Учебно-методическое объединение Республики Беларусь
по естественнонаучному образованию
Белорусский государственный университет
УТВЕРЖДАЮ
Декан механико-математического факультета
_____________________
(подпись)
__________________________________
(дата утверждения)
Регистрационный № УД-______/баз.
«МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА»
Учебная программа для специальности
1«математика (научно-педагогическая деятельность)»
2010
Составители:
– старший преподаватель кафедры высшей алгебры ММФ БГУ
Рецензенты:
– профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой высшей алгебры ММФ БГУ
РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ:
РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ:
Кафедрой высшей алгебры
(протокол №11 от 01.01.2001г.)
Научно-методическим советом ММФ БГУ
(протокол №6 от 01.01.2001г.)
Ответственный за редакцию:
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
В настоящее время развитие математической логики сопровождается увеличением ее роли в математике и вычислительной технике. Основными задачами математической логики являются изучение математических доказательств и вопросов оснований математики. Математическая логика органически связана с математической кибернетикой (математическая теория управляющих систем, применение ЭВМ для доказательства теорем, исследование естественных и искусственных языков, логическое проектирование цифровой аппаратуры), а также с программированием.
Изучение математической логики студентами механико-математического факультета ориентировано, прежде всего на лучшее понимание ими строения математических теорий, сущности и структуры математических доказательств, логики ЭВМ.
Программа предназначена для студентов механико-математического факультета.
"МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА"
Цель курса "Математическая логика": повышение уровня профессиональной компетентности, умение ориентироваться в вопросах исследования оснований математики, структуры доказательств, логических основ программирования, логического проектирования микропроцессорной и вычислительной техники.
Образовательная цель: сообщение студентам знаний о предмете и методе математической логики и ее значении для математики, математической кибернетики, программирования и вычислительной техники.
Тематический план курса "Математическая логика "
№ темы | Количество часов | |
Содержание курса | Лекции | Лабораторные |
Тема 1. Введение. |
| |
1. Предмет и задачи математической логики. | 2 | - |
Тема 2. Исчисления высказываний. | ||
1. Язык логики высказываний. | 2 | 2 |
2. Исчисления высказываний: алфавит, язык. | 2 | 2 |
3. Теорема дедукции. | 2 | 2 |
Тема 3. Исчисления предикатов и теория моделей. | ||
1. Алгебраические системы, алгебра, модель. | 2 | 1 |
2. Формулы логики предикатов. | 2 | 1 |
3. Исчисления предикатов. | 4 | 1 |
4. Теорема Линденбаума. | 2 | 1 |
5. Теорема Геделя. | 2 | 1 |
6. Теорема Геделя о полноте. | 2 | 1 |
7. Теорема Левенгейма-Сколема. | 2 | 1 |
8. Локальная теорема Мальцева. | 2 | 1 |
Тема 4. Частично рекурсивные функции. Нумерация Геделя. | ||
1. Операции подстановки. | 2 | 1 |
2. Операции примитивной рекурсии. | 2 | 1 |
3. Операции минимизации частично общерекурсивной функции. | 2 | 1 |
4. Тезис Черча. | 2 | - |
5. Нумерация кортежей. | 2 | - |
Итого: | 34 | 17 |
Тема 1. Введение.
Предмет и задачи математической логики. Краткий исторический экскурс.
Тема 2. Исчисления высказываний.
Язык логики высказываний. Тождественно истинная и равносильная формула логики высказываний. Основные равносильности. Исчисления высказываний: алфавит, язык. Правильно построенные формулы (п. п.ф.), правила вывода, доказуемость и доказательство. Понятие исчисления. Теорема дедукции. Следствия из теоремы дедукции. Производные правила вывода. Связь между алгеброй высказываний и исчислением высказываний. Полнота, непротиворечивость и разрешимость исчисления высказываний.
Тема 3. Исчисления предикатов и теория моделей.
Алгебраические системы, алгебра, модель. Язык исчисления предикатов данной сигнатуры, алфавит, правильно построенные формулы тождественно истинные и выполнимые формулы логики предикатов. Исчисления предикатов данной сигнатуры, аксиомы, правила вывода, доказуемость исчислений предикатов, доказательство из гипотез, теорема дедукции. Примеры доказуемых формул, предваренная нормальная форма. Выполнимое, невыполнимое, противоречивое, непротиворечивое, полное и неполное множества предложений. Теорема Линденбаума. Теорема Геделя о том, что непротиворечивое множество предложений является выполнимым.
Теорема Геделя о полноте. Теорема Левенгейма-Сколема. Локальная теорема Мальцева, теорема о совместной выполнимости.
Тема 4. Частично рекурсивные функции. Нумерация Геделя.
Операции подстановки и примитивной рекурсии, минимизации частично и общерекурсивной функции. Тезис Черча. Нумерация кортежей. Нумерации Геделя.
ЛИТЕРАТУРА
по курсу "Математическая логика "
Основная:
1. Э. Мендельсон. Введение в математическую логику. 1971.
2. . Элементы математической логики. 1973.
3. , . Элементы математической логики. 1974.
4. , . Математическая логика. 1999.
5. , , . Вводный курс математической логики. 2002.
6. , Максимова по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. 1984.
Дополнительная:
1. , . Математическая логика. 1977.
