.

10. Иванов, А. П. Тесты и контрольные работы по математике [Текст] / А. П. Иванов. – М.: Издательство МФТИ, 2000. – 272 с.

11. ЕГЭ – 2006. Математика. Репетитор [Текст] / В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина. – М.: Просвещение, ЭКСМО, 2006. – 240 с.

12. Канин, Е. С. Упражнения по началам математического анализа в 9-10 классах [Текст]: кн. для учителя / Е. С. Канин, Е. М. Канина, М. Д. Чернявский. – М.: Просвещение, 1986. – 160 с.

13. Кострикина, Н. П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов [Текст]: кн. для учителя / Н. П. Кострикина. – М.: Просвещение, 1991. – 239 с.

14. Погорелов, А. В. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. В. Погорелов. – М.: Просвещение, 1990. – 384 с.

15. Алгебра и начала анализа [Текст]: учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров. – М.: Просвещение, 1992. – 254 с.

16. Алгебра и начала анализа [Текст]: учеб. для 10-11 кл сред. шк./ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын; под ред. А. Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1994. – 320 с.

17. Геометрия [Текст]: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений./ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1992. – 207 с.

18. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2001. – 335 с.