Завдання та розв’язання з фізики та математики фіналу ТЮМФ-2014

ЗАВДАННЯ ТА РОЗВ’ЯЗАННЯ З ФІЗИКИ ТА МАТЕМАТИКИ ФІНАЛУ ТЮМФ-2014

1. Уявимо, що до центру Землі, прорили шахту. Визначте, як змінюватиметься сила тяжіння в залежності від відстані r до центру Землі, якщо тіло масою m пересувати уздовж шахти.

Відповідь: g = mgr/

Розв’язання. Тіло, що знаходиться на глибині Землі не відчуває з боку вищерозміщеного шару ніякого впливу, а взаємодіє тільки з внутрішньою кулею радіусом r і масою , де – густина Землі. За законом всесвітнього тяжіння

на поверхні Землі

тоді з (1) і (2) прискорення сили тяжіння на відстані r від центра Землі g = , а сила тяжіння змінюється в залежності від відстані до центра Землі лінійно F = mg = .

2. Шматок льоду масою m = 3 кг плаває в циліндричній посудині, наповненій рідиною з густиною = 0,95 · кг/. Площа дна посудини S = 50 . На скільки зміниться рівень рідини, коли лід розтане?

Bідповідь: ∆h = −3,2 см; рівень знизився.

Розв’язання. Лід плаває: mg = g, звідси = – об’єм частини льоду, що знаходиться в рідині, m – маса льоду.

= = – зміна рівня рідини в посудині, коли лід плаває. Якщо лід розстанув, то об’єм рідини в посудині збільшився на об’єм води , який отримали в результаті танення льоду = ; тоді рівень рідини став = .

Зміна рівня рідини, коли лід розстанув:

∆h = − = = = −3,2 см, рівень рідини знизився.

18

3. На гранях куба написано 6 чисел. Ті числа які не видно на малюнку - прості. Знайти ці числа, якщо суми чисел на кожній парі протилежних граней рівні.

14

Розв’язання

Розглянемо грань, протилежну грані з числом 35. Якщо на ній написано непарне число, то на двох інших невидимих гранях написано різні парні прості числа. Але це неможливо, бо є тільки одне парне число 2. Отже, на грані, протилежній грані з числом 35 , написано парне просте число 2.

Тоді 35+2=37;

37-18=19 – число на грані протилежній 18;

37-14=23 – число на грані протилежній 14.

4. Квадрат поділили на 100 однакових маленьких квадратиків. Чи можна розмістити в квадратиках числа 1, 2, 3 так, щоб суми чисел у рядках, стовпцях і двох діагоналях були різними?

Розв’язання

Кількість рядків, стовпців, діагоналей в отриманій числовій таблиці дорівнює

. Суми чисел можуть набувати від 10 до 30-21 різних значень. Звідси можна зробити висновок, що не можна.

5. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання

Прирівняти ліві частини перших двох рівнянь, одержимо , звідси Випадок неможливий, тому що перше рівняння дає

6. Який спосіб кращий?

Спробуйте усно розрахувати, що швидше: проїхати весь шлях на велосипеді чи одну половину шляху проїхати на мотоциклі, рухаючись вп’ятеро швидше, ніж на велосипеді, а другу половину пройти пішки, рухаючись вдвічі повільніше, ніж на велосипеді?

Відповідь:Для проїзду всього шляху на велосипеді потрібно менше шляху, оскільки стільки часу займає один лише рух пішки, до нього ще потрібно додати час, руху на мотоциклі.