Елементи теорії випадкових процесів та теорії масового обслуговування (стр. 4 )

Для перших моментів знаходимо різницеві рівняння

,

.

Остаточно знаходимо значення перших моментів , .

Перейдемо до розгляду більш важких марковських ланцюгів. Розглянемо систему лінійних різницевих рівнянь

, , (15)

де — випадковий вектор. Визначимо щільність імовірностей випадкової векторної величини через . З системи рівнянь (15) знаходимо рівняння для щільностей

. (16)

Із рівняння (16) знаходимо вираз через

. (17)

Вводимо вектори перших моментів

, (18)

та матриці других початкових моментів

, , (19)

де — m-мірний простір перемінних — проекцій вектор .

Множимо рівняння (16) на вектор Х і проінтегруємо по всьому простору Em. Отримаємо векторне рівняння для вектора математичних очікувань

. (20)

Аналогічно, множимо рівняння (16) на матрицю ХХ* інтегруючи по всьому простору Em, отримаємо матричне рівняння для матриць других моментів

. (21)

Якщо будь-які розв’язки системи рівнянь (20) прагне до нуля при , то кажуть, що нульовий розв’язок системи різницевих рівнянь (15) стійко в середньому. Якщо будь-які розв’язки системи рівнянь (21) прагне до нульової матриці, то кажуть, що нульовий розв’язок системи (15) стійко в середньому квадратичним.

Теорема. Для того, щоб нульовий розв’язок системи різницевих рівнянь (15) був асимптотично стійким в середньому та середнім квадратичним необхідно і достатньо, щоб всі власні числа матриці А були по модулю менші одиниці.

548. Знайти умови асимптотичної стійкості розв’язків системи різницевих рівнянь

, .

Відповідь. .

Теорема. Для того, щоб нульовий розв’язок системи різницевих рівнянь (15) був асимптотично стійким в середньому і середнім квадратичним необхідно і достатньо, щоб для декотрої додано визначеної асиметричної матриці матричне рівняння

маючи додатний визначений симетричний розв’язок .

549. Дослідити стійкість розв’язків різницевого рівняння

.

Шукається розв’язок у вигляді і приходимо до мультиплікаторного рівняння

.

Розв’язок різницевого рівняння (22) асимптотично стійкі, якщо корні мультиплікаторного рівняння по модулю менше за одиницю. В просторі параметрів a, b знаходимо межі області стійкості

,

з умови існування кореня , . Область асимптотичної стійкості заштрихована на рис. 2.

Рис. 2

4.8. Марковські процеси із неперервним часом

1. Визначення марковського процесу

Розглядається дискретнозначний випадковий процес , неперервно залежний від часу . Процес потрапив в один із станів , зберігає своє постійне значення, а потім стрибком змінює стан. Введемо позначення

.

Зміна імовірностей описує система лінійних диференціальних рівнянь

. (23)

Щоб виконати необхідні умови

,

коефіцієнти системи (23) повинні задовольняти умовам:

, (24)

Щоб легше зрозуміти роль системи диференціальних рівнянь (23) перейдемо до відповідної системи різницевих рівнянь

(25)

Тут полагаємо , . Система різницевих рівнянь (24) описує марковський ланцюг. Випадкова величина переходить із стану в стан із імовірністю і в стані з імовірністю з часом .

Якщо введемо позначення:

,

то систему рівнянь (23) можна записати в векторній формі

. (26)

Визначимо через фундаментальну матрицю розв’язків системи рівнянь (26) нормовану в точці , тобто

,

Е — одинична матриця. Для системи рівнянь (16) маємо

, .

Елементи визначена умова імовірності переходу із стана в стан за час .

550. Задано марковський процес

знайти a, b.

551. Знайти математичне очікування часів перебування в першому стані марковського процесу

,

, ,

Указівка. Перейти до системи різницевих рівнянь виду (25).

552. Знайти математичні очікування часу перебування в стані для марковського процесу

,

,

.

Відповідь: , , .

553. Знайти імовірність додавання в першому стані більш 3 одиниць часу марковського процесу, визначеного системою рівнянь

, .

Розв’язок. Час додавання в будь-якому стані має показовий закон розподілу.

.

.

554. Знайти матрицю перехідних імовірностей марковського процесу

, .

Відповідь. .

2. Ергодичність марковського процесу

Якщо за будь-яких початкових значеннях виконано граничне співвідношення

(27)

можна виразити через властивості матриці А.

Теорема. Якщо для елементів матриці А виконує умови (24), то всі власні числа матриці А лежать в колі , де

. (28)

555. Знайти коло, усередині котрого лежать власні числа матриці

.

З формули (28) знаходимо: .

Теорема. Якщо елементи матриці А задовольняє умовам: , , то марковський процес (27) є ергодичним.

Всі власні числа матриці А лежать в напівплощині за виключенням нульового власного числа. Тому справедлива теорема.

Теорема. Марковський процес (27) є ергодичним в тому і лише в тому випадку, коли матриця А має прості власні числа . Нехай матриця А має вигляд

.

Теорема. Для того, щоб марковський процес (27) був ергодичним необхідно і достатньо, щоб виконалась нерівність

.

556. Дослідити ергодичність марковського процесу

, .

Відповідь. Марковський процес неергодичний.

557. Дослідити ергодичність марковського процесу

, .

Відповідь. Марковський процес ергодичний.

Опис граничних стаціонарних імовірностей зводиться до відшукання границі

,

де — матриця з однаковими стовпцями .

Використовуючи перетворення Лапласа, знаходимо формулу

.

558. Знайдемо граничні імовірності для марковського процесу (27) з матрицею

.

Знаходимо матрицю

та матрицю

.

Граничній імовірності задовольняє умовам , , та їх можна знайти з наведеної системи рівнянь.

559. Знайти граничні стаціонарні імовірності марковського процесу

, .

Відповідь. .

3. Узагальнення рівнянь Колмогорова

Фундаментальна матриця розв’язків система лінійних диференціальних рівнянь

задовольняє матричним диференціальним рівнянням

,
.

Якщо уведемо позначення для елементів матриці перехідних імовірностей

то елементи задовольняють системам лінійних диференціальних рівнянь

,

,

,

. (30)

Ці рівняння називаються рівняннями Колмогорова.

560. Знайти імовірності , потрапляння в стан 1, 2 із стану 1 з час для марковського процесу

.

Відповідь. , .

Найпростішим випадком марковського процесу є процес Пуассона. При цьому зміни можливі лише при переході до найближчого більш високого стану. Припускаємо, що імовірність переходу із стану до стану на інтервалі дорівнює . Імовірність залишиться в тому ж стані в момент дорівнює . Імовірності решти переходів зневажно малі, тобто дорівнюють .

Можна записати

.

В границі за отримаємо

.

За отримаємо рівняння

.

З цих рівнянь знаходимо імовірності , визначальний закон Пуассона. На завершення розглянемо процеси загибелі та народження. Нехай в стохастичній системі відбувається народження (зрост) пропорційний числу елементів з коефіцієнтом та загибель, пропорційний числу елементів з коефіцієнтом . Для імовірностей отримаємо систему диференційних рівнянь

,

,

.

Матриця коефіцієнтів має вигляд

.

Процеси загибелі та народження використовуються для дослідження систем масового обслуговування.

561[1]. п-вимірна щільність розподілу випадкової функції є вичерпною характеристикою, якщо, знаючи , можна знайти т-вимірну щільність розподілу, де Показати, що якщо значення випадкової функції при будь-яких різних значеннях аргументу є незалежними випадковими величинами, то для цієї функції вичерпною характеристикою є одновимірна щільність розподілу.

562. Марківським випадковим процесом називається процес, для якого умовний закон розподілу випадкової величини залежить від значення випадкової величини і не залежить від значень випадкових величин Тут Показати, що для марківсього випадкового процесу вичерпною характеристикою є двовимірна щільність розподілу.

563. Показати, що для нормального випадкового процесу двовимірна щільність розподілу є вичерпною характеристикою.

564. Лампа працює в режимі насичення. Припускаємо, що: а) імовірність вильоту електрона в заданому інтервалі часу не залежить від числа електронів, що вилетіли раніше і при малих інтервалах, тобто при вона пропорційна довжині інтервалу: