Итоговый тест по математике за 2013-2014 учебный год
Вариант № 1
Часть1
Ответом на задания В1–В10 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерений писать не нужно.
В 1. . Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3300 рублей. До установки счётчиков Александр платил за воду (холодную и горячую) ежемесячно 800 рублей. После установки счётчиков оказалось, что в среднем за месяц он расходует воды на 300 рублей при тех же тарифах на воду. За какое наименьшее количество месяцев при тех же тарифах на воду установка счётчиков окупится?
В 2. Одного рулона обоев хватает для оклейки полосы от пола до потолка шириной 1,6 м. Сколько рулонов обоев нужно купить для оклейки прямоугольной комнаты размерами 2,3 м на 4,1 м?
В 3. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура превышала 20 градусов Цельсия.
В 4. В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10 000 руб., он получает сертификат на 1000 рублей, который можно обменять в том же магазине на любой товар ценой не выше 1000 руб. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель И. хочет приобрести пиджак ценой 9500 руб., рубашку ценой 800 руб. и галстук ценой 600 руб. В каком случае И. заплатит за покупку меньше всего:
1) И. купит все три товара сразу.
2) И. купит сначала пиджак и рубашку, галстук получит за сертификат.
3) И. купит сначала пиджак и галстук, получит рубашку за сертификат.
В ответ запишите, сколько рублей заплатит И. за покупку в этом случае.
В 5. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
В 6. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.
В 7. Найдите корни уравнения: 
В ответ запишите наибольший отрицательный корень.
В 8. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2 +√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
В 9.1 На рисунке изображен график функции 
и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
В 9.2 На рисунке изображен график производной функции 
, определенной на интервале 
. Найдите количество точек минимума функции на отрезке 
.
В 10.1 В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы.
В 10.2 В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребраAC, S — вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Часть2.
Ответом на задания В11–В15 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерений писать не нужно.
В Найдите значение выражения 
.
В Найдите значение выражения 
, если 
, а 
.
В 12. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой 
Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка 
больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону 
(Гц), где 
– скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а 
м/с. Ответ выразите в м/с.
В 13. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60
. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.
В 14. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь – за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
В 15.1 Найдите точку минимума функции 
, принадлежащую промежутку 
.
В 15.2
Для записи решений и ответов на задания С1–С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.
С 1. 1. а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
С 2. Дана правильная треугольная призма 
все ребра основания которой равны 
Сечение, проходящее через боковое ребро 
и середину 
ребра 
является квадратом. Найдите расстояние между прямыми 
и 
С3.
С4. Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 8 и KT = 4.
