Составители:

— методист МБУ ГЦОКО г. Костромы

— учитель высшей квалификационной категории
МОУ лицей № 32, Почетный работник общего образования РФ

— учитель высшей квалификационной категории
МОУ лицей № 17, Заслуженный учитель России

- учитель высшей квалификационной категории МОУ лицея №34, Заслуженный учитель России

– учитель высшей квалификационной категории МОУ лицея №34

– учитель первой квалификационной категории МОУ лицея №32

А. – учитель высшей квалификационной категории МОУ лицея №34

Предисловие

Школьная олимпиада — первый этап Всероссийской математической олимпиады. В ней имеет право участвовать любой школьник. Ее самостоятельно проводят школы. Материалы олимпиады составляются либо методическими объединениями учителей школ, либо городскими методическими центрами.

Ребята, показавшие лучшие результаты на первом этапе, принимают участие во втором (городском, районном) этапе. Далее проходят областная олимпиада (третий этап), олимпиады по федеральным округам РФ (четвертый, окружной этап). Финальный (пятый) этап собирает лучших ребят со всей страны. По его итогам формируется команда Российской Федерации на международную математическую олимпиаду.

Порядок проведения
олимпиады в школе

Школьная олимпиада по математике проходит одновременно во всех школах города Костромы 25 октября 2008 года с 8 до 11 часов. По итогам олимпиады руководитель школьного методического объединения учителей математики должен предоставить до 10 ноября 2008 года в Муниципальное бюджетное учреждение «Городской центр обеспечения качества образования» следующие данные о проведении:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

· Протоколы по всем параллелям, в печатном и электронном виде (приложение 1)

· Общую статистику олимпиады по математике в вашем ОУ (приложение 2, Excel), в электронном виде

Рекомендации по проведению школьной олимпиады

В первом этапе Всероссийской олимпиады имеет право участвовать каждый школьник, поэтому не должно быть никаких ограничений при допуске к участию.

Во время решения жюри олимпиады должно отвечать на вопросы школьников только по условиям предложенных задач и не имеет право комментировать решения участников. Если вопрос, заданный школьником, существенно влияет на понимание задачи, то ответ на него необходимо дать всем участникам.

В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад школьников каждая задача оценивается из 7 баллов.

Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
7	Полное верное решение
6-7	Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.
5-6	Решение в целом верное. Однако решение содержит существенные ошибки либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений.
4	Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев, или в задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка.
2-3	Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
0-1	Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении).
0	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0	Решение отсутствует.

Важно отметить, что любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снимать баллы за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри.

В то же время любой сколь угодно длинный текст решения, не содержащий полезных продвижений, должен быть оценен в 0 баллов.

Технические ошибки, если они не влияют на ход решения, следует относить к недочетам. Не следует снимать баллы за нерациональность решения, нетиповые рассуждения, неряшливое оформление, исправления, грязь.

После проведения олимпиады и проверки работ рекомендуется проведение разбора задач, на котором школьники должны узнать, за какие решения (факты в решениях) сколько баллов начисляло жюри.

После разбора проводится просмотр работ, во время которого каждый из участников олимпиады имеет право узнать претензии к своим решениям и увидеть распределение баллов в своей работе.

Если школьник не согласен с оценкой его работы в рамках оглашенных на разборе задач норм оценок, то жюри должно рассмотреть его претензии на апелляции. Во время апелляции недопустимо изменение общих норм оценок и рассмотрение дополнительных фактов, приводимых школьником, но отсутствующих в работе. После всех апелляций жюри уже не имеет право изменять оценки работ.

Участники школьного этапа олимпиады, набравшие наибольшее количество баллов, признаются победителями школьного этапа олимпиады при условии, что количество набранных ими баллов превышает половину максимально возможных баллов.

В случае, когда победители не определены, в школьном этапе олимпиады определяются только призеры.

Призерами школьного этапа олимпиады в пределах установленной квоты признаются все участники школьного этапа олимпиады, следующие в итоговой таблице за победителями.

В случае, когда у участника, определяемого в пределах установленной квоты в качестве призера, оказывается количество баллов такое же, как и у следующих за ним в итоговой таблице, решение по данному участнику и всем участникам, имеющим равное с ним количество баллов, определяется следующим образом:

все участники признаются призерами, если набранные ими баллы больше половины максимально возможных;

все участники не признаются призерами, если набранные ими баллы не превышают половины максимально возможных.

Задания носят рекомендательный характер. При замене заданий руководитель МО должен предоставить в Муниципальное бюджетное учреждение «Городской центр обеспечения качества образования» тексты заданий, предложенных образовательным учреждением, в электронном и печатном виде.

7 класс

Задание №1

Разность разделить на сумму ; полученное частное умножить на , и на полученное произведение разделить сумму чисел и .

Задание №2

Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали орехи. В каждой паре идут мальчик и девочка, причём у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 1000 орехов?

Задание №3

На острове Σ живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил двух туземцев – А и В. Туземец А произнёс фразу:

- По крайней мере один из нас (А и В) – лжец.

Можно ли сказать, кем является А и кем является В (рыцарем или лжецом?)

Задание №4

В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1 кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?

Задание №5

Разрежьте фигуру, полученную из прямоугольника 4×5 вырезанием четырёх угловых клеток 1×1 (см. рис.), на три части, не являющимися квадратами, так, чтобы из частей можно было сложить квадрат.

8 класс

Задание №1.

Коля и Вася живут в одном доме. В каждом подъезде дома – по 4 квартиры на этаже. Коля живёт на 5 этаже в 83 квартире, Вася – на третьем этаже в 169 квартире. Сколько этажей в доме?

Задание №2.

Найдите значение выражения a+3ab+b, если a+b=1.

Задание №3.

После того, как учительница Марьивановна пересадила Вовочку с первого ряда на второй, Ванечку – со второго ряда на третий, а Машеньку – с третьего ряда на первый, средний возраст учеников, сидящих в первом ряду, увеличился на неделю, сидящих во втором ряду – увеличился на две недели, а сидящих в третьем ряду – уменьшился на четыре недели. Известно, что на первом и втором ряду сидят по 12 человек. Сколько человек сидит в третьем ряду?

Задание №4.

Высота и медиана, проведённые из одной вершины, делят угол треугольника на три равные части. Найти углы треугольника.

Задание №5.

9 класс

Задание №1

Библиотека может приобрести формуляры читательских билетов в магазине по цене 18 копеек за экземпляр или заказать их в мастерской, уплатив по 12 копеек за экземпляр и еще 5 р. за оформление заказа. Укажите наименьшее число формуляров, при котором библиотеке выгоднее заказать их в мастерской.

Задание №2

Найти все пары целых чисел (x;y), удовлетворяющих уравнению .

Задание №3

Числа а и в - длины катетов, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника. Докажите, что .

Задание №4

На боковой стороне ВС равнобедренного треугольника ABC (АВ = ВС)выбрана точка D так, что CD = С А. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник ABC, совпадает с центром окружности, описанной около треугольника ADC.

Задание №5

Центр города представляет из себя квадрат 5 км ×5 км, состоящий из 25 кварталов размером 1 км ×1 км, границы которых — улицы, образующие 36 перекрестков. Какое наименьшее количество полицейских необходимо поставить на перекрестках так, чтобы до каждого из перекрестков какой-то из полицейских мог бы добраться, проехав на машине не более 2 км?

10 класс

Задание №1

В 10 т руды содержится некоторое количество железа. После удаления из нее 4 т примесей, содержащих 10% железа, процентное содержание железа в руде повысилось на 20%. Сколько железа осталось в руде?

Задание №2

Что больше: или ?

Задание №3

Докажите тождество:

Задание №4

В окружность вписан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. На большем катете ВС взята точка D так, что AC=BD, а точка Е — середина дуги АВ, содержащей точку С. Найдите Угол DEC.

Задание №5

Можно ли раскрасить клетки доски 8×8 в три цвета: 21 клетку в белый
цвет, 21 клетку — в синий цвет, 22 клетки — в красный цвет так, чтобы
ни на одной из диагоналей (не только на двух главных, но и на всех
параллельных им) не оказалось одновременно клеток всех трех цветов?

11 класс

Задание №1

Играя с компьютером, Антон выиграл 60% партий. Отдохнув, он выиграл ещё 10 партий подряд, и процент выигранных партий достиг 70%. Какое наименьшее количество партий он должен ещё сыграть и сколько из них выиграть, чтобы в итоге количество выигранных партий опять составило 60%?

Задание №2

Таблица 55 заполнена числами 1, 2, …, 25, причём любые два последовательных числа записаны в соседних (имеющих общую сторону) клетках. Какое наибольшее количество простых чисел может оказаться в одном столбце?

Задание №3

Решите уравнение:

Задание №4

Укажите количество решений уравнения , принадлежащих отрезку .

Задание №5

Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Решения, указания

7 класс

Задание №1

Ответ: 1,1

Задание №2

Ответ: не могло

Решение

Заметим, что число орехов у каждой пары детей делится на 3. Это означает, что суммарное значение орехов должно делиться на 3. Однако 1000 на 3 не делится.

Задание №3

- По крайней мере один из нас (А и В) – лжец.

Можно ли сказать, кем является А и кем является В (рыцарем или лжецом?)

Ответ: А – рыцарь, В – лжец.

Решение

Если А лжец, то его утверждение неверно, то есть оба должны быть рыцарями. Противоречие. Значит, А – рыцарь. Тогда его утверждение верно и В – лжец.

Задание №4

В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1 кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?

Решение

При первом взвешивании в одну из чашек весов кладём гирю и все гвозди раскладываем по чашкам так, чтобы установилось равновесие. Получим 13 и 12 кг гвоздей. Первую кучку откладываем, а остальные гвозди делим пополам, взвешивая без гири: 12=6+6. Получили искомое количество гвоздей: 19=13+6.

Задание №5

Решение

Пример разрезания в 2 шага приведён на рисунках 1, 2.


1		2
		3

		3
				1

		2

Рис.1

Рис. 2

8 класс

Задание №1

Ответ: 8.

Решение

Представим себе, что в доме – только один подъезд. Так как 83=4·20+3, а 169=4·42+1, то в этом случае, Коля жил бы на 21 этаже, а Вася – на 43 этаже. Пусть n – реальное количество этажей в доме, тогда из условия и предыдущего рассуждения следует, что 21-5=16 квартир в нескольких подъездах, и 43-3=40 квартир тоже приходится на целое число подъездов. Следовательно, число n делитель чисел 16 и 40. Учитывая, что n 5, получим, что n = 8.

Задание №2

Найдите a+3ab+b, если a+b=1.

Ответ: 1

Решение

Первый способ:

Второй способ:

Третий способ:

Так как , то

Задание №3

Ответ: 9 человек.

Решение

Первый способ: Пусть в третьем ряду сидит x человек. Так как средний возраст равен сумме возрастов, делённой на количество человек, то после пересаживания суммарный возраст детей на первом ряду увеличился на 12 недель, на втором ряду – увеличился на 24 недели, а на третьем ряду – уменьшился на 4х недель. Поскольку сумма возрастов всех учеников измениться не могла, то 4х = 12 + 24, то есть х = 9.

Второй способ: Пусть до пересаживания учеников средний возраст сидящих на первом, втором и третьем ряду составлял a, b и c недель соответственно. Обозначим также: количество человек, сидящих в третьем ряду – х, возраст Вовочки – V недель, возраст Ванечки – W недель, возраст Машеньки – М недель. Исходя из условий задачи, составим три уравнения:

1) ;

2) ;

3) .

Упростив эти уравнения и объединив их в систему, получим:

Сложив все уравнения почленно, получим, что 12 + 24 – 4х = 0, то есть, х =9.

Задание №4

Ответ: 300, 600, 900

Решение

1). - равнобедренный, так как ВО – высота и биссектриса, а значит, и медиана. Следовательно, АО=ОМ=х.

2). Так как ВМ – медиана по условию, МС=АМ=2х.

3). Выполним дополнительное построение. Проведём .

4). по гипотенузе и острому углу. Следовательно, ОМ=МР=х. Получили: в . Отсюда .

5). В четырёхугольнике ОВРМ

6). ,

Задание №5

Ответ: не существует

Решение

9 класс

Задание №1

Ответ: 84 формуляра

Решение:

Пусть х штук формуляров может приобрести библиотека,

тогда 18х копеек обойдётся библиотеке заказ в магазин.

обойдётся в библиотеке заказ в мастерской.

Для того, чтобы было выгоднее сделать заказ в мастерской, составим неравенство

Задание №2

Найти все пары целых чисел (x;y), удовлетворяющих уравнению .

Ответ: (0;4);(0;2)

Решение:

Задание №3

Числа а и в - длины катетов, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника. Докажите, что .

Решение.

Из равенства следует , поэтому доказываемое неравенство принимает вид:

Задание №4

Задание №5

Центр города представляет из себя квадрат 5 км ×5 км, состоящий из
25 кварталов размером 1 км ×1 км, границы которых — улицы, образующие 36 перекрестков. Какое наименьшее количество полицейских необходимо поставить на перекрестках так, чтобы до каждого из перекрестков какой-то из полицейских мог бы добраться, проехав на машине не более 2 км?

Ответ: 4 полицейских

Решение

Рассмотрим угловой перекресток А. До него полицейский может добраться, если он находится на одном из 6 перекрестков, примыкающих к этому углу (см. Рис. 1). Аналогичные рассуждения для трех оставшихся углов показывают, что для выполнения условия задачи необходимо наличие по крайней мере четырёх полицейских. Осталось только привести пример расстановки четырёх полицейских (см. Рис. 2).

Рис.1 Рис.2

10 класс

Задание №1

Ответ: 3,6 т.

Решение

Пусть первоначально в руде имелось кг железа.

После того, как из нее удалили вместе с примесями т железа, в оставшихся 6 тоннах руды оказалось железа т.

Так как железа в оставшейся руде на 20% больше, чем железа первоначально в 10 тоннах, то

Решая это уравнение, находим, что .

Следовательно, в руде осталось железа т.

Задание №2

Что больше: или ?

Ответ: первая дробь.

Решение

Составим отношение данных дробей и преобразуем его так, чтобы можно было выяснить, больше или меньше оно 1:

Следовательно, большей является первая дробь.

Задание №3

Докажите тождество .

Решение

Имеем:

Задание №4

В окружность вписан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой
АВ. На большем катете ВС взята точка D так, что AC=BD, а точка
Е — середина дуги АВ, содержащей точку С. Найдите угол DEC

Ответ: 90°.

Решение

Рис.	Точка Е — середина дуги АВ (см. рис.), поэтому АE=BE. Кроме того, вписанные углы САЕ и ЕВС, опирающиеся на одну дугу, равны. Также по условию, АС = BD. Значит, треугольники АСЕ и BDE равны, откуда СЕА = BED. Но тогда DЕС=ВEA = 90°, так как BE A = BC А.

Задание №5

Можно ли раскрасить клетки доски 8 х 8 в три цвета: 21 клетку в белый
цвет, 21 клетку — в синий цвет, 22 клетки — в красный цвет так, чтобы
ни на одной из диагоналей (не только на двух главных, но и на всех
параллельных им) не оказалось одновременно клеток всех трех цветов?

Ответ: можно.

Решение

Раскрасим все клетки в шахматном порядке в белый и красный цвет,
тогда все диагонали будут одноцветными. Затем перекрасим 11 любых
белых клеток и 10 любых красных клеток в синий цвет. Полученная
раскраска такова, что на одной диагонали не встретятся одновременно
белые и красные клетки.

11 класс

Задание №1

Ответ: 10 партий, из них две – выиграть.

Решение

Пусть сначала Антон сыграл с компьютером n партий, из которых выиграл 0,6n. По условию, . Решением этого уравнения является n = 30, значит, на данный момент, Антон сыграл 40 партий, из которых выиграл 28. Пусть он должен сыграть х партий, из которых выиграть – y. Тогда, по условию , то есть . Так как х и y – натуральные числа, то значение х должно быть кратно 5. При х = 5 y < 0, при х = 10 y = 2.

Задание №2

Решите уравнение

Ответ: .

Решение

Тогда , где Избавившись от знаменателя, получим квадратное уравнение , корни которого и являются корнями исходного уравнения.

Задание №3

Ответ: 4.

Решение

Раскрасим клетки данной таблицы в шахматном порядке. Из условия следует, что в клетках одного цвета будут стоять нечётные числа, а в клетках другого цвета – чётные. Следовательно, в любых двух соседних клетках стоят числа разной чётности.

Таким образом, в любом столбце должно быть не менее двух чётных чисел, поэтому простых чисел в столбце не более четырёх, среди которых обязательно должно быть число 2.

Одна из возможных расстановок, удовлетворяющих условию задачи, приведена на рисунке (четыре простых числа – в третьем столбце).

Несложно также доказать, что для раскраски, приведённой в таблице, чётные числа стоят в клетках белого цвета, но для решения задачи это не требуется.

17	18	19	20	21
16	15	14	13	22
9	10	11	12	23
8	1	2	3	24
7	6	5	4	25

Задание №4

Укажите количество решений уравнения , принадлежащих отрезку .

Ответ: 1003

Решение

Левая часть уравнения принимает значение 2, только если оба слагаемых равны единице одновременно:На указанном отрезке расположено 1003 решения (при .

Задание №5.

Ответ: 17

Решение

1). Пусть в остроугольном ∆ ABC, АА1, ВВ1, СС1 – высоты. В1С1=8, А1В1=15 и А1С1=17. Тогда . Таким образом, ∆ А1В1С1 – прямоугольный,

2). ~, так как они прямоугольные и - общий

Следовательно, .

3). ~, так как - общий и . Пусть R1 – радиус окружности, описанной около , а R - радиус окружности, описанной около . Следовательно, .

4). ~ по доказанному свойству. Следовательно .

5). ~ по доказанному свойству. Следовательно .

Таким образом, .

6). .

7). Найдём R1 по формуле . Для .

8). Так как .

I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников по математике Кострома 2008 год

Предисловие

Порядок проведения
олимпиады в школе

Рекомендации по проведению школьной олимпиады

Домашний очаг

Справочная информация

Техника

Общество

Образование и наука

Мир

Бизнес и финансы

I (школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников по математике Кострома 2008 год

Предисловие

Порядок проведенияолимпиады в школе

Рекомендации по проведению школьной олимпиады

Порядок проведения
олимпиады в школе