УДК 517.95+532
О ГРУППОВОЙ КЛАССИФИКАЦИИ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В ПЕРЕМЕННЫХ ТРАЕКТОРИИ-ПОТЕНЦИАЛ ВЕБЕРА
,
научный руководитель доктор физ.-мат. наук
Сибирский Федеральный Университет
1. Уравнения Эйлера в лагранжевых координатах
Уравнения идеальной несжимаемой жидкости - уравнения Эйлера
(1)
(2)
В (1),(2) искомыми являются вектор скорости 
и давление
, а 
- заданные внешние силы.
Зададим траекторию движения точки жидкости вектором 
, где 
- вектор, характеризующий координаты точки в начальный момент времени; 
Тогда в лагранжевых координатах система (1),(2) принимает вид
(3)
(4)
где М – матрица Якоби отображения, а М*- транспонированная к M матрица; в (4) 
.
Во многих практически важных задачах внешние силы являются потенциальными, 
Это равенство в координатах Лагранжа переписывается в виде 
уравнение импульса (3) интегрируется (Г. Вебер, 1868 г.)
(5)
где 
- потенциал Вебера, а 
- начальное поле скоростей, причем 
Если функция известна, то давление восстанавливается из (3) в виде
(6)
с произвольной функцией времени 
.
Нас будут интересовать двумерные течения, т. е. 
, 
и 
, 
. В этом случае система (4),(5) упрощается и принимает вид
(7)
Производные по переменной 
выделены для удобства применения техники группового анализа.
2. Групповые свойства уравнений плоского потенциального движения
В случае плоского потенциального движения в (7) следует положить 
(достаточно произвести замену 
, 
, 
):
(8)
Инфинитезимальный оператор системы (8) ищем в виде
с неизвестными координатами 
. Продолженный на первые производные оператор записывается так
Подействовав оператором 
на систему уравнений (8) и проведя достаточно длинные выкладки, получим
Значит, все координаты оператора без ограничения общности можно считать равными единице. Следовательно, допускаемые системой (8) операторы таковы
Им соответствуют конечные преобразования:
3. Специальные решения
В процессе вывода системы (7) (или (8)) мы производили деление на 
и 
, поэтому рассмотрим отдельно случаи обращения в ноль этих величин.
Случай 
невозможен; если 
, то 
, 
, где функция 
должна удовлетворять соотношению 
В частности, для потенциального течения 
и 
. В этом случае получим течение жидкости, параллельное оси y. Давление p восстанавливается по формуле (6)
4. Групповые свойства уравнений плоского вихревого движения
Вернемся к системе уравнений (7). В случае плоского вихревого движения начальное поле скоростей 
, и система (7) запишется в виде:
(10)
Подействуем на (10) уже имеющимся оператором 
Снова проведя достаточно длинные выкладки, получим 
, 
,
, 
,
причем имеется классифицирующая система
(11)
Ядро алгербы Ли операторов системы (10) имеет вид
Далее, уравнение совместности для системы (11) дает равенство
(12)
поэтому в данном случае функции 
, 
являются гармоническими: 
, 
, а
(13)
Подстановка 
в (12) дает 
, или 
. Тогда ядро 
расширяется оператором
(14)
с функцией 
из (13). Так как 
и 
- произвольные, ядро расширяется двумя операторами:
(15)
Для 
расширяется оператором
(16)
При 
, 
имеем 
, и ядро расширяется оператором
(17)
Функции 
связаны уравнениями 
В частности, если 
, то 
, 
, поэтому
(18)
с функцией 
При этом оператор (17) принимает вид
(19)
5. Конечные преобразования
Для восстановления группы непрерывных преобразований уравнений
необходимо найти решение уравнений Ли с начальными условиями при 
, именно
(20)
В случае операторов ядра группа Ли такова
причем в каждом из случаев остальные переменные преобразуются тождественно.
Для оператора (14) находим
Аналогично, для первого оператора (15) найдем
а для второго -
(21)
Для оператора (16) имеем
(22)
и видно, что преобразования (22) есть частный случай преобразований (21).
Наконец, для оператора (19) имеем
Если u, v определяются из (18), то 
где учтено, что 
.
