58 Олімпіада юних математиків

58 Олімпіада юних математиків

навч. рік

6 клас

1. Рис містить 75% крохмалю, а ячмінь 60%. Скільки потрібно взяти ячменю щоб у ньому містилось би стільки ж крохмалю скільки його міститься у 7 кг рису?

2. В класі кількість відсутніх учнів складає частину від числа присутніх. Після того, як із класу вийшов один учень, число відсутніх стало дорівнювати числа присутніх. Скільки учнів у класі?

3. Написати число 100: а) шістьма однаковими цифрами; б) дев’ятьма різними значущими цифрами, використовуючи знаки дій та, можливо, дужки.

4. Розрізати голівку сиру на 8 рівних частин, виконавши лише три розрізи.

5. Листок паперу розрізали на 4 частини, потім деякі з частин знову розрізали на 4 частини і так далі. Чи можна після декількох операцій отримати 50 частин паперу?

6 класс

1. Рис содержит 75% крахмала, а ячмень 60%. Сколько надо взять ячменя, чтобы в нем содержалось столько же крахмала, сколько его содержится в 7 кг риса?

2. В классе число отсутствующих учеников составляет часть от числа присутствующих. После того, как из класса вышел один ученик, число отсутствующих стало равно числа присутствующих. Сколько учеников в классе?

3. Написать число 100: а) шестью одинаковыми цифрами; б) девятью разными значащими цифрами, используя знаки действий и, быть может, скобки.

4. Разделить головку сыра на 8 равных частей, выполнив только три разреза.

5. Лист бумаги разрезали на 4 части, потом некоторые из частей тоже разрезали на 4 части и так далее. Могло ли в результате получиться ровно 50 кусочков бумаги?

На виконання роботи відводиться 3 години.

Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів не дозволяється.

58 Олімпіада юних математиків

навч. рік

7 клас

1. Площі двох прямокутників 76 см2 і 95 см2. Знаючи, що довжина і ширина другого на 1 см більша за довжину і ширину першого, визначити периметри цих прямокутників.

2. Один із співрозмовників сказав: „Якщо рік, коли мені виповнилося 43 роки, помножити на рік, коли мені виповнилося 45 років і поділити на рік мого народження, то одержимо рік, коли ...” - „Достатньо!” – перебив його другий. – „Я можу назвати рік твого народження.” Назвіть й ви.

3. Знайти трицифрове число , знаючи, що воно дорівнює .

4. Якщо деяке число збільшити на 20%, то отримаємо 228. На скільки відсотків треба зменшити це число, щоб отримати 76?

5. Знайти такі чотири послідовних натуральних числа, щоб добуток останніх двох був більший за добуток двох перших на 86.

7 класс

1. Площади двух прямоугольников 76 см2 и 95 см2. Зная, что длина и ширина второго на 1 см больше длины и ширины первого, определить периметры этих прямоугольников.

2. Один из собеседников сказал: «Если год, когда мне исполнилось 43 года, умножить на год, когда мне исполнилось 45 лет, и разделить на год моего рождения, то получим год, когда...» - «Достаточно!» - перебил его второй. – «Я могу назвать год твоего рождения». Назовите и вы.

3. Найти трехзначное число , зная, что оно равно .

4. Если некоторое число увеличить на 20%, то получим 228. На сколько процентов надо уменьшить это число, чтобы получить 76?

5. Найти такие четыре последовательных натуральных числа, чтобы произведение последних двух чисел было больше произведения первых на 86.

На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів не дозволяється.

58 Олімпіада юних математиків

2007 – 2008 навч. рік

8 клас

1. Виразити через b дріб , якщо .

2. Розкласти на множники многочлен: .

3. На дошці розміром грають двоє. Ходять по черзі, і кожний гравець своїм ходом зафарбовує одну клітинку. Кожну клітинку можна зафарбувати лише один раз. Програє той гравець, після чийого ходу утвориться квадрат , що складається із зафарбованих клітинок. Хто з гравців може забезпечити собі виграш – той, що ходить першим, чи його суперник? Відповідь обґрунтуйте.

4. Побудувати графік функції: , де - ціла чистина числа х, - дробова частина числа х.

5. Знайти всі натуральні розв’язки рівняння: .

8 класс

1. Выразить через b дробь , если .

2. Разложить на множители многочлен: .

3. На доске размером играют двое. Ходят по очереди, и каждый игрок своим ходом закрашивает одну клеточку. Каждую клетку можно закрашивать только один раз. Проигрывает тот игрок, после хода которого, получится квадрат , состоящий из закрашенных клеток. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш – начинающий, или его соперник? Ответ обосновать.

4. Построить график функции: , где - целая часть числа х, - дробная часть числа х.

5. Найти все натуральные решения уравнения: .

На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів не дозволяється.

58 Олімпіада юних математиків

2007 – 2008 навч. рік

9 клас

1. Довжини сторін трикутника – послідовні цілі числа, не менше, ніж 3 см. Довести, що висота, що проведена на середню за довжиною сторону, поділяє її на відрізки, різниця яких дорівнює 4 см.

2. Спростити вираз: .

3. Дано кут АОВ і дві точки M, N , що лежать всередині цього кута. Як направити промінь світла з точки M, щоби він спочатку відбився в стороні АО, потім в стороні ОВ, і потрапив би в точку N ?

4. Побудувати графік функції: .

5. У тесті є 20 питань. За кожну правильну відповідь дається 7 балів, за кожну неправильну – знімається 2 бали, а за кожне пропущене питання – 0 балів. Андрій набрав 78 балів Скільки питань пропустив Андрій?

9 класс

1. Длины сторон треугольника – последовательные целые числа, не меньше 3 см. Доказать, что высота, опущенная на среднюю по величине сторону, делит ее на отрезки, разность которых равна 4 см.

2. Упростить выражение: .

3. Дан угол АОВ и две точки M и N внутри него. Как направить луч света из точки M, чтобы он, отразившись сначала в стороне АО, а затем в стороне ОВ, попал в точку N?

4. Построить график функции: .

5. В тесте есть 20 вопросов. За каждый правильный ответ дается 7 баллов, за каждый неправильный ответ – снимается 2 балла, за каждый пропущенный вопрос – 0 баллов. Андрей набрал 78 баллов. Сколько вопросов пропустил Андрей?

На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів не дозволяється.

58 Олімпіада юних математиків

2007 – 2008 навч. рік

10 клас

1. Якщо для сторін а, в, с і протилежних їм кутів А, В,С, деякого трикутника АВС виконується рівність , то цей трикутник рівнобічний. Довести це.

2. Побудувати графік функції: , де - ціла чистина числа х, - дробова частина числа х.

3. Обчислити без таблиць:

4. В трикутнику дві медіани взаємно перпендикулярні та дорівнюють 18 см та 24 см. Знайти площу цього трикутника.

5. Обчислити , якщо

10 класс

1. 1. Если для сторон а, в, с и противолежащих им углов А, В, С, некоторого треугольника АВС выполняется равенство , то этот треугольник равнобедренный. Доказать это.

2. Построить график функции: , где - целая часть числа х, - дробная часть числа х.

3. Вычислить без таблиц:

4. В треугольнике две медианы взаимно перпендикулярны и равны 18 см и 24 см. Найти площадь этого треугольника.

5. Вычислить , если

На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів не дозволяється.

58 Олімпіада юних математиків

2007 – 2008 навч. рік

11 клас

1. Розв’язати рівняння: .

2. Побудувати трикутник за точками перетину описаного навколо нього кола з продовженнями висоти, медіани та бісектриси, що проведені з однієї вершини трикутника.

3. Сто різних фішок розкладені в один ряд. Довільні дві фішки, що стоять через одну можна міняти місцями. Чи можна через декілька кроків отримати ряд, де фішки будуть розкладені в зворотному порядку?

4. Побудувати графік функції:

5. При яких значеннях р система рівнянь має тільки один розв’язок?

11 класс

1. Решить уравнение: .

2. Построить треугольник по точкам пересечения описанной около него окружности с продолжением высоты, медианы и биссектрисы, проведенными из одной вершины треугольника.

3. Сто разных фишек положены в один ряд. Любые две фишки, стоящие через одну, можно менять местами. Удастся ли переставить фишки в обратном порядке?

4. Построить график функции:

5. При каких значениях р система уравнений имеет только одно решение?

На виконання роботи відводиться 4 години.

Кожне завдання оцінюється в 7 балів.

Використання калькуляторів не дозволяється.