Заметим, что начальные и граничные условия должны быть согласованы, т. е.
u(0,0) = φ(0)=ψ0(0)
u(l,0) = φ(l)=ψl(0)
Моделирование процесса теплопроводности связано с дискретизацией как временного изменения температуры, так и пространственного.
Введем равномерную прямоугольную сетку с помощью координатных линий
xi=ih, i=0,1,....n,
tj=jτ, j=0,1,....m,
где h - это шаг по пространству, по координате х, а τ - шаг по времени.
Значения функции в узлах сетки обозначим uij=u(xi, tj).
Входящие в уравнение производные заменим их конечно-разностными аппроксимациями
получим
или
,
где
i=1,2,:.n-1,
j=0,1,:.m-1.
Получилась явная разностная схема, удобная в применении, но устойчивая лишь при выполнении условия
Это следует учитывать, выбирая шаги по времени и пространству.
Совокупность узлов в фиксированный момент времени называется слоем.
Построенная схема позволяет нам находить значение функции температур на j+1 слое через значения на j слое. Для начало счета при j=0 необходимо знать значения функции температур на нулевом слое. Они нам известны из начальных условий.
Если использовать другие конечно разностные соотношения для аппроксимации производных,
то получим существенно более устойчивую неявную схему
или
В отличие от явной схемы каждое разностное уравнение второй схемы содержит на каждом новом слое три неизвестные значения, которые невозможно определить сразу же, как мы поступали в явной схеме. При этом вторая разностная схема состоит из линейных трех точечных уравнений, т. е. каждое уравнение содержит неизвестную функцию в трех точках нового слоя. Такие системы линейных уравнений, системы с трехдиагональной матрицей, могут быть легко решены методом прогонки. Таким образом, в случае неявной схемы, чтобы посчитать значения функции температур в каждый следующий момент времени, т. е., чтобы перейти на следующий слой по времени, необходимо каждый раз решать методом прогонки линейную систему.
Это - система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Для ее решения наиболее эффективен метод прогонки.
Так можно моделировать физические явления применяя математический аппарат во всей его мощи. Однако это довольно сложно. При моделировании явления теплопроводности можно пойти другим путем.
Пусть задана квадратная пластина, на краях которой известна температура. Требуется определить температуру во внутренних точках. Если предположить, что теплоотвода внутри нет, то можно смоделировать решение путем вычисления среднего значения T=(t1+t2+t3+t4)/4.
Однако это очень грубое приближение, ведь в разных точках пластины температура различна.
Разобьем квадрат на четыре части и для каждого малого квадратика применим ту же процедуру:
T11 = (t1 + T12 + T21 + t4)/4
T12 = (t1 + T11 + T22 + t2)/4
T21 = (t4 + T11 + T22 + t3)/4
T22 = (t2 + T21 + T12 + t3)/4
Или в другом виде
4T11 - T12 - T21 = t1 + t4
-T11 + 4T12 - T22 = t1 + t2
-T11 + 4T21 - T22 = t3 + t4
-T12 - T21 + 4T22 = t2 + t3
который представляет систему линейных уравнений относительно неизвестных T11, T
5. Экологические модели.
Экология и моделирование.
Экология - одно из слов, появившихся сравнительно недавно у всех на устах и на стра-ницах газет и журналов. Еще в 60-х годах нашего столетия почти никто, кроме узких специалистов, его не знал, да и большинство из тех, кто знал, использовал в таком смысле, который вряд ли способен заинтересовать широкую общественность. А между тем, термину более 120 лет.
В 1869 г. немецкий естествоиспытатель Эрнст Геккель предложил составной термин "экология" ("эко" - дом, жилище, местопребывание и "логос" - наука, знание) как название раздела биологии, ставшего самостоятельным. Классическая экология - наука о взаимодействии организмов и окружающей среды. Сегодня, говоря об экологии, чаще всего имеют в виду не классическую, а, так называемую, социальную экологию, офор-мившуюся как научное направление и направление общественно-политической деятель-ности на 100 лет позднее, и занимающуюся проблемами охраны окружающей среды, взаимодействием с ней человеческого сообщества.
В данной главе мы ограничимся некоторыми классическими моделями "старой" эко-логии, что обусловлено следующими причинами. Во-первых, они достаточно просты и изучены, постановка их вполне очевидна и в познавательном плане интересна и полезна. Во-вторых, модели распространения загрязнений окружающей среды требуют использо-вания весьма сложного математического аппарата, да и сами еще не вполне устоялись. Проблемы охраны окружающей среды чрезвычайно важны, но их обсуждение выходит за пределы нашего курса. Однако, для того, чтобы дать представление о задачах, стоящих перед современными исследователями в этой области, в следующем параграфе приведено описание одной из глобальных моделей, пытающихся выяснить пути взаимодействия экосистемы планеты с индустриальной и экономической системами современного общества.
Остановимся на некоторых понятиях, которые будут встречаться в этой главе. Под особью понимается отдельный индивидуум, отдельный организм. Популяция - это совокупность особей одного вида, существующих в одно и то же время и занимающих определенную территорию. И, наконец, сообщество - это совокупность совместно сосуществующих популяций.
В классической экологии рассматриваются взаимодействия нескольких типов:
- взаимодействие организма и окружающей среды; взаимодействие особей внутри популяции; взаимодействие между особями разных видов (между популяциями).
Математические модели в экологии используются практически с момента возникнове-ния этой науки. И, хотя поведение организмов в живой природе гораздо труднее адекватно описать средствами математики, чем самые сложные физические процессы, модели помогают установить некоторые закономерности и общие тенденции развития отдельных популяций, а также сообществ. Кажется удивительным, что люди, занимающиеся живой природой, воссоздают ее в искусственной математической форме, но есть веские причи-ны, которые стимулируют эти занятия. Вот некоторые цели создания математических моделей в классической экологии.
При построении моделей в математической экологии используется опыт математиче-ского моделирования механических и физических систем, однако с учетом специфических особенностей биологических систем:
- сложности внутреннего строения каждой особи; незамкнутости экологических систем; огромного диапазона внешних характеристик, при которых сохраняется жизнеспособность систем.
Привлечение компьютеров существенно раздвинуло границы моделирования экологи-ческих процессов. С одной стороны, появилась возможность всесторонней реализации сложных математических моделей, не допускающих аналитического исследования, с другой - возникли принципиально новые направления, и прежде всего - имитационное моделирование.
Модели внутривидовой конкуренции.
Рассмотрим простейшую из указанных моделей для вида с дискретными периодами размножения, в которой численность популяции в момент времени t равна Nt и изменяет-ся во времени пропорционально величине основной чистой скорости воспроизводства R. Такими видами являются, например, большая часть растений, некоторые виды насекомых, у которых разные поколения четко разнесены во времени. Коэффициент R характеризует количество особей, которое воспроизводится в расчете на одну существующую, а также выживание уже существующих. Данная модель может быть выражена уравнением
| (1) |
решение которого имеет вид
| (2) |
где N0 - начальная численность популяции. Эта модель, однако, описывает популяцию, в которой отсутствует конкуренция и в которой R является константой; если R>1, то числен-ность популяции будет бесконечно увеличиваться. В реальности в какой-то момент начинают работать механизмы сдерживания роста популяции. В литературе приводится немало интересных примеров быстрого роста численности популяций, если бы для их размножения существовали идеальные условия. Особенно это относится к насекомым, растениям и микроорганизмам, которые могли бы покрыть земной шар толстым слоем, если им создать благоприятные условия для размножения. Но в действительности такого роста популяций, когда их численность увеличивается в геометрической прогрессии, на сколько-нибудь длительных промежутках времени не наблюдается.
Следовательно, в первую очередь необходимо изменить уравнение (1) таким образом, чтобы чистая скорость воспроизводства зависела от внутривидовой конкуренции.
Конкуренцию можно определить как использование некоего ресурса (пищи, воды, света, пространства) каким-либо организмом, который тем самым уменьшает доступность этого ресурса для других организмов. Если конкурирующие организмы принадлежат к одному виду, то взаимоотношения между ними называют внутривидовой конкуренцией; если же они относятся к разным видам, то их взаимоотношения называют межвидовой конкуренцией.
Рис. 1. К вопросу об ограничении скорости роста популяции
На рис. 1 показана простейшая возможная зависимость скорости воспроизводства от численности популяции. Точка A отражает ситуацию, в которой численность популяции близка к нулю, конкуренция при этом практически отсутствует, и фактическую скорость воспроизводства вполне можно описывать параметром R в его первоначальном виде. Следовательно, при низкой плотности популяции уравнение (1) вполне справедливо. В преобразованном виде оно выглядит так:
Точка B, напротив, отражает ситуацию, в которой численность популяции высока, и в значительной степени проявляется внутривидовая конкуренция. Фактическая скорость воспроизводства в результате конкуренции настолько снижена, что популяция в целом может не более чем восстанавливать в каждом поколении свою численность, потому что количество родившихся особей уравновешивается количеством погибших. Гипотезе, отраженной на рис. 1, соответствует уравнение
| (3) |
где |
|
Это уравнение представляет собой модель роста популяции, ограниченного внутривидовой конкуренцией. Суть этой модели в том, что константа R в уравнении (1) заменена на фактическую скорость воспроизводства,
т. е. |
|
которая уменьшается по мере роста численности популяции Nt. Достоинство полученного уравнения заключается в его простоте. Такой тип конкуренции приводит к саморегуляции численности популяции, изображенной на рис. 2 (для некоторого набора параметров модели; численное решение).
Рис. 2. Изменение численности популяции согласно уравнению (3) при R = 2, K = 200, N0 = 20
Динамика численности популяций хищника и жертвы.
Рассматривая динамику численности популяций хищника и жертвы, экологи прежде всего стремятся понять ее закономерности и разъяснить различия между типами динамик. В простейших моделях хищник и жертва рассматриваются безотносительно влияния на них других видов. Одна из самых первых и простых моделей была предложена, как и модель межвидовой конкуренции, Лоткой и Вольтеррой, и носит их имя.
Модель состоит из двух компонентов: C - численность популяции хищника и N - численность популяции жертвы.
Предполагается, что в отсутствие хищника популяция жертвы растет экспоненциально. Чем больше численность той и другой популяции, тем чаще происходят встречи. Число встреченных и съеденных жертв будет зависеть от эффективности, с которой хищник находит и ловит жертву. Если обозначить через a′ "эффективность поиска", то скорость поедания жертвы будет равна a′·C·N, и окончательно для численности жертвы получаем
В отсутствие пищи отдельные особи хищника голодают и гибнут. Предположим вновь, что численность хищника в отсутствие пищи будет уменьшаться экспоненциально:
(q - смертность). Скорость рождения новых особей в данной модели полагается зависящей от двух обстоятельств: скорости потребления пищи a′·C·N, и эффективности f, с которой эта пища переходит в потомство хищника. Итак, для численности хищника окончательно получаем
Так как процессы надо рассматривать вместе, объединим уравнения в систему:
Как и в предыдущем пункте, свойства этой модели можно исследовать, построив изо-клины.
Для жертвы имеем
или, выражая C, получаем
Соответствующее уравнение изоклины для популяции хищника
Если поместить обе изоклины на одном рисунке, получим картину взаимодействия популяций (рис. 3).
Рис. 3. Динамика численности популяции хищника и жертвы. Численность обеих популяций совершает периодические колебания
Как видно на рис. 4, численности популяций хищника и жертвы совершают периодические колебания: при увеличении численности хищников уменьшается численность популяции жертвы и наоборот. Такие колебания численности будут продолжаться в соответствии с моделью до тех пор, пока какое-либо внешнее воздействие не изменит численность популяций, после чего произойдет переход в новое устойчивое состояние (такая ситуация называется "нейтральные устойчивые циклы").
Рис. 3. Динамика численности популяции хищника и жертвы при r = 5, a′ = 0,1, q = 2, f = 0,6, N0 = 150, C0 = 50. Сплошная линия - численность жертвы, штриховая - хищника
Моделирование экономических процессов.
Моделирование в системах массового обслуживания.
Кому не случалось стоять в очереди и с нетерпением прикидывать, успеет ли он сделать покупку (или заплатить за квартиру, покататься на карусели и т. д.) за некоторое имеющееся в его распоряжении время? Или, пытаясь позвонить по телефону в справочную и натыкаясь несколько раз на короткие гудки, нервничать и оценивать - дозвонюсь или нет? Из таких "простых" проблем в начале XX века родилась весьма непростая наука - теория массового обслуживания, использующая аппарат теории вероятностей и математической статистики, дифференциальных уравнений и численных методов. Основоположником ее стал датский ученый , исследовавший проблемы функционирования телефонных станций.
Впоследствии выяснилось, что новая наука имеет многочисленные выходы в экономику, военное дело, организацию производства, биологию и экологию; по ней написаны десятки книг, тысячи журнальных статей.
Компьютерное моделирование при решении задач массового обслуживания, реализуемое в виде метода статистических испытаний (метода Монте-Карло), хоть и не является в теории массового обслуживания основным, но играет в ней важную роль. Основная линия в ней - получение результатов аналитических, т. е. представленных формулами. Однако, возможности аналитических методов весьма ограничены, в то время как метод статистических испытаний универсален и весьма прост для понимания (по крайней мере кажется таковым).
Очередь к одному "продавцу"
Рассмотрим одну из простейших задач данного класса. Имеется магазин с одним продавцом, в который случайным образом входят покупатели. Если продавец свободен, он начинает обслуживать покупателя сразу, если покупателей несколько, выстраивается очередь.
Вот аналогичные задачи:
- ремонтная зона в автохозяйстве и автобусы, сошедшие с линии из-за поломки; травмопункт и больные, пришедшие на прием по случаю травмы (т. е. без системы предварительной записи); телефонная станция с одним входом (или одной телефонисткой) и абоненты, которых при занятом входе ставят в очередь (такая система иногда практикуется); сервер локальной сети и персональные машины на рабочем месте, которые шлют сообщение серверу, способному воспринять разом и обработать не более одного сообщения.
Будем для определенности говорить о магазине, покупателях и продавце. Рассмотрим возникающие здесь проблемы, которые заслуживают математического исследования и, как выясняется, весьма серьезного.
Итак, на входе этой задачи случайный процесс прихода покупателей в магазин. Он является "марковским", т. е. промежутки между приходами любой последовательной пары покупателей - независимые случайные события, распределенные по некоторому закону. Реальный характер этого закона может быть установлен лишь путем многочисленных наблюдений; в качестве простейшей модельной функции плотности вероятности можно взять равновероятное распределение в диапазоне времени от 0 до некоторого T - максимально возможного промежутка между приходами двух последовательных покупателей. При этом распределении вероятность того, что между приходами двух покупателей пройдет 1 минута, 3 минуты или 8 минут одинакова (если T > 8).
Такое распределение, конечно, малореалистично; реально оно имеет при некотором значении t = τ максимум и быстро спадает при больших t, т. е. имеет вид, изображенный на рис. 1.
Можно, конечно, подобрать немало элементарных функций, графики которых похожи на тот, что изображен на рис. 1. Например, семейство функций Пуассона, широко используемых в теории массового обслуживания:
| (1) |
где λ - некоторая константа, n - произвольное целое.
Функции (1) имеют максимум при |
| и нормированы: |
|
Рис. 1. Типичная плотность вероятности распределения времени между приходами покупателей
Второй случайный процесс в этой задаче, никак не связанный с первым, сводится к последовательности случайных событий - длительностей обслуживания каждого из покупателей. Распределение вероятностей длительности обслуживания качественно имеет тот же вид, что и в предыдущем случае; при отработке первичных навыков моделирования методом статистических испытаний вполне уместно принять модель равновероятного распределения.
В таблице 1 в колонке A записаны случайные числа - промежутки между приходами покупателей (в минутах), в колонке B - случайные числа - длительности обслуживания (в минутах). Для определенности взято amax = 10 и bmax = 5. Из этой короткой таблицы, разумеется, невозможно установить, каковы законы распределения приняты для величин A и B; в данном обсуждении это не играет никакой роли. Остальные колонки предусмотрены для удобства анализа; входящие в них числа находятся путем элементарного расчета. В колонке C представлено условное время прихода покупателя, в колонке D - момент начала обслуживания, E - момент конца обслуживания, F - длительность времени, проведенного покупателем в магазине в целом, G - в очереди в ожидании обслуживания, H - время, проведенное продавцом в ожидании покупателя (магазин пуст). Таблицу удобно заполнять по горизонтали, переходя от строчки к строчке. Приведем для удобства соответствующие формулы (в них i = 1, 2, 3, ...):
- так как начало обслуживания очередного покупателя определяется либо временем его прихода, если магазин пуст, либо временем ухода предыдущего покупателя;
N | A | B | C | D | E | F | G | H |
1 | 0 | 4 | 0 | 0 | 4 | 4 | 0 | 0 |
2 | 2 | 1 | 2 | 4 | 5 | 3 | 2 | 0 |
3 | 10 | 5 | 12 | 12 | 17 | 5 | 0 | 7 |
4 | 1 | 2 | 13 | 17 | 19 | 6 | 4 | 0 |
5 | 6 | 3 | 19 | 19 | 22 | 3 | 0 | 0 |
Табл 1. Моделирование очереди
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
