Елементи теорії випадкових процесів та теорії масового обслуговування (стр. 2 )

Оскільки р0 + р2 = 0,6 + 0,2 = 0,8; р0 + р1 = 0,6 + 0,15 = 0,75,
р1 + р3 = 0,15 + 0,05 = 0,2; р2 + р3 = 0,2 + 0,05 = 0,25, то витрати на ремонт першого та другого вузла становитимуть відповідно 8 і 4 ум. од. Звідси маємо середній прибуток за одиницю часу:

(ПРИБУТОК)1 = 0,8 · 10 + 0,75 · 6 – 0,2 · 8 – 0,25 · 4 =
= 9,9 (ум. од.).

(ПРИБУТОК)1 більший за ПРИБУТОК (наближено — на 2 %), тому економічна доцільність скорочення термінів ремонту вузлів очевидна.

Задачі для самостійного розв’язування

503. Випадкова величина має закон розподілу

Знайти реалізації випадкової функції при і побудувати графіки.

504. Побудувати графіки всіляких реалізацій випадкової функції де — кількість балів при киданні грального кубика, і знайти при і при

505. Нехай і — випадкові величини з двовимірною щільністю імовірності Випадкова функція Записати одномірний і двовимірний закони розподілу цієї випадкової функції.

506. Середня кількість літаків, які прибувають до аеропорту за 1 хв, дорівнює 3. Знайти ймовірність того, що до 2 хв прибуде:

1) 4 літаки;

2) менш як 4 літаки;

3) не менш як 4 літаки.

Потік прибуття літаків вважається найпростішим.

507. Середня кількість викликів, які надходять на АТС за 1 хв, дорівнює 2. Знайти ймовірність того, що за 4 хв надійде:

1) 3 виклики;

2) менш як 3 виклики;

3) не менш як 3 виклики.

Потік викликів вважається найпростішим.

508. Середня кількість обривів ниток на ткацькому верстаті за хвилину становить 3. Знайти ймовірність того, що за 3 хв буде:

1) 5 обривів ниток;

2) менш як 5 обривів ниток;

3) не менш як 5 обривів ниток.

Потік подій вважається найпростішим.

509. На АТС надходить найпростіший потік викликів з інтенсивністю викликів за хвилину. Знайти ймовірність того, що за дві хвилини:

1) не надійде жодного виклику;

2) надійде рівно один виклик;

3) надійде хоча б один виклик.

510. Випадковий процес описується формулою , де Х — випадкова величина, розподілена за нормальним законом з параметрами і Знайти математичне сподівання, дисперсію, кореляційну і нормовану кореляційну функції випадкового процесу.

511 Побудувати граф станів такого випадкового процесу: систему утворено з двох автоматів з продажу газованої води, кожний з яких може бути зайнятим або вільним.

512. Побудувати граф станів системи , що являє собою електричне коло з електричною лампочкою, яка у випадковий момент часу може бути або вимкненою, або ввімкненою, або зіпсованою.

513 Знайти граничні ймовірності для систем , графи яких зображено на рис. 18 і 19.

Рис. 18

Рис. 19

514. Середня кількість заявок на такі, що надходять на диспетчерський пункт за 1 хв, дорівнює 3. Знайти ймовірність того, що за дві хвилини надійде:

1) 4 виклики;

2) принаймні один виклик;

3) не надійде жодного виклику.

515. Погода на деякому острові через певні проміжки часу стає чи дощовою (Д), чи сонячною (С). Імовірності щоденних змін задано матрицею:

1) Якщо в середу погода дощова, то яка ймовірність того, що вона буде дощовою в найближчу п’ятницю?

2) Якщо в середу очікується дощова погода з імовірністю 0,3, то яка ймовірність того, що вона буде дощовою в найближчу п’ятницю?

516. Імовірності переходу за один крок у ланцюгу Маркова задано матрицею:

Потрібно: 1) знайти кількість станів; 2) побудувати граф, що відповідає матриці Р.

517. Довести, що всі стохастичні матриці виду

де мають однаковий стаціонарний розподіл.

518. Матриця ймовірностей переходу ланцюга Маркова має вид

Розподіл по станам в момент визначається вектором (0,7; 0,2; 0,1). Знайти

1. розподіл по станам в момент ;

2. ймовірність того, що в моменти 1, 2, 3 станами ланцюга ;

3. стаціонарний розподіл.

4.6. Марковські ланцюги для дискретних
випадкових величин

Нехай дискретна випадкова величина за кожного n можемо приймати N різних значень, які занумеруємо числами 1, 2, …, N. Елементарними випадками в n випробуваннях цілі Маркова є ланцюги станів довжини n + 1, які описують початковий стан і0 та результати n випробувань: . Маємо ісход in за любого n можемо приймати будь-яке значення 1, 2, …, N. Таким чином має множину елементарних випадків

Для ланцюга Маркова можна передбачити вірогідності прийняття випадкової величини одного із значень , знаючи лише вірогідності прийняття випадкової величини одного з значень . Визначимо

Якщо вірогідності виражається через вірогідності за допомогою лінійних алгебраїчних рівнянь із постійними коефіцієнтами

,

, (1)

.

то кажуть, що заданий марковський ланцюг із кінцевим числом станів . Коефіцієнти в системі (1) є умовними імовірнотями переходу із стану s в стан k

. (2)

Уведемо вектор імовірностей та матрицю перехідних імовірностей

, . (3)

Систему рівнянь можна записати у векторній формі

. (4)

Всі коефіцієнти задовольняють умовам

, (5)

Якщо для квадратної матриці з недодатніми елементами виконує умови (5), то матриця називається стохастичною. У стохастичної матриці сума всіх елементів в кожному стовпці дорівнює одиниці.

Приклад. Матриці

, ,

є стохастичними.

518.1. Дана послідовність однакових випадкових величин , , . Показати, що ця послідовність є марковським ланцюгом та знайти матрицю перехідних вірогідностей.

Зауваження. Зазвичай вектор множиться на матрицю справа. Якщо рядковий вектор множиться на матрицю зліва, то стохастичною називається матриця з додатніми елементами сума елементів котрої в кожному рядку дорівнює одиниці.

519. Визначити так, щоб матриця була стохастичною

.

Задамо імовірності початкових станів перед початком випробувань ланцюга Маркова та перехідні імовірності . Імовірність будь-якого елементарного випадку знаходження по формулі

. (6)

520. В ланцюгу Маркова з двома станами 1, 2 початковим станом є 1. Знайти вірогідності ланцюгів (1, 1, 1), (2, 1, 1), (1, 2, 1), (2, 2, 1), якщо відома матриця перехідних імовірностей

.

Розв’язок. , , , .

521. В ланцюгу Маркова з двома станами 1, 2 вектор розподілу імовірностей в початковому стані та імовірності переходу визначаються рівностями , , . Знайти імовірності випадку (1, 2, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 2).

Указівка. Виконуємо рівності

, ,

і формулу (6).

Відповідь: , , .

522. Для ланцюга Маркова, який задано в задачі 521 знайти імовірність того, що ланцюг довжини три починається та завершується одиницею.

Указівка. Випадок, імовірність котрого треба знайти складається з двох елементарних випадків (1, 1, 1), (1, 2, 1).

Відповідь: .

523. Для ланцюга Маркова, визначеної в задачі 521, знайти імовірність випадку, що в ланцюгу довжини 4 всі стани однакові.

Указівка. .

524. Знайти матрицю імовірностей переходу ланцюга Маркова, яка дає спрощений опис роботи телефона-автомата. Розглядаються наступні 3 стани. 1 стан — телефон вільний, 2 стан — телефон зайнято і нема черги, 3 стан — телефон зайнято в черзі стоїть 1 людина. Припускається, що в чергу більше ніхто не встане, нададуть перевагу пошуку іншого автомата.

В кожну одиницю часу із імовірністю 0,1 може підійти одна людина. Якщо в черзі одна людина, то ніхто підійти не зможе. Із імовірністю 1/3 незалежно від тривалості розмови та незалежно від наявності черги розмова завершується.

Розв’язок. З першого стану (телефон вільний) можна перейти до 1-го стану, якщо в дану одиницю часу ніхто не прийде. Отже, . З першого стану до другого стану перехід відбувається, якщо прийшла одна людина, тобто . В стан 3 потрапити за одиницю часу з 1-го стану неможна. Тому . Із 2-го стану можливі переходи в 1-ий стан (розмова завершилася та ніхто не прийшов), тобто . Із 2-го стану перейти в другий (розмова не завершилася і ніхто не прийшов чи розмова завершилася і прийшла одна людина), тобто . Із другого стану можливий перехід в 3-ій стан (розмову не завершено і підійшла одна людина), .

Із 3-го стану можна перейти в 3-ій стан іншими способами (розмову завершено та підійшла одна людина, розмову не завершено та ніхто не підійшов), тобто . Із 3-го стану можливий переход в другий стан, якщо розмова завершилася . Із третього стану неможливий переход в 1-ий стан, тому .

Остаточно знаходимо елементи матриці .

.

525. В умові задачі 524 імовірність ланцюгів (1, 1, 1, …, 1), (2, 2, 2, …, 2), (3, 3, 3, …, 3).

Відповідь.  .

Властивості марковських ланцюгів

Уведемо визначення для елементів матриці

, (7)

З рівняння (4) знаходимо рівність

, , …, .

Це рівняння визначає марковську властивість випадкового ланцюга. Щоб знайти достатньо знати та не обов’язково знати . З асоціативного закону множення матриць

знаходимо рівність

, (8)

котрі називають рівнянням Колмогорова. Із цього рівняння знаходимо системи рівнянь

, (9)

котрі можна записати у вигляді

, . (10)

З рівності

виходить, що елементи матриці є умовними імовірностями переходу із стану до стану і за кроків марковського ланцюга.

526. Знайти імовірності переходу марковського ланцюга

,

за два кроки.

Розв’язок. Знаходимо матрицю

, , , .

527. Знайти імовірності переходу марковського ланцюга

,

за кроків .

528. Знайти імовірності переходу за три кроки марковського ланцюга

, .

529. Знайти імовірності переходу за кроків в ланцюгу Маркова з двома станами, якщо , ; , .

Указівка. Знаходимо попередньо , де

.

Відповідь.