ХI Международная дистанционная олимпиада «Эрудит»
Математика
4 класс
2 тур
Задания
Максимальное количество баллов - 30
Задача 1
Задумал Матроскин пасеку завести, пчел разводить да мед собирать. Купил восемь ульев. А чтобы вести учет, какой улей сколько меда дает, решил все ульи пронумеровать. В сарайчике нашел металлические цифры и, чтобы добро не пропадало, все их использовал для нумерации ульев. Получились ульи с номерами: 41, 72, 63, 75, 187, 647, 509, 4523. Расставил Матроскин ульи по кругу. А дядя Федор заметил, что любые два соседних улья имеют одинаковую цифру в своем номере.
Покажите, в каком порядке Матроскин расположил ульи.
Решение: Отметим, что цифры 0,8,9 есть только в одном экземпляре. Значит, через них не может идти связь. Тогда в числе 509 связь в ОБЕ стороны идет через цифру 5.
Т. е., начало цепочки получается таким: 4523 – 509 – 75.
Отметим, что через 2 есть только одна связь 4523-72. Но, опытным путем получим, что, если использовать ее, круг не замкнуть. Значит, цифру 2 в цепочках использовать не будем, а число 72 будет соединено с соседними через 7.
Тогда получаем: 4523 – 509 – 75 – 72.
Далее, заметим, что число 63 имеет единственные варианты связи 4523 – 63 – 647.
Тогда цепочка растет: 647 – 63 – 4523 – 509 – 75 – 72.
Остается немного – использовать остатки и замкнуть кольцо.
Ответ: 509 – 4523 – 63 – 647 – 41 – 187 – 72 – 75 – 509
Задача 2
Дядя Федор, Матроскин, Шарик и почтальон Печкин просыпаются рано утром, каждый по сигналу своего будильника. Сегодня утром будильники звонили: в 6 часов 30 минут, в 6 часов 40 минут, в 6 часов 50 минут и в 7 часов 00 минут.
В какое время звонил будильник дяди Федора, Матроскина, Шарика и почтальона Печкина, если в каждом из следующих утверждений, по крайней мере, одна часть верна:
1) будильник Матроскина зазвонил в 6 ч. 40 мин., а будильник Шарика – в 6 ч. 50 мин.;
2) будильник дяди Федора зазвонил в 6 ч. 30 мин., а будильник Шарика – в 6 ч. 40 мин.;
3) будильник Шарика зазвонил в 7 ч. 00 мин., а будильник дяди Федора – в 6 ч. 50 мин?
Решение:
Из первого утверждения предположим, что верны и Ш:6.50, и М:6.40. Тогда второе утверждение будет верно только для Ф:6.30. Но, тогда третье утверждение будет полностью неверно. Этот вариант неверный.
Вообще, предположение Ш:6.50 ошибочно.
Таким образом, в Утв.1 остается лишь один вариант – М:6.40 – правда, а Ш:6.50 – ложь.
Тогда в Утв.2 однозначно выходит Ш:6.40 – ложь, Ф:6.30 – правда.
Тогда в Утв.3 Ф:6.50 – ложь, Ш:7.00 – правда. Тогда Печкин – 6.50.
Ответ. Федор 6.30, Матроскин 6.40, Печкин 6.50, Шарик 7.00
Задача 3
Пошел Шарик в лес, зайцев искать, чтобы отдать фотографии. Бродил он по лесу, и вдруг увидел зайчонка. Зайчонок Шарика испугался и рванул от него со всех ног. Расстояние, которое пробегает зайчонок за 6 прыжков, Шарик пробегает за 5 прыжков.
За сколько прыжков Шарик догонит зайчонка, если расстояние между Шариком и зайчонком в момент, когда они увидели друг друга, было равно 40 прыжкам Шарика, причем прыжки Шарик и зайчонок совершают одновременно?
Решение. За серию из 6 прыжков Шарик приближается к зайчонку на 1 прыжок Шарика. Чтобы догнать зайчонка, Шарику необходимо 40 таких серий прыжков. Соответственно 40х6=240.
Ответ. За 240 прыжков.
Задача 4
Решил как-то Матроскин порядок в кладовке навести. Расставил банки с вареньем по две банки в ряд, в последнем ряду оказалась одна банка. Когда расставил банки по три в ряд, в последнем ряду оказались две банки.
Сколько банок окажется в последнем ряду, когда Матроскин расставит банки по шесть штук в ряд?
Решение. Исходя из первого условия, число банок нечетное, кроме того, не делится на 3, остается в остатке 2. Тогда получается ряд из вариантов решений: 5, 11, 17, 23 и тд.
Видим, что каждый вариант на единицу меньше числа, кратного 6, таким образом, в остатке при делении на 6 остается всегда 5.
Ответ. В последнем ряду будет 5 банок.
Задача 5
Однажды утром Матроскин и Шарик пили чай с ватрушками. Шарику очень понравились ватрушки, и он уплетал их с большим аппетитом. Когда Шарик съел в два раза больше ватрушек, чем Матроскин, Матроскин его остановил, сказав, что надо оставить ватрушек дяде Федору.
Сколько ватрушек досталось дяде Федору, если известно, что всего их было 14 штук, а Шарик съел ватрушек больше всех?
Решение. Если Матроскин съел М ватрушек, то Шарик – 2М. Федору осталось Ф=14-3М. При этом Ф<2М, так как Шарик съел больше.
При подборе получаем, что М=3 или М=4. Тогда Ф=5 (М=3) или Ф=2 (М=4).
Ответ. Если Шарик съел больше всех других вместе взятых, то Федор – 2 ватр.
Если Шарик просто больше всех по отдельности, то Федор – 2 (Ш=8, М=4), либо Ф=5 (Ш=6, М=3)
Задача 6
Почтальон Печкин вышел из здания, где находилась почта, и привычным маршрутом разнес письма жителям Простоквашино, после чего зашел к себе домой на обед. На рисунке показаны все тропинки, по которым проходил Печкин, причем, как оказалось, ни по одной из них он не проходил дважды.
В каком доме может находиться почта? В каком доме может жить Печкин? По какому маршруту он разнес письма?
Решение. Считаем, что почта и дом Печкина – разные здания. Тогда становится понятным, где какие дома могут быть почтой или домом Печкина – это №12 и №10 – так как к ним подходят по 3 дорожки – для начала и конца пути.
Один из вариантов пути (№12 – почта, №10 – дом)
№№10 или
№№10
Если, наоборот (№10-почта, №12 – дом), то вариантов тоже много
№№12
№№12
Вариантов перебора достаточно много.
Ответ. Почта и дом Печкина размещаются в домах №10 и №12.
Маршруты (некоторые):
№№10
№№10
№№12
№№12
Дорогие ребята!
Вам предстоит решить 6 занимательных задач по математике. Максимальное количество баллов за каждую задачу – 5. Их можно получить, если задача решена правильно, приведено полное подробное решение. Если решения задачи нет, а дан только правильный ответ, то задача будет оценена в 1 балл. Ждем ваших решений.
Желаем успехов!
Уважаемые ребята, родители и координаторы!
Мы будем очень благодарны Вам за оставленный отзыв об олимпиаде.
Нам очень важно знать ваше мнение о заданиях олимпиады. Какие задания показались легкими? А какие самыми сложными? Что вам не понравилось?
Арарв задании №5 нечетко поставлен вопрос |
