Елементи теорії випадкових процесів та теорії масового обслуговування (стр. 5 )

де і б) при малих імовірність того, що за час вилетить більш ніж один електрон, зневажливо малий, тобто приблизно

Знайти імовірність того, що в інтервалі часу з катода вилітає точно електронів. Показати, що є середнє значення електронів, що вилітають за секунду.

565. Подія повторюється в різні випадково розміщені моменти часу таким чином, що:

а) для будь-яких двох проміжків часу, що не перекриваються між собою, імовірність настання події в одному з них не залежить від його настання в іншому;

б) для будь-якого проміжку часу імовірність настання події залежить лише від тривалості проміжку;

в) у проміжку часу тривалістю імовірність того, що подія наступить принаймні один раз,

де — позитивне число, що не залежить від а прагне до нуля, коли прагне до нуля;

г) у проміжку часу тривалістю імовірність того, що подія наступить принаймні два рази,

де прагне до нуля, коли прагне до нуля.

Визначити ймовірність того, що в проміжку часу тривалістю подія наступить рівно разів.

566. Величина, що змінюється в часі, одержує в різні проміжки часу випадкові збільшення такі, що:

а) для будь-яких двох проміжків часу, що не перекриваються між собою, імовірність збільшення в одному з них не залежить від збільшення в іншому;

б) для будь-якого проміжку часу імовірність збільшення залежить лише від тривалості проміжку;

в) у проміжку часу тривалістю функція розподілу збільшення має щільність імовірності

де має частні похідні по до третього порядку включно, обмежені при кожному Для щільності розподілу існують визначені границі:

Визначити щільність імовірності

567. Випадкова функція де — випадкова, а — невипадкова функція. Знаючи середнє значення і кореляційну функцію знайти і

568. Випадкова функція де — випадкова, а — невипадкова функція. Знаючи середнє значення і кореляційну функцію знайти і

569. Нехай — дійсний імовірністний гауссівський нормальний процес і нехай інтеграл

де — безупинна дійсна функція, існує. Показати, що є дійсна випадкова величина, з нормальним розподілом.

570. У деяких книгах кореляційну функцію дійсної випадкової функції визначають рівністю

де і Знайти зв’язок між і

571. На вхід механізму, що диференціює, надходить випадкова функція з математичним очікуванням і кореляційною функцією

де — дисперсія випадкової функції Визначити математичне очікування, кореляційну функцію і дисперсію на виході системи, де випадкова функція

572. Випадковий процес де — також випадковий процес. Показати, що — нестаціонарний процес.

573. Значення випадкового телеграфного сигналу в будь-який момент часу з рівною імовірністю дорівнює чи нулю одиниці, а стрибки від одного значення до іншого відбуваються випадково і незалежно один від одного. Імовірність того, що в інтервалі часу відбувається стрибків, задається розподілом Пуассона:

де — середня кількість стрибків за одиницю часу. Знайти середнє значення і кореляційну функцію

574. Нехай — стаціонарний у широкому розумінні процес зі скінченним середнім значенням і скінченною дисперсією а — середнє від реалізації за скінченний проміжок часу,

Якщо при фіксованому функція пробігає всілякі реалізації, то являє собою випадкову величину.

Нехай виконується умова

Довести, що:

а)

б) (збіжність по імовірності).

575. Дано випадкову послідовність де — некорельовані випадкові величини, що мають однакові розподіли ймовірностей і Знайти кореляційну функцію випадкової послідовності

576. Нехай

де — стаціонарна послідовність некорельованих випадкових величин із задачі 574. Знайти середнє значення і кореляційну функцію випадкової послідовності

577. Випадкова послідовність

де — якісь комплексні числа, а — стаціонарна випадкова послідовність із задачі № 573. Знайти середнє значення і кореляційну функцію випадкової послідовності

578. Нехай де — випадкова величина, — числова функція аргументу і Визначити:

а) за яких умов випадкова функція буде стаціонарною;

б) який вигляд має ця функція.

579. Випадковий процес

де і — випадкові величини із середнім значенням нуль. Визначити:

а) за яких умовах цей процес стаціонарний;

б) коли цей стаціонарний процес дійсний.

580. Дано випадковий процес (суперпозицію випадкових періодичних коливань з різними частотами)

у який Визначити:

а) за яких умов цей процес стаціонарний;

б) коли цей стаціонарний процес вещественен.

581. Нехай кореляційна функція випадкової стаціонарної послідовності

Знайти спектральну щільність процесу.

582. Функція де — речовинне, Чи буде функція кореляційною функцією випадкової послідовності?

583. Дано випадкову послідовність

де — дійснеі — послідовність некорельованих випадкових величин. За якої умові ця випадкова стаціонарна послідовність має кореляційну функцію, що збігається з кореляційною функцією задачі 288?

584. Спектральна щільність стаціонарної послідовності

де і речовинні і Знайти кореляційну функцію (При обчисленні інтеграла скористатися теоремою про відрахування.)

585. Нехай випадкова послідовність де — послідовність некорельованих випадкових величин, а — послідовність виду, розглянутого в задачі 583. Показати, що кореляційна функція для збігається з кореляційною функцією задачі 584.

586. Спектральна щільність випадкової послідовності

де і — речовинні нерівні числа, Знайти кореляційну функцію (При обчисленні кореляційної функції скористатися рядом Лорана.)

587. Нехай де Чи буде ця функція кореляційною функцією якогось стаціонарного процесу?

588. Функція являє собою загасаюче коливання:

Чи буде ця функція кореляційною для деякого випадкового процесу?

589. Спектральна щільність

де а і — дійсні сталі. Знайти кореляційну функцію (Для обчислення інтеграла скористатися теоремою про відрахування.)

590. Нехай — періодична функція з періодом та її ряд Фур’є

де — основна кутова частота. Знайти тимчасову кореляційну функцію для (Ця функція визначається аналогічно тимчасовій кореляційній функції для реалізації випадкового процесу.)

591. У випадковому процесі

і — задані постійні, а — випадкова величина, щільність імовірності якої визначена на інтервалі Показати, що:

а) випадковий процес стаціонарний, якщо рівномірно розподілена на

б) нестаціонарний, якщо нерівномірно розподілена на

592. Імовірнісний процес з вибірковими функціями є дійсним гаусовським процесом. Показати, що інтеграл

де — неперервна дійсна функція від є дійсно гауссівською випадковою величиною.

593. Вплив, що подається на вхід стійкої лінійної системи з фіксованими параметрами, є вибірковою функцією заданого імовірнісного процесу а — відповідна вибіркова функція ймовірнісного процесу на виході системи. Знайти кореляційну функцію вихідного процесу

594. Показати, що одномірна щільність розподілу похідної від стаціонарного нормального процесу нормальна з нульовим середнім значенням і дисперсією де — дисперсія даного стаціонарного нормального процесу, а — коефіцієнт кореляції.

595. Визначити імовірність того, що похідна від нормальної стаціонарної функції буде мати значення, більші за м/с, якщо м, де с –1, сРАЗДЕЛ 4ЕЛЕ–1.

[1] Задачі 561—595 стосуються матеріалу всього розд. 4.