Министерство образования Республики Беларусь
Белорусский государственный университет
Механико-математический факультет
Кафедра геометрии, топологии и методики преподавания математики
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
профессор
________________________
Рег.№ __________________
«____» ______________ 200 г.
Базовая учебная программа дисциплины
«ТОПОЛОГИЯ»
для студентов специальности 1«Математика»
Минск
200 г
Авторы:
профессор кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики, доктор физ.-мат. наук ,
доцент кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики, кандидат физ.-мат. наук ,
ст. преподаватель кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики, кандидат физ.-мат. наук .
Рецензент:
профессор кафедры дифференциальных уравнений,
доктор физ.-мат. наук .
Одобрена на заседании кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики
протокол от 01.01.01 г.
Одобрена на заседании Ученого совета
механико-математического факультета
протокол от 01.01.01 г.
Ответственный за выпуск:
доцент кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики, кандидат физ.-мат. наук .
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Топология является одним из основных курсов, изучаемых студентами-математиками. Примечательная особенность этого курса - тесная связь с другими фундаментальными математическими дисциплинами (аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия, алгебра математический анализ, функциональный анализ, теория множеств, теория графов).
Основными целями курса топологии являются:
- освоение фундаментальных понятий метрического и топологического пространств и ряда их свойств (таких как компактность, связность и некоторых других),а также исследование их связей с конкретными объектами, изучаемыми в курсах аналитической геометрии, дифференциальной геометрии, алгебры, математического анализа, функционального анализа
- овладение основными топологическими методами решения задач, возникающих как в рамках самой топологии, так и в других математических дисциплинах;
- -формирование навыков приложения топологических конструкций и методов в процессе дальнейшего обучения, а также при самостоятельных научных
исследованиях.
.
"ТОПОЛОГИЯ"
Тематический план курса " Топология "
Цель курса: формирование основных топологических понятий, используемых практически во всех фундаментальных математических курсах.
№ темы | Количество часов | ||
Содержание курса | Лекции | Лабораторные и практические занятия | Контроль самостоятель ной работы студентов |
Метрическое пространство | 4 | 1 | 1 |
Топологическое пространство и его геометрия | 6 | 2 | 3 |
Непрерывные отображения | 4 | 1 | 1 |
Произведение топологических пространств | 2 | 1 | 1 |
Компактные топологические пространства | 6 | 2 | 3 |
Полные метрические пространства | 2 | 1 | 1 |
Связные топологические пространства | 4 | 1 | 1 |
Фактор-пространство | 2 | 1 | 1 |
Всего аудиторных часов | 30 | 10 | 12 |
ИТОГО: | 52 |
Введение
Объекты топологии. Методы исследований в топологии. Связь с другими математическими дисциплинами.
Метрические пространства
Метрическое пространство. Топология метрического пространства.
Топологическое пространство и его геометрия
Топологическое пространство. Способы задания топологий. Сравнение топологий. Всюду плотные множества и сепарабельные пространства. База топологии. Пространства со счётной базой. Подпространство и индуцированная топология. Замкнутые множества и операция замыкания. Граница и внутренность множества. Сходящиеся последовательности. Аксиомы отделимости.
Непрерывные отображения
Непрерывное отображение и его свойства. Гомеоморфизм. Понятие о топологических инвариантах.
Произведение топологических пространств
Произведение топологических пространств. Непрерывное отображение в произведение. Координатный слой и координатное подпространство. Сходящиеся последовательности в произведении. Понятие топологической группы.
Компактность
Компактное топологическое пространство и его простейшие свойства. Произведение компактных пространств. Критерий компактности множеств в ¡n. Критерии компактности метризуемого пространства.
Полные метрические пространства
Полное метрическое пространство и его простейшие свойства. Вполне ограниченное метрическое пространство. Критерий компактности полного метрического пространства. Пополнение метрического. Вполне ограниченное метрическое пространство. Критерий компактности полного метрического пространства. Пополнение метрического пространства
Связные топологические пространства
Связное топологическое пространство и его простейшие свойства. Линейно связное пространство. Связные компоненты. Произведение связных пространств.
Фактор-пространство
Фактор-пространство и фактор-топология, простейшие
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. , , Тимохович А. Е., Феденко . -
Мн.: Выш. шк., 1990.
2. , Мирзаханян топология. - М.: Высш. шк., 1979.
3. , Матвеенко . -Киев: Вища шк., 1984.
4. , , Фоменко в
топологию. - М.: Высш. шк., 1980.
5. Столлингс Дж. Алгебраическая топология: Введение. - М.: Мир, 1977.
6. С, Фоменко дифференциальной геометрии и топологии.- М,
Изд-во МГУ, 1980.
.Дополнительная
7. Александров в теорию множеств и общую топологию. .- М.: Наука,
1977.
8. Келли Дж. Л. Общая топология..- М.: Наука ,1981.
9. Общая топология..- М.: Мир, 1986.
РЕЦЕНЗИЯ
на учебную программу по дисциплине
“Топология”
для специальности 1“Математика”
(авторы , , )
“Топология” является одним из основных математических курсов, которые читаются студентам университетов специальности 1“Математика” на втором году обучения.
Согласно рецензируемой учебной программе, данный курс включает в себя материал, относящийся к теории метрических и топологических пространств. В нем рассматриваются такие важные понятия топологии, как замыкание, внутренность и граница множеств в топологических пространствах, непрерывные отображения и гомеоморфизм, подпространство, декартово произведение и фактор-пространство, компактность и связность топологических пространств, а также полнота топологических пространств.
Почасовая разбивка учебного материала, представленная в тематическом плане курса, предсталяется обоснованной. Студенты, усвоившие материал данного курса, получают знания и умения, достаточные для упешного применения топологических идей и методов при изучении других математических дисциплин.
Рецензируемая программа может быть принята в качестве базовой учебной программы дисциплины “ Топология ” для студентов специальности 1“Математика”
Рецензент
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры дифференциальных уравнений
