Комплексная Аттестационная Работа № 1
(КАТР 1)
по дисциплинам:
«Математические методы»,
«Численные методы»
Выполнил: студент
Тьютор:
Москва
2005 г.
Задание1.
Рисунок 1.
Группа в составе пяти самолетов в строю «колонна» (рисунок 1) совершает налет на территорию противника. Передний самолет (ведущий) является постановщиком помех; до тех пор, пока он не сбит, идущие за ним самолеты не могут быть обнаружены и атакованы средствами ПВО противника. Атакам подвергается только постановщик помех. Поток атак — пуассоновский, с интенсивностью λ (атак/час). В результате атаки постановщик помех поражается с вероятностью р.
Если постановщик помех поражен (сбит), то следующие за ним самолеты обнаруживаются и подвергаются атакам ПВО; на каждый из них (до тех пор, пока он не поражен) направляется пуассоновский поток атак с интенсивностью λ каждой атакой самолет поражается с вероятностью р. Когда самолет поражен, атаки по нему прекращаются, но на другие самолеты не переносятся.
Записать и решить уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы и указать начальные условия.
Решение
Исходя из предположения, что после того как постановщик помех будет сбит, ПВО противника сбить одновременно 2 самолета не сможет, построим граф состояний системы:
 |
Рис 2. Граф состояний колонны самолетов
S0 – Все 5 самолетов в колонне
S1 – Сбит постановщик помех – 4 самолета в колонне.
S2 – 3 самолета в колонне
S3 – 2 самолета в колонне
S4 – 1 самолет в колонне
S5 – Все самолеты сбиты
Начальные условия. В начальный момент времени (t=0) p0=1, p1=0, p2=0, p3=0, p4=0, p5=0 (т. е. все 5 самолетов в колонне).
Уравнения Колмогорова записываются в следующем виде:
Финальные состояния: 
p5=1
Так как граф состояний системы имеет возможность движения по узлам лишь в одном направлении, то очевидно, что финальные состояния системы (при 
) будут стремиться к последнему состоянию (т. е. 
.)
Задание 2.
В нашем распоряжении имеются разработанные четыре образца зенитных управляемых ракет: А1, A2, A3, А4, предназначенные для стрельбы по самолетам; известны типы самолетов противника В1, В2, B3, B4, B5, которые он может применять, однако неизвестно заранее — в какой пропорции. Вероятность поражения самолета противника при применении каждого типа вооружения задана матрицей указанной в таблице 1 приложения.
Требуется, исходя из принципов теории игр, обосновать пропорции, в которых надо заказывать вооружение различных типов.
Таблица 1.
В1 | В2 | B3 | B4 | B5 | |
А1 | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,4 | 0,7 |
A2 | 0,3 | 0,4 | 0,6 | 0,5 | 0,8 |
A3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,5 | 0,8 |
А4 | 0,7 | 0,3 | 0,5 | 0,2 | 0,1 |
Решение
Упростим систему. Рассмотрим игру с позиций игрока A. Необходимы ракеты, у которых вероятность поражения будет наивысшей для всех типов самолетов. Вероятности поражения ракетами типа A1 и A2 меньше (либо равны) для всех типов самолетов относительно A3 ( A3 доминирует над стратегиями A1 и A2).
В1 | В2 | B3 | B4 | B5 | |
A3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,5 | 0,8 |
А4 | 0,7 | 0,3 | 0,5 | 0,2 | 0,1 |
Рассмотрим игру с позиций игрока B. Необходимо выбрать самолеты, вероятность попадания в которые будет наименьшей. Вероятности поражения самолетов типа B2 и B3 больше (либо равны) для всех типов самолетов относительно B4 (B4 доминирует над стратегиями B2 и B3).
В1 | B4 | B5 | |
A3 | 0,4 | 0,5 | 0,8 |
А4 | 0,7 | 0,2 | 0,1 |
Нижняя цена игры для A 0,4 (максимин), верхняя цена игры для B 0,5 (минимакс).
Начнем с произвольно выбранной стратегии игрока А,— например, со стратегии A3. Проанализируем первые 22 шага (данное число шагов выбрано из-за цикличности применения стратегий) итерационного процесса по методу Брауна-Робинсон.
k | i | B1 | B4 | B5 | j | А3 | А4 | Vн | Vв | V* |
1 | 3 | 0,4 | 0,5 | 0,8 | 1 | 0,4 | 0,7 | 0,4 | 0,7 | 0,55 |
2 | 4 | 1,1 | 0,7 | 0,9 | 4 | 0,9 | 0,9 | 0,35 | 0,45 | 0,4 |
3 | 4 | 1,8 | 0,9 | 1,0 | 4 | 1,4 | 1,1 | 0,3 | 0,47 | 0,39 |
4 | 3 | 2,2 | 1,4 | 1,8 | 4 | 1,9 | 1,3 | 0,35 | 0,48 | 0,42 |
5 | 3 | 2,6 | 1,9 | 2,6 | 4 | 2,4 | 1,5 | 0,38 | 0,48 | 0,43 |
6 | 3 | 3,0 | 2,4 | 3,2 | 4 | 2,9 | 1,7 | 0,4 | 0,48 | 0,44 |
7 | 3 | 3,4 | 2,9 | 4,0 | 4 | 3,4 | 1,9 | 0,41 | 0,49 | 0,45 |
8 | 3 | 3,8 | 3,4 | 4,8 | 4 | 3,9 | 2,1 | 0,43 | 0,49 | 0,46 |
9 | 3 | 4,2 | 3,9 | 5,6 | 4 | 4,4 | 2,3 | 0,43 | 0,49 | 0,46 |
10 | 3 | 4,6 | 4,4 | 6,2 | 4 | 4,9 | 2,5 | 0,44 | 0,49 | 0,47 |
11 | 3 | 5,0 | 4,9 | 7,0 | 4 | 5,4 | 2,7 | 0,45 | 0,49 | 0,47 |
12 | 3 | 5,4 | 5,4 | 7,8 | 1 | 5,8 | 3,4 | 0,45 | 0,48 | 0,47 |
13 | 3 | 5,8 | 5,9 | 8,6 | 1 | 6,2 | 4,1 | 0,45 | 0,48 | 0,47 |
14 | 3 | 6,2 | 6,4 | 9,2 | 1 | 6,6 | 4,8 | 0,44 | 0,47 | 0,46 |
15 | 3 | 6,6 | 6,9 | 10,0 | 1 | 7,0 | 5,5 | 0,44 | 0,47 | 0,46 |
16 | 3 | 7,0 | 7,4 | 10,8 | 1 | 7,4 | 6,2 | 0,44 | 0,46 | 0,45 |
17 | 3 | 7,4 | 7,9 | 11,6 | 1 | 7,8 | 6,9 | 0,44 | 0,46 | 0,45 |
18 | 3 | 7,8 | 8,4 | 12,2 | 1 | 8,2 | 7,6 | 0,43 | 0,46 | 0,45 |
19 | 3 | 8,2 | 8,9 | 13,0 | 1 | 8,4 | 8,3 | 0,43 | 0,44 | 0,44 |
20 | 3 | 8,6 | 9,4 | 13,8 | 1 | 8,8 | 9,0 | 0,43 | 0,45 | 0,44 |
21 | 4 | 9,3 | 9,6 | 13,9 | 1 | 9,2 | 9,7 | 0,44 | 0,46 | 0,45 |
22 | 4 | 10,0 | 9,8 | 14,0 | 4 | 9,7 | 9,9 | 0,45 | 0,45 | 0,45 |
Как видно, величина V* незначительно колеблется около среднего значения цены игры u=4,5. Подсчитаем по таблице частоту использования ракет игроком А. Получим:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
