Вопросы к экзамену по дисциплине «Применение математики в технических науках»
направление подготовки «Профессиональное обучение»,
профиль «Электроника, радиотехника и связь»
заочная форма обучения
2 курс, 3 семестр, уч. г.
1. Геометрический смысл производной и применение производной для решения геометрических задач.
2. Физический смысл производной и применение производной для решения физических задач
3. Экономический смысл производной и применение производной для вычисления некоторых экономических величин.
4. Оптимизационные задачи.
5. Применение интеграла для вычисления площадей плоских фигур и поверхностей вращения, длины дуги и объемов тел (в декартовых, полярных и параметрических координатах).
6. Применение интегралов для вычисления статических моментов плоских фигур, координат центра тяжести плоской фигуры, механической работы.
7. Основная задача линейного программирования, ее геометрический и экономический смысл.
8. Симплексный метод для решения основной задачи линейного программирования.
9. Экономико-математические модели. Системы линейных уравнений как модели экономических задач.
10. Леонтьева многоотраслевой экономики. Линейная модель обмена (модель международной торговли).
11. Применение производной при решении биологических и химических задач.
12. Дифференциальные уравнения как модели экономических процессов. Модель естественного роста выпуска. Модель демографического процесса.
13. Применение дифференциальных уравнений при решении биологических, химических, физических задач.
К. п.н., доцент _______________________
Рассмотрено и утверждено
на заседании кафедры математики, ТиМОМ
протокол от 01.01.2001 г.
зав. кафедрой _________________
Контрольная раюота по дисциплине «Применение математики в технических науках»
2 курс, направление подготовки «Профессиональное обучение»,
профиль «Электроника, радиотехника и связь»
3 семестр, уч. г., ЗФО
Вариант 1.
1. Исследовать функцию на экстремум z=x2+3y2+x–y.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х2 – 4; у = х + 2;
3. Решить дифференциальное уравнение 
, у(0)=1, у'(0)=0;
4. Фирма может арендовать 5-тонные контейнеры по цене 2 тыс. руб. за контейнер и 7-тонные по цене 3 тыс. руб. за контейнер, израсходовав при этом не более 60 тыс. рублей. Всего в наличии имеется не более шести 5-тонных контейнеров и не более восемнадцати 7-тонных контейнеров. Сколько и каких контейнеров нужно арендовать, чтобы общий объем грузоперевозок был максимальным. Построить математическую модель задачи и решить графически.
5. В таблице указаны технологические коэффициенты аij, которые показывают сколько единиц i-го вида сырья требуется для производства одной единицы j-го вида продукта, запасы сырья и прибыль от реализации j-го продукта. Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль будет максимальной. Составить математическую модель задачи; решить задачу симплекс-методом.
Сырье | 1 | 2 | 3 | 4 | Запасы |
1 | 0,5 | 1,5 | 0,5 | 3 | 400 |
2 | 0 | 0 | 5 | 1 | 150 |
3 | 0 | 2,5 | 1 | 1 | 500 |
4 | 2,5 | 3 | 0 | 1 | 300 |
Прибыль | 3 | 5 | 3 | 3 |
Вариант 2.
1. Исследовать функцию на max и min z=x2+2хy–у2–4х.
2. Найти с помощью двойного интеграла площадь фигуры, ограниченной линиями:
х×у = 2; х + 2у – 5 = 0;
3. Решить дифференциальное уравнение 
, у(0)=0, у'(0)=0.
4. Фирма может арендовать 5-тонные контейнеры по цене 2 тыс. руб. за контейнер и 7-тонные по цене 3 тыс. руб. за контейнер, израсходовав при этом не более 60 тыс. рублей. Всего в наличии имеется не более двенадцати 5-тонных контейнеров и не более восемнадцати 7-тонных контейнеров. Сколько и каких контейнеров нужно арендовать, чтобы общий объем грузоперевозок был максимальным. Построить математическую модель задачи и решить графически.
5. В таблице указаны технологические коэффициенты аij, которые показывают сколько единиц i-го вида сырья требуется для производства одной единицы j-го вида продукта, запасы сырья и прибыль от реализации j-го продукта. Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль будет максимальной. Составить математическую модель задачи; решить задачу симплекс-методом.
Сырье | 1 | 2 | 3 | 4 | Запасы |
1 | 0,5 | 0 | 0,5 | 0,5 | 400 |
2 | 0 | 2,5 | 1 | 2 | 500 |
3 | 2,5 | 5 | 1 | 1 | 300 |
4 | 2,5 | 0 | 1 | 1 | 100 |
Прибыль | 3 | 5 | 4 | 5 |
Вариант 3.
1. Исследовать функцию на экстремум z=x2–2хy+
–2х.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 3х2; у = х + 2;
3. Решить дифференциальное уравнение 
, у(0)=2, у'(0)=8.
4. Фирма может арендовать 5-тонные контейнеры по цене 2 тыс. руб. за контейнер и 7-тонные по цене 3 тыс. руб. за контейнер, израсходовав при этом не более 60 тыс. рублей. Всего в наличии имеется не более четырех 5-тонных контейнеров и не более восемнадцати 7-тонных контейнеров. Сколько и каких контейнеров нужно арендовать, чтобы общий объем грузоперевозок был максимальным. Построить математическую модель задачи и решить графически.
5. В таблице указаны технологические коэффициенты аij, которые показывают сколько единиц i-го вида сырья требуется для производства одной единицы j-го вида продукта, запасы сырья и прибыль от реализации j-го продукта. Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль будет максимальной. Составить математическую модель задачи; решить задачу симплекс-методом.
Сырье | 1 | 2 | 3 | 4 | Запасы |
1 | 2 | 1 | 1,5 | 1,5 | 100 |
2 | 3 | 0,5 | 0,5 | 0 | 400 |
3 | 0,5 | 0 | 5 | 0,4 | 400 |
4 | 1,5 | 0 | 1 | 2,5 | 500 |
Прибыль | 4 | 3 | 3 | 5 |
Вариант 4.
1. Исследовать функцию на экстремум z=x2+2хy–у2–2х+2у.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 
; у = х2;
3. Решить дифференциальное уравнение 
, у(0)=0, у'(0)=0.
4. Фирма может арендовать 5-тонные контейнеры по цене 2 тыс. руб. за контейнер и 7-тонные по цене 3 тыс. руб. за контейнер, израсходовав при этом не более 60 тыс. рублей. Всего в наличии имеется не более десяти 5-тонных контейнеров и не более шестнадцати 7-тонных контейнеров. Сколько и каких контейнеров нужно арендовать, чтобы общий объем грузоперевозок был максимальным. Построить математическую модель задачи и решить графически.
5. В таблице указаны технологические коэффициенты аij, которые показывают сколько единиц i-го вида сырья требуется для производства одной единицы j-го вида продукта, запасы сырья и прибыль от реализации j-го продукта. Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль будет максимальной. Составить математическую модель задачи; решить задачу симплекс-методом.
Сырье | 1 | 2 | 3 | 4 | Запасы |
1 | 0,5 | 2 | 0,5 | 1 | 400 |
2 | 2,5 | 1 | 2 | 1 | 500 |
3 | 5 | 1 | 1 | 1 | 300 |
4 | 0 | 1 | 1 | 0 | 100 |
Прибыль | 5 | 4 | 3 | 3 |
Вариант 5.
1. Исследовать функцию на экстремум z=x2+2хy–у2+4х.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х3; у = 4х;
3. Решить дифференциальное уравнение
, у(0)=1, у'(0)=3.
4. Фирма может арендовать 5-тонные контейнеры по цене 2 тыс. руб. за контейнер и 7-тонные по цене 3 тыс. руб. за контейнер, израсходовав при этом не более 60 тыс. рублей. Всего в наличии имеется не более шести 5-тонных контейнеров и не более восемнадцати 7-тонных контейнеров. Сколько и каких контейнеров нужно арендовать, чтобы общий объем грузоперевозок был максимальным. Построить математическую модель задачи и решить графически.
5. В таблице указаны технологические коэффициенты аij, которые показывают сколько единиц i-го вида сырья требуется для производства одной единицы j-го вида продукта, запасы сырья и прибыль от реализации j-го продукта. Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль будет максимальной. Составить математическую модель задачи; решить задачу симплекс-методом.
Сырье | 1 | 2 | 3 | 4 | Запасы |
1 | 0,5 | 1,5 | 0,5 | 3 | 400 |
2 | 0 | 0 | 5 | 1 | 150 |
3 | 0 | 2,5 | 1 | 1 | 500 |
4 | 2,5 | 3 | 0 | 1 | 300 |
Прибыль | 3 | 5 | 3 | 3 |
Вариант 6.
1. Исследовать функцию на экстремум z=6хy–9x2–9у2+4х+4y.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 3х2; у = х + 2;
3. Решить дифференциальное уравнение 
, у(0)=1, у'(0)=0.
4. Фирма может арендовать 5-тонные контейнеры по цене 2 тыс. руб. за контейнер и 7-тонные по цене 3 тыс. руб. за контейнер, израсходовав при этом не более 60 тыс. рублей. Всего в наличии имеется не более двенадцати 5-тонных контейнеров и не более восемнадцати 7-тонных контейнеров. Сколько и каких контейнеров нужно арендовать, чтобы общий объем грузоперевозок был максимальным. Построить математическую модель задачи и решить графически.
5. В таблице указаны технологические коэффициенты аij, которые показывают сколько единиц i-го вида сырья требуется для производства одной единицы j-го вида продукта, запасы сырья и прибыль от реализации j-го продукта. Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль будет максимальной. Составить математическую модель задачи; решить задачу симплекс-методом.
Сырье | 1 | 2 | 3 | 4 | Запасы |
1 | 0,5 | 0 | 0,5 | 0,5 | 400 |
2 | 0 | 2,5 | 1 | 2 | 500 |
3 | 2,5 | 5 | 1 | 1 | 300 |
4 | 2,5 | 0 | 1 | 1 | 100 |
Прибыль | 3 | 5 | 4 | 5 |
Вариант 7.
1. Исследовать функцию на экстремум z=x2–2ху–y2+4х+1.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=6–х; у = 
.
3.Решить дифференциальное уравнение у(0)=0, у'(0)=0.
4. Фирма может арендовать 5-тонные контейнеры по цене 2 тыс. руб. за контейнер и 7-тонные по цене 3 тыс. руб. за контейнер, израсходовав при этом не более 60 тыс. рублей. Всего в наличии имеется не более четырех 5-тонных контейнеров и не более восемнадцати 7-тонных контейнеров. Сколько и каких контейнеров нужно арендовать, чтобы общий объем грузоперевозок был максимальным. Построить математическую модель задачи и решить графически.
5. В таблице указаны технологические коэффициенты аij, которые показывают сколько единиц i-го вида сырья требуется для производства одной единицы j-го вида продукта, запасы сырья и прибыль от реализации j-го продукта. Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль будет максимальной. Составить математическую модель задачи; решить задачу симплекс-методом.
Сырье | 1 | 2 | 3 | 4 | Запасы |
1 | 2 | 1 | 1,5 | 1,5 | 100 |
2 | 3 | 0,5 | 0,5 | 0 | 400 |
3 | 0,5 | 0 | 5 | 0,4 | 400 |
4 | 1,5 | 0 | 1 | 2,5 | 500 |
Прибыль | 4 | 3 | 3 | 5 |
Вариант 8.
1. Исследовать функцию на экстремум z=x2+ху–2х+3у+10.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 2х – х2; у = х;
3. Решить дифференциальное уравнение 
, у(0)=0, у'(0)=0.
4. Фирма может арендовать 5-тонные контейнеры по цене 2 тыс. руб. за контейнер и 7-тонные по цене 3 тыс. руб. за контейнер, израсходовав при этом не более 60 тыс. рублей. Всего в наличии имеется не более десяти 5-тонных контейнеров и не более шестнадцати 7-тонных контейнеров. Сколько и каких контейнеров нужно арендовать, чтобы общий объем грузоперевозок был максимальным. Построить математическую модель задачи и решить графически.
5. В таблице указаны технологические коэффициенты аij, которые показывают сколько единиц i-го вида сырья требуется для производства одной единицы j-го вида продукта, запасы сырья и прибыль от реализации j-го продукта. Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль будет максимальной. Составить математическую модель задачи; решить задачу симплекс-методом.
Сырье | 1 | 2 | 3 | 4 | Запасы |
1 | 0,5 | 2 | 0,5 | 1 | 400 |
2 | 2,5 | 1 | 2 | 1 | 500 |
3 | 5 | 1 | 1 | 1 | 300 |
4 | 0 | 1 | 1 | 0 | 100 |
Прибыль | 5 | 4 | 3 | 3 |
Вариант 9.
1. Исследовать функцию на экстремум z=x3+8у3–6ху+1.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у2 = 2х; у2 = х; х = 2 при у ³ 0;
3. Решить дифференциальное уравнение 
, у(0)=1, у'(0)=1.
4. Фирма может арендовать 5-тонные контейнеры по цене 2 тыс. руб. за контейнер и 7-тонные по цене 3 тыс. руб. за контейнер, израсходовав при этом не более 60 тыс. рублей. Всего в наличии имеется не более шести 5-тонных контейнеров и не более восемнадцати 7-тонных контейнеров. Сколько и каких контейнеров нужно арендовать, чтобы общий объем грузоперевозок был максимальным. Построить математическую модель задачи и решить графически.
5. В таблице указаны технологические коэффициенты аij, которые показывают сколько единиц i-го вида сырья требуется для производства одной единицы j-го вида продукта, запасы сырья и прибыль от реализации j-го продукта. Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль будет максимальной. Составить математическую модель задачи; решить задачу симплекс-методом.
Сырье | 1 | 2 | 3 | 4 | Запасы |
1 | 0,5 | 1,5 | 0,5 | 3 | 400 |
2 | 0 | 0 | 5 | 1 | 150 |
3 | 0 | 2,5 | 1 | 1 | 500 |
4 | 2,5 | 3 | 0 | 1 | 300 |
Прибыль | 3 | 5 | 3 | 3 |
Вариант 10.
1. Исследовать функцию на экстремум z=x3+у3–3ху.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = ех; у = е–х; х = 1;
3.Решить дифференциальное уравнение 
, у(0)=0, у'(0)=1.
4. Фирма может арендовать 5-тонные контейнеры по цене 2 тыс. руб. за контейнер и 7-тонные по цене 3 тыс. руб. за контейнер, израсходовав при этом не более 60 тыс. рублей. Всего в наличии имеется не более двенадцати 5-тонных контейнеров и не более восемнадцати 7-тонных контейнеров. Сколько и каких контейнеров нужно арендовать, чтобы общий объем грузоперевозок был максимальным. Построить математическую модель задачи и решить графически.
5. В таблице указаны технологические коэффициенты аij, которые показывают сколько единиц i-го вида сырья требуется для производства одной единицы j-го вида продукта, запасы сырья и прибыль от реализации j-го продукта. Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль будет максимальной. Составить математическую модель задачи; решить задачу симплекс-методом.
Сырье | 1 | 2 | 3 | 4 | Запасы |
1 | 0,5 | 0 | 0,5 | 0,5 | 400 |
2 | 0 | 2,5 | 1 | 2 | 500 |
3 | 2,5 | 5 | 1 | 1 | 300 |
4 | 2,5 | 0 | 1 | 1 | 100 |
Прибыль | 3 | 5 | 4 | 5 |
