«Теория вероятностей и математическая статистика»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Рекомендуется для направления подготовки

230700 Прикладная информатика

Квалификация выпускника - бакалавр

Санкт-Петербург

2011 год

1. Цели и задачи дисциплины: накопление необходимого запаса сведений по математике (основные определения, теоремы, правила), а также освоение математического аппарата, помогающего моделировать, анализировать и решать экономические задачи, помощь в усвоении математических методов, дающих возможность изучать и прогнозировать процессы и явления из области будущей деятельности студентов; развитие логического и алгоритмического мышления, способствование формированию умений и навыков самостоятельного анализа исследования экономических проблем, развитию стремления к научному поиску путей совершенствования своей работы.

2. Место дисциплины в структуре ООП: дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» относится к циклу Б.2.1 Математический и естественнонаучный цикл, Базовая часть. Входные знания, умения и компетенции студентов должны соответствовать курсу математики общеобразовательной школы и дисциплине «Математика», изучаемой на первом и втором курсах. Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» является предшествующей для следующих дисциплин: «Теория систем и системный анализ», «Физика», «Математические методы в экономике», «Методы решения оптимизационных задач в бизнесе», «Теория экономических информационных систем», «Нейроинформатика».

3. Требования к результатам освоения дисциплины:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

способен логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь, владеть навыками ведения дискуссии и полемики (ОК-2);способен самостоятельно приобретать и использовать в практической деятельности новые знания и умения, стремится к саморазвитию (ОК-5); способен понимать сущность и проблемы развития современного информационного общества (ОК-7); способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-8); способен свободно пользоваться русским языком и одним из иностранных языков на уровне, необходимом для выполнения профессиональных задач (ОК-9);

проектная деятельность: способен ставить и решать прикладные задачи с использованием современных информационно-коммуникационных технологий (ПК-4); способен осуществлять и обосновывать выбор проектных решений по видам обеспечения информационных систем (ПК-5); способен применять к решению прикладных задач базовые алгоритмы обработки информации, выполнять оценку сложности алгоритмов, программировать и тестировать программы (ПК-10);

аналитическая деятельность: способен проводить оценку экономических затрат на проекты по информатизации и автоматизации решения прикладных задач (ПК-15); способен применять методы анализа прикладной области на концептуальном, логическом, математическом и алгоритмическом уровнях (ПК-17); способен выбирать необходимые для организации информационные ресурсы и источники знаний в электронной среде (ПК-20);

научно-исследовательская деятельность: способен применять системный подход и математические методы в формализации решения прикладных задач (ПК-21).

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать: случайные события и случайные величины, законы распределения; закон больших чисел, методы статистического анализа.

Уметь: вычислять вероятности случайных событий, составлять и исследовать функции распределения случайных величин, определять числовые характеристики случайных величин; обрабатывать статистическую информацию для оценки значений параметров и проверки значимости гипотез;

Владеть: теоретико-множественным и вероятностным подходами к постановке и решению задач;

4. Объем дисциплины и виды учебной работы

Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы.

Вид учебной работы	Всего часов (пятый семестр)
Аудиторные занятия (всего)	54
В том числе:	-
Лекции	22
Практические занятия (ПЗ)	32
Самостоятельная работа (всего)	90
В том числе:	-
Тест №1	20
Тест №2	20
Индивидуальное задание	7
Экзамен	36
Общая трудоемкость час зач. ед.	144
3+1

5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов дисциплины

1. Теория вероятностей.

Случайные события. Предмет теории вероятностей и ее значение для экономической науки. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного события.

Вероятность случайного события. Элементы комбинаторики. Частота события, ее свойства, статистическая устойчивость частоты. Аксиомы теории вероятностей. Простейшие следствия из аксиом. Классическое и геометрическое определения вероятности случайного события. Теорема сложения вероятностей. Условная частота, ее устойчивость. Условная вероятность события. Формула умножения вероятностей. Независимые события. Формула полной вероятности и формула Байеса. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Теоремы Муавра-Лапласа (без доказательства).

Случайные величины. Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины (ДСВ). Ряд распределения. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Независимые случайные величины. Системы случайных величин. Функции от случайных величин. Математическое ожидание ДСВ, его вероятностный смысл. Свойства математического ожидания случайной величины. Дисперсия случайной величины, ее свойства. Среднее квадратическое отклонение. Моменты случайных величин. Непрерывные случайные величины (НСВ). Функция распределения случайной величины, ее свойства. Плотность распределения вероятностей случайной величины, ее свойства. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение НСВ. Моменты НСВ. Равномерное распределение. Нормальное распределение. Мода, медиана, асимметрия, эксцесс. Правило трех стандартов.

Элементы корреляционной теории. Функциональная зависимость и корреляция. Функция регрессии. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Закон больших чисел. Понятие о законе больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Понятие о теореме Ляпунове.

2. Математическая статистика.

Основы выборочного метода и элементы статистический теории оценивания. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд, интервальный вариационный ряд. Полигон, гистограмма. Выборочная функция распределения. Числовые характеристики выборки. Точечное оценивание параметров распределения. Несмещенность, состоятельность и эффективность оценки. Выборочная средняя как оценка генеральной средней. Оценка генеральной дисперсии. Интервальное оценивание параметров распределения. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Интервальное оценивание генеральной средней и генеральной дисперсии.

Статистическое исследование зависимостей. Корреляционный и регрессионный анализ. Корреляционная таблица. Выборочный коэффициент корреляции. Построение выборочных линейных уравнений регрессии. Множественная линейная регрессия. Частные и множественные коэффициенты корреляции. Экономические примеры.

Методы статистической проверки гипотез. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Критерий проверки статистической гипотезы, критическая область. Ошибки первого и второго рода, уровень значимости, мощность критерия. Проверка гипотезы о среднем значении при известной и неизвестной дисперсии. Гипотеза о равенстве генеральных средних. Гипотеза о равенстве генеральных дисперсий. Понятие о критерии согласия. Критерий согласия Пирсона. Критерий согласия Колмогорова.

5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспе-чиваемых (последую-щих) дисциплин	№ № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1	2
1.	Статистика	*	*
2.	Математические методы в экономике	*	*
3	Методы решения оптимизационных задач в бизнесе	*	*
4	Теория экономических информационных систем	*	*
5	Нейроинформатика	*	*
6	Теория менеджмента	*	*
7	Физика	*	*

5.3. Разделы дисциплин и виды занятий

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Лекц.	Практ. зан.	СРС	Всего час.
1.	Теория вероятностей	12	22	47	81
2.	Математическая статистика	10	10	7	27

6. Лабораторный практикум не предусмотрен

7. Практические занятия (семинары)

№ п/п	№ раздела дисцип- лины	Тематика практических занятий (семинаров)	Трудо-емкость (час.)
1	1	Случайные события. Операции над случайными событиями. Элементы комбинаторики.	2
2	1	Вычисление вероятностей случайных событий на основе классической модели и модели геометрических вероятностей.	2
3	1	Вычисление вероятностей случайных событий при помощи теоремы сложения и формулы умножения вероятностей.	2
4	1	Использование формулы полной вероятности, формула Байеса.	2
5	1	Формула Бернулли и теоремы Муавра-Лапласа.	2
6	1	Случайные величины. Построение ряда распределения дискретной случайной величины.	2
7	1	Биномиальное распределение и распределение Пуассона.	2
8	1	Вычисление числовых характеристик ДСВ.	2
9	1	Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.	2
10	1	Вычисление числовых характеристик НСВ. Равномерное распределение. Нормальное распределение.	2
11	1	Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.	2
12	2	Основы выборочного метода и элементы статистической теории оценивания. Выборочная совокупность, выборочная функция распределения.	2
13	2	Вычисление точечных оценок параметров распределения. Интервальные оценки.	2
14	2	Статистические исследования зависимостей. Выборочный коэффициент корреляции.	2
15	2	Построение выборочных линейных уравнений регрессии.	2
16	2	Методы статистической проверки гипотез. Гипотеза о равенстве генеральных средних. Гипотеза о равенстве генеральных дисперсий. Критерий согласия Пирсона.	2

8. Примерная тематика курсовых работ – курсовые работы не предусмотрены.

9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

а) основная литература

1. Гмурман вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.

2. Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979.

3. Письменный лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам – М.: Айрис-пресс, 2006. – 288

б) дополнительная литература

1. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. Учебное пособие для студентов ВУЗов. – М.: Высшая школа, 2001.

2. Вентцель вероятностей: Учебник для ВУЗов. – М.: Высшая школа, 2002.

3. Первичная статистическая обработка данных –Л.:ЛФЭИ, 1987 (1,2 части)

4. , Ковбаса вероятностей: Учебное пособие. - Л.:ЛФЭИ, 1990.

5. Кремер вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.

в) программное обеспечение не предусмотрено

г) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:

1. http://www.intuit.ru/

2. http://www.edu.ru/

3. http://www. *****/

10. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

Документ-сканер, принтеры, компьютеры и пакеты программ обработки результатов тестирования.

11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» читается в течение пятого семестра и заканчивается экзаменом. Для контроля обучения в течение семестра проводятся два теста и одна самостоятельная работа. Максимальное количество баллов за каждый тест равно 42. Минимальное количество баллов для того, чтобы тест считался сданным, равно 23. Максимальное количество баллов за самостоятельную работу равно 16, минимальное – 9. В течение семестра необходимо набрать от 55 до 100 баллов. Максимальное число баллов, которое можно получить на экзамене, также равно 100. Итоговая оценка (в баллах) вычисляется по формуле , где – баллы, полученные за работу в семестре, а – за экзамен. Набранное итоговое количество баллов переводится в оценку согласно следующей таблице:

Итоговое количество баллов	оценка
до 55	неудовлетворительно
от 55 до 70	удовлетворительно
от 70 до 85	хорошо
от 85	отлично

Примеры задач и вопросов теста №1.

Требуется дать ответ ДА или НЕТ.

Пусть и - случайные события, имеющие ненулевые вероятности.

Верно утверждение:

если , то .

если , то .

если события и несовместны, то они независимы.

Требуется выбрать правильный ответ.

Производится серия независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью может появиться событие . Верно утверждение:

Вероятность того, что при четырех испытаниях событие появится ровно три раза, принадлежит промежутку …

А. . Б. . В. . Г. .

Требуется дать числовой ответ.

В ящике 3 белых, 4 черных и красных шаров. Вероятность вытащить случайным образом белый шар равна 0.2. Тогда вероятность вытащить красный шар равна

Примеры задач и вопросов теста №2.

Требуется дать ответ ДА или НЕТ.

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины имеет вид:

	0	1
-1	0.12	0.28
1	0.18	0.42

Тогда верны следующие утверждения:

Случайные величины и независимы.

.

.

.

Требуется выбрать правильный ответ.

Пусть - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием , дисперсией . Пусть - функция Лапласа. Тогда вероятность попадания в интервал равна …

А. . Б. . В. . Г. .

Требуется дать числовой ответ.

Дана функция распределения непрерывной случайной величины :

Найти .

Пример индивидуального задания.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема . Результаты представлены в виде интервального ряда.

интервал
частота
интервал
частота

1. Построить гистограмму и график выборочной функции распределения.

2. Найти выборочные оценки генеральной средней и генерального СКО.

3. Используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о нормальном распределении изучаемого признака в генеральной совокупности, выбрав уровень значимости .

4. Считая распределение признака в генеральной совокупности нормальным с генеральным СКО , а) построить доверительный интервал для генеральной средней, выбрав значение доверительной вероятности ; б) проверить гипотезу о равенстве генерального среднего заданному значению , выбрав .

Разработчики:

СПбГУЭФ доцент

СПбГУЭФ профессор

Эксперты:

ЭМИ РАН директор

СПбГМТУ профессор