Исследование безопасности и устойчивости движения поезда по пути произвольной пространственной конфигурации (стр. 3 )

1) начало решения (разгон) - с использованием одношагового метода (например, типа Рунге-Кутта);

2) продолжение его с помощью многошагового (итерационного) метода типа "предиктор-корректор" (Адамса-Башфорта или иного);

3) если для получения очередной точки решение требует слишком много итераций, которое больше оптимального числа или ошибка ограничения слишком велика, следует уменьшить величину шага интегрирования либо пройти соответствующий интервал с применением одноступенча­того метода на двух (или более) сгущающихся сетках с оценкой точ­ности получаемого решения по правилу Рунге-Ромберга:

(8)

где оценка погрешности решения на сетке с меньшим шагом; решения на двух сетках; аргумент функции ; шаг интегрирования и кратность его увели­чения; порядок применяемого метода; для получения уточнен­ного решения в точке вычисленная таким образом погрешность должна быть прибавлена к предварительному его значению:

(9)

где предварительное и уточненное значения решения в точке;

4) если предпринято уменьшение шага интегрирования, то за истинное принимается , вычисленное еще достаточно точно: решение (от этой точки) снова начинается одношаговым методом с последующим переходом к многоступенчатому;

5) в любом случае, если очередное результирующее решение получено с помощью формул коррекции, окончательное значение функции в точке рассчитывается по формуле

(10)

где исходное приближение решения в точке, полу­ченное с помощью формулы прогноза, его значение после m-й коррекции и окончательное значение.

Немаловажным вопросом, от решения которого, как известно, в значительной степени зависит корректность определения движения системы, является выбор порядка разностных формул применяемых численных методов интегрирования.

Из анализа физической сущности задачи следует, что правые части уравнений (7) ведут себя по-разному на различных участках решения. На начальном этапе интег­рирования они непрерывны и ограничены вместе со своими четырьмя производными (и эти производные не слишком велики). На последую­щих же этапах решения упомянутые правые части непрерывны, их пер­вые производные имеют разрывы первого рода, а вторые - второго. Из этого следует, что благодаря очень малому коэффициенту в оста­точном члене и быстрому возрастанию точности при уменьшении шага для "разгона" может быть успешно применена распространен­ная схема четвертого порядка. На последующих же этапах решения (где ввиду указанных причин предельный порядок точности схемы четвертого порядка реализован быть не может) не худшие (однако и не лучшие) результаты дают схемы второго (т. е. равного порядку имеющихся производных правых частей интегрируемых уравнений) порядка точности. При выборе конкретных разностных фор­мул метода прогноза-коррекции учитывается то обстоятельство, что выражение для оценки ошибки ограничения это­го этапа интегрирования имеет наиболее простой вид в случае, когда формулы прогноза и коррекции обладают одним и тем же порядком точности.

Все изложенное относительно организации итерационного процесса применимо и к обобщенным скоростям. Вследствие этого экономия машинного времени за счет выбора более крупного шага интегрирования, возможного вследствие селективизации итерацион­ного процесса по отдельным координатам и соответствующим скорос­тям, как показывает практика, может быть весьма ощутимой.

На рисунке 11, а и б в качестве примера приведены осцил­лограммы АЕ – абсолютных погрешностей вычисления продольных уси­лий в первом сечении трогающегося с места поезда для случаев, когда величина δi влияет и не влияет на протекающий в нем пе­реходный процесс.

Движение определено путем численного интегрирования моделирующих его дифференциальных уравнений типа (7) с использованием описанных выше итерационных процедур, управляемых заданием различных допусков ε на их сходимость. Из упомянутых осциллограмм (каждая из которых отличается от предыдущей снижением на порядок ε, варьировавшим в пределах 0,1-0,00001) видно, что с уменьшением ε решения сходятся к точному (в ка­честве которого принималось полученное при h=0,001).

Однако после некоторого предела (при ε=0,0001 и особенно при ε=0,00001) из-за слишком большого накопления вычислительной пог­решности итерационный процесс начинает несколько расходиться. Та­ким образом, хотя сам принцип покоординатной селективизации ите­рационного процесса на практике себя полностью оправдывает, но величина ε должна выбираться с учетом предотвращения воз­можности накопления недопустимо большой вычислительной полезнос­ти (а потому ухода от требуемой точности решения).

Вместе с тем необходимо иметь в виду, что, управляясь компарационным соотноше­нием

(11)

итерационная процедура делает выбранный метод прогноза-коррекции относительно устойчивым (в процессе вычислений с его использованием не возрастает их относительная погрешность).

а б

а – трогающегося предварительно растянутого поезда; б – трогающегося предварительно сжатого поезда Рисунок 11 - Абсолютная погрешность вычисления продольных сил в первом межэкипажном сопряжении

При этом последовательные значения сходятся к некоторому опре­деленному но вовсе не обязательно к точному решению интегрируемого уравнения. Разница между тем и другим представля­ет собой ошибку ограничения, выражение для которой может быть представлено в виде

.

Последнее свиде­тельствует о том, что следует ожидать скорость сходи­мости итерационного процесса сильно зависящей от h, величину ко­торого исходя из критерия минимизации объема вычисления для дос­тижения заданной точности решения необходимо выбирать такой, чтобы критерий сходимости относительно устойчивости (11) удовлетворялся после двух итераций.

Далее приводится функциональное описание иных структурных блоков искомого алгоритма, призванных, как отмечалось, осуществить должное информационное обеспечение центрального процесса численного интегрирования уравнений (7). Входным для модели в целом является информационный поток, характеризующий возмущающие воздействия на элементы системы, с одной стороны, и передаточные функции этих элементов, а также структуру системы - с другой. Вся указанная исходная информация должна быть получена моделью, проконтролирована на предмет отсутствия выхода значений параметров за допустимые ограничения (сформированные исходя из анализа физической сущности задачи), трансформирована к виду, удобному для дальнейших преобразований. На основании указанной информации должны быть определены взаимодействия в системе (си­ловые и моментные), что, в свою очередь, требует получения зна­чений деформаций и скоростей деформирования ее податливых элемен­тов, а также инерционных ускорений. Значения перечисленных ве­личин представляют собой достаточную информационную базу для вы­числения на их основе правых частей уравнений (7). Последние же, естественно, могут быть непосредственно использованы как входные для блока интегрирования. Наконец, кроме всего прочего должно быть обеспечено соответствующее управление входными, про­межуточными и выходными информационными потоками модели.

На основании изложенного структурная блок-схема синтезируе­мого алгоритма может быть представлена в виде, изображенном на рисунке 12. Функциональное предназначение блоков следующее: MAIN - реализация алгоритма путем управления иными его структурными еди­ницами и вывод текущих значений параметров рассматриваемого дви­жения; PREPAR - ввод исходной информации, ее контроль, пер­вичная обработка и приведение к виду, удобному для дальнейших преобразований; FG - определение силовых и моментных возмущений системы; GDEF - определение деформаций и скоростей деформирова­ний податливых элементов; RPG - вычисление правых частей уравне­ний движения; ISE - численное интегрирование этих уравнений; EXTREM - выбор экстремальных значений обобщенных координат и скоростей системы, а также действующих в ней возмущений; PR - вывод результатов функционирования предыдущего блока.

Рисунок 12 – Блок-схема программы реализации на ПЭВМ модели

движения поезда

В целях машинной реализации модели движения поезда структурные блоки описанного алгоритма были приняты в качестве глобальных модулей верхнего уровня программы для ПЭВМ. При этом между упомя­нутыми блоками алгоритма и модулями программы была обеспечена преемственность как мнемоники наименований, так и функционального предназначения. В основу разработки программы были положены принципы нисходящего (сверху вниз) проектирования и модульности.

Исходя из этого результат действия (т. е. функциональное предназначение) каждого из упомянутых выше программных модулей верхнего уровня методом отрабатывания назад представлялся в виде суммарной совокупности результатов действия бо­лее простых модулей нижележащего иерархического уровня. Пользуясь методом рекурсии в отношении последней процедуры (т. е. функционально дробя результаты работы модулей все более низкого уровня и представляя их в виде совокупности результатов действия модулей еще более низкой иерархии), можно прийти в конечном счете к таким примитивам (элементарным арифметическим и логическим операциям), которые могут быть программно оформлены в виде конечного числа элементарных операторов ФОРТРАНа.

При этом логически замкнутые (т. е. такие, результаты действий которых могут быть интерпретированы как некото­рые физические величины, характеризующие компоненты вектора сос­тояния системы, передаточные функции ее элементов или возмущающие воздействия на них) группы операторов программно оформлялись в виде отдельных, структурно взаимодействующих функциональных модулей. Упомянутые модули, вместе с тем достаточно независимы в отношении таких факторов, как логическая структура программы (алгоритма), аргументы или параметры модуля, внутренние переменные таблицы и константы, структура и формат баз данных, модульная структура управления программой (каждый модуль имеет ограниченное число, в основном по одному, входов и выходов), при полной детерминированности межмодульных интерфейсов.

При достаточно гибком маневрировании в пре­делах отведенных задаче машинных ресурсов программа позволяет решать значительное число практически важных задач динамики под­вижного состава. Конкретный круг таких задач, по-видимому, может быть очерчен теми из них, которые, с одной стороны, требуют доста­точно детального рассмотрения динамики пространственных движений экипажей в поезде с учетом особенностей существенно нелинейных пространственных взаимодействий между ними, но с другой – могут без существенного ущерба для точности решаться без дальней­шей детализации расчетной схемы системы поезд-путь. К таким задачам, например, относятся: исследование устойчивости от схода с рельсов и соскока со шкворней единиц подвижного состава при движе­нии поезда по пути, имеющему различную конфигурацию в профиле и плане; оценка рациональности выбора параметров пути, в частности его плана, исходя из условий обеспечения упомянутой устойчивости от выжимания (выдергивания) экипажей из поезда и иных критериев; оценка пространственной нагруженности кузовов экипажей в различ­ных условиях движения и ряд других. Это, однако, не исключает, а предполагает возможность дальнейшего расширения круга таких задач, эффективно решаемых с применением разработанной программы, что, как отмечалось выше, требует детализации расчетной схемы рассмат­риваемой системы, соответствующего дополнения модели ее движения и отражения этих дополнений в машинной программе его определения.

Изложенное, не претендуя, безусловно, на исчерпывающую пол­ноту освещения проблемы но охватывая, вместе с тем все перечисленные этапы внесения указанных коррекций, дает, по-видимому, достаточ­ную методологическую базу для их осуществления (если того потребует конкретная решаемая задача) и, хотелось бы надеяться, в буду­щем сможет способствовать облегчению практической реализации та­кого рода коррекций.

а б

а – начало; в – окончание.

Рисунок 13 - Блок-схема управляющей программы, реализующей алгоритм решения задачи

Рассмотрим далее некоторые особенности модулей описыва­емой программы и их взаимодействие. Всем вычислитель­ным процессом решения задачи, как отмечалось, управляет основ­ная программа МАIN (типа PROGRAM), блок-схема которой при­ведена на рисунке 13, а и б. Цикл работы программы начина­ется с присвоения значения переменной NV, означающей порядковый номер варианта решения. Затем вызываются подпрограммы: PREPAR, выполняющая ввод исходных данных, соответствующих варианту расче­та, и FG, осуществляющая вычисление возникающих в системе по­езд-путь силовых и моментных взаимодействий. В процессе работы последняя подпрограмма (на различных стадиях) вызывает подпрограмму GDEF, вычисляющую деформации и скорости дефор­мирований податливых элементов системы. Кроме того, в завершение работы подпрограмма FG вызывает подпрограмму RPG, отыскивающую значения правых частей уравнений (7).

В процессе разработки подпрограммы FG ее блок, реализую­щий вычисление относительно программы, был модерни­зирован - устранена некорректность его программной реализации. Степень такой некорректности может быть оценена из рассмотрения рисунка 14, а и б, где приведены осциллограммы SL(I) - продольных усилий в сопряжениях трогающегося поезда для случаев, когда влияют и не влияют на протекающий нестацио­нарный процесс.

а б

а –растянутого поезда; в –сжатого поезда.
Рисунок 14 - Влияние некорректности блока продольных сил на точность их определения при моделировании трогания

Сплошными линиями нанесены результаты, полученные при интегрировании с , которые, по-видимому, могут с достаточной степенью точности быть приняты в качестве эталонного решения. Осциллограммы, полученные с использованием скорректиро­ванного блока (при ), полностью совпадают с этим решением, а полученные с помощью нескорректированного блока этих сил (пунктирные линии; ) имеют выбросы от 12 до 47 % точного решения. Как было установлено в результате анализа, не­корректность программной реализации имела место не на стадии вы­числения деформаций упругих элементов сопряжений, а при определе­НИИ на их основании сил, возникающих в этих элементах. Последнее приводило к тому, что указанные выше выбросы на осциллограммах ) с уменьшением h исчезали и создавалась иллюзия неустойчивости процесса интегрирования. По всей вероятности, более корректно опи­санное явление следовало бы именовать псевдонеустойчивостью, так как к процессу интегрирования, дававшему верные результаты, возникав­шая некорректность никакого отношения не имела.

После возвращения из подпрограммы FG в программу МАIN последняя вызывает подпрограмму ISE интегрирования уравнений движения системы. Эта подпрограмма действует следующим образом. При первом входе в нее решение ведется с использованием формул метода Рунге-Кутта. Таким образом, осуществля­ются два первых шага интегрирования. Затем этот процесс продол­жается с использованием формул прогноза и коррекции. При этом управление итерациями выполняется с использованием соотношения (11). Если заданная точность решения за определенное число циклов итерационного процесса ITN все же не дос­тигается, то соответствующий шаг на прежней и вдвое сгущенной сетках проходит­ся с применением формул Рунге-Кутта и коррекцией по правилу Рунге-Ромберга. В случае, если и у этого решения погрешность оказывается недопустимо большой, переменной NОC присваивается значение 1 и (см. рисунок 13, б) вариант расчета оканчивается с диагности­кой: "Нет сходимости в ITN итерациях". На стадии ите­рационного процесса, в крайнем случае на стадии возврата к применению формул Рунге-Кутта, требования к точности решения устойчивого движения поезда будут удов­летворены. Таким образом, как следует из изло­женного, контроль значения NОС является обязательным и должен предшествовать всем последующим этапам работы программы MAIN. Исход решения при NОC=1 описан выше. В случае же, если NOC=0, решение продолжается. Для этого вызывается подпрограмма ЕХТREM, осуществляющая выбор экстремальных значений компонент вектора со­стояния системы, а также ее возмущений. После этого, если уста­новлено, что очередной интервал решения превысил шаг печати, про­грамма МАIN выводит текущую информацию о состо­янии системы, а затем контролируется значение признака I PR. В случае, если IPR=1, вызывается подпрограмма PR, осуществля­ющая печать результатов, полученных в процессе работы подпрограм­мы EXTREМ. Та же подпрограмма PR может быть вызвана, ес­ли первым экипажем поезда пройден очередной контрольный участок пути длиной АLCD.

В завершение цикла работы программы проводится проверка на превышение значения пути, пройденного первым экипажем поезда, суммарной длины всех участков SLDW. Если в результате этой проверки установлено, что весь заданный путь пройден, то осуществляется выход на конец варианта счета. Если же оказалось, что пройден еще не весь путь, то по специаль­ному входу IPC, предназначенному для выполнения интегриро­вания только по многошаговому методу, вызывается подпрограмма ISE и цикл работы программы начиная от этого узла повторяется. При выходе на конец варианта значение переменной NV увеличивается на единицу и сравнивается с полным количеством вариантов, заданных для расчета. Когда число таких вариантов еще не исчерпано, работа всей программы повторяется начиная с вызова под­программы PRE РАR. Если же установлено, что выполнены рас­четы по всем вариантам, осуществляются выход на конец программы и останов.

Таким образом, в зависимости от необходимости результатом работы программы может явиться выдача на печать либо таблицы те­кущих значений компонент вектора состояния системы с шагом печати HP, либо их экстремальных значений за определенный интервал пути или времени, либо то и другое одновременно. Кроме того, опять-таки в зависимости от необходимости на печать, естественно, могут быть выданы значения любых промежуточных программных величин, представляющих интерес для конкретного исследования.

Для рассматриваемого в диссертационной работе случая математическая модель движения одиночного экипажа по прямому горизонтальному пути может быть записана в виде

В случае движения одиночного экипажа по круговой горизон­тальной кривой его модель отличается от предыдущей наличием составляющих, моделирующих кривизну пути в плане:

- ;

- ;

- .

Остальные коэффициенты те же, что и в общем случае. Кроме того, в отличие от предыдущего составляющие, про­порциональные дополнительному сопротивлению движению экипажа, во­зникающему вследствие кривизны пути в плане и центростремительным силам, действующим на его части, будут содержать выражения сле­дующих обобщенных сил:

где . Выражения остальных обобщенных сил те же, что и в общем случае. Считая рассматриваемое движение экипа­жа установившимся и записывая получаемые таким образом его урав­нения в системе обобщенных координат и при условиях после их сравнения с моделью движения, приходим к выводу об их полной идентичности.

Модель движения поезда при этом принимает вид , где .

В случае рассмотрения колебаний поезда в продольно-вертикаль­ной плоскости его движение, учитываемое по координатам , принимает вид

где ,

.

Остальные коэффициенты левых частей те же, что и в общем случае:

-

-

-

.

Будучи записаны в обозначениях и для рассматриваемых условий (движение поезда происходит по прямому горизонтальному участку с постоянной скоростью), эти уравнения полностью аналогичны приведенным в указанной работе (в предположении, что путь абсолютно жесткий и не имеет локальных неровностей, а потому колебания галопирований и подпрыгиваний тележек экипажей отсутствуют).

Наконец, если при тех же условиях, что и в предыдущем слу­чае, рассматриваются пространственные колебания поезда, то

где