ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
по курсу математического анализа
Прикладная математика. Баклавриат. 2013-14
Преподаватель:
1 семестр.
Введение в анализ
Вопросы
1. Элементы теории множеств. Операции с множествами и их свойства.
2. Функции и отображения, образы и прообразы, их свойства. Существование обратной функции.
3. Бинарные отношения: отношение порядка, мажоранты, миноранты, супремум, инфимум, максимум, минимум, примеры.
4. Отношение эквивалентности. Разбиение на классы эквивалентности, примеры.
5. Мощность множества: счетные множества и их свойства.
6. Несчетность отрезка. Множества мощности континуум.
7. Действительные числа. Точные грани ограниченных числовых множеств.
8. Метрические пространства. Евклидово пространство.
9. Предельные, внутренние, граничные точки множества в метрическом пространстве. Внутренность, внешность, граница, замыкание множества. Всюду плотное подмножество.
10. Открытые и замкнутые множества и их свойства.
11. Предел числовой последовательности и его свойства. Фундаментальные последовательности.
12. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства, их связь с пределом последовательности.
13. Сходимость монотонных последовательностей. Число е.
14. Частичные пределы, верхний и нижний пределы числовых последовательностей.
15. Компактные множества и их свойства.
16. Критерий компактности в 
. Связные множества.
17. Критерии полноты множества вещественных чисел: существование точных границ, лемма о вложенных отрезках, лемма о конечном покрытии, лемма о предельной точке, сходимость фундаментальной последовательности. Подробная формулировка.
18. Определения предела функции в точке по Гейне и по Коши. Критерий Коши существования предела функции.
19. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности, верхний, нижний и односторонние пределы вещественной функции вещественной переменной.
20. Замечательные пределы и их следствия.
21. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. О-символика. Таблица эквивалентных бесконечно малых.
22. Определения непрерывной функции в точке по Коши и по Гейне. Арифметические свойства.
23. Непрерывность композиции. Критерий непрерывности функции на множестве (в метрическом пространстве). Классификация точек разрыва.
24. Свойства непрерывной функции на компактном множестве: непрерывный образ компактного множества, достижение точных границ непрерывной числовой функции на компактном множестве (в частности на отрезке).
25. Непрерывность обратной функции. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции на связном множестве. Непрерывность элементарных функций.
26. Существование односторонних пределов у монотонной функции, мощность ее множества точек разрыва.
27. Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
Упражнения и задачи
1. Пусть 
Доказать, что 
2. Пусть Доказать, что 
3. Доказать, что 
4. Определить мощность множества алгебраических чисел.
5. Доказать, что всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
6. Пусть 
такова, что 
Является ли 
инъекцией, сюръекцией, биекцией?
7. Найти 
и 
.
8. Пусть 
, 
. Доказать, что 
.
9. Пусть , 
. Доказать, что 
.
10. Пусть , . Доказать, что 
.
11. Пусть , 
. Доказать, что 
.
12. Пусть , 
. Доказать, что 
.
13. Пусть , . Доказать, что 
.
14. Установить биекцию между 
и 
.
15. Установить биекцию между отрезками 
и 
.
16. Какие из отображений 
являются сюръекцией, инъекцией или биекцией а)
, б)
, в)
.
17. Какие из отображений являются сюръекцией, инъекцией или биекцией а) 
, б)
, в)
.
18. Пусть 
и 
- подпоследовательность последовательности 
. Доказать, что 
.
19. Пусть 
и 
- фундаментальные последовательности. Доказать, что последовательность 
- фундаментальна.
20. Пусть функция 
непрерывна на множестве 
и 
Доказать, что непрерывна на множестве 
21. Найти наибольший и наименьший элементы множества 
22. Пусть 
. Доказать, что 
.
23. Найти верхний и нижний пределы последовательности 
.
24. Найти точные грани множества 
, а также верхний и нижний пределы последовательности 
.
25. Доказать монотонность и ограниченность последовательности 
Найти ее предел.
26. Доказать, что всякая ограниченная числовая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.
27. Пусть 
- предельная точка множества 
. Доказать, что 
28. Доказать, что если монотонная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность, то она сходится.
29. Пусть 
- непрерывная сюръекция. Доказать, что 
30. Доказать, что 
31. Доказать, что множество всех конечных подмножеств счетного множества счетно.
32. Доказать, что 
33. Доказать, что 
34. Найти все частичные пределы функции 
при 
.
35. Пусть 
. Найти 
, 
, 
, 
.
36. Пусть 
Найти прообразы множеств: 
.
37. Пусть Найти образы множеств: 
38. Сформулировать определение того, что функция не является непрерывной в точке 
.
39. Сформулировать определение того, что 
40. Сформулировать определение того, что 
41. Сформулировать определение того, что функция не является монотонной на 
.
42. Сформулировать определение того, что множество не является связным.
43. Сформулировать определение того, что 
44. Сформулировать определение того, что точка не является внутренней для множества .
45. Сформулировать определение того, что множество не является компактным.
46. Сформулировать определение того, что точка является изолированной точкой множества .
47. Сформулировать определение того, что функция не является ограниченной на множестве .
48. Существует ли функция , непрерывная на 
, отображающая на 
49. Существует ли функция , непрерывная на 
, отображающая на 
50. Существует ли функция , непрерывная на , отображающая на 
51. Существует ли функция , непрерывная на 
, отображающая на 
52. Существует ли функция , непрерывная на , отображающая на
53. Существует ли биекция , непрерывная на , отображающая на 
54. Доказать, что уравнение 
имеет корень на интервале 
55. Пусть функция - непрерывна на и 
Доказать, что 
такое, что 
. Показать на графическом примере, что для интервала это не верно.
56. Доказать, что если функция - непрерывна на , то и функция 
- непрерывна на . Показать на примере, что обратное утверждение не верно.
57. Пусть функции 
- непрерывны на и 
Доказать, что 
Дать геометрическую интерпретацию.
58. Пусть функция - непрерывна на 
. Доказать, что множество 
замкнуто.
59. Доказать, что функция непрерывна на 
множества 
и 
открыты относительно .
60. Доказать, что если функция - непрерывна на и имеет обратную, то монотонна на .
61. При каком 
функция 
непрерывна на 
62. При каких и 
функция непрерывна на 
63. При каком функция непрерывна на 
64. Построить график и исследовать на непрерывность функцию 
65. Построить график и исследовать на непрерывность функцию 
66. Построить график и исследовать на непрерывность функцию 
67. Пусть 
, а 
- б. б. при 
. Доказать, что 
- б. б. при .
68. Найти 
69. Найти 
70. Исследовать на непрерывность функцию 
71. Исследовать на непрерывность функцию 
72. Исследовать на непрерывность функцию 
73. Исследовать на равномерную непрерывность функцию
на
74. Исследовать на равномерную непрерывность функцию 
на
75. Исследовать на равномерную непрерывность функцию 
на
76. Пусть 
Исследовать на непрерывность функции 
и 
77. Пусть функция - непрерывна на и 
. Доказать, что 
такая, что 
78. Известно, что непрерывна при 
и 
Доказать, что ограничена при .
79. Пусть 
Доказать, что тогда 
80. Пусть функция - непрерывна на множестве . Доказать, что множества 
замкнуты для 
