Seventieth Annual
William Lowell Putnam Mathematical Competition
LXX Студенческая математическая олимпиада
имени Уильяма Ловелла Патнэма
Санкт-Петербург, Воскресенье, 6 декабря, 2009
Часть B
B1. Показать, что любое положительное рациональное число может быть записано в виде комбинации произведений факториалов простых чисел (не обязательно различных). Например, 
.
B2. Игра заключается в прыжке вправо на вещественной числовой оси. Если 
и 
- вещественные числа и 
цена прыжка из в равна 
. Для каких вещественных чисел 
можно перейти из 0 в 1 за конечное число прыжков с общей ценой равной в точности ?
B3. Назовем подмножество 
множества 
заурядным, если оно обладает следующим свойством: какими бы ни были элементы и этого подмножества , что их среднее есть целое число, это среднее также есть элемент . Пусть 
есть число заурядных подмножеств множества . [Например, любое подмножество множества 
за исключением 
является заурядным, так что 
.] Найти все положительные целые числа 
такие, что 
.
B4. Назовем полином с вещественными коэффициентами от двух переменных 
и 
сбалансированным, если среднее значение полинома на любом круге с центром в начале координат равно 0. Сбалансированные полиномы степени не выше 2009 образуют векторное пространство 
над 
. Найти размерность .
B5. Пусть 
- дифференцируемая функция такая, что
для всех 
.
Доказать, что 
.
B6. Доказать, что для любого положительного целого числа существует последовательность целых чисел 
с 
и 
таких, что любой член после 
либо равен некоторому предыдущему члену плюс 
, где 
- некоторое целое неотрицательное число, либо имеет вид 
для некоторых предыдущих положительных членов и . [Здесь обозначает остаток от деления числа на число , так что 
.]
с 2009 The Mathematical Association of America
