Вопросы вступительного экзамена в магистратуру по специальностям 6М010900 – Математика и 6М060100 – Математика

Вопросы

Вступительного экзамена в магистратуру по специальностям

6М010900 – Математика и 6М060100 – Математика

1. Математические задачи и их классификации.

2. Организация решения задачи.

3. Тождественные преобразования алгебраических выражений.

4. Прогрессия.

5. Алгебраические уравнения, неравенства и их системы.

6. Тождественные преобразования тригонометрических выражений.

7. Функции и их графики.

8. Основные аксиомы и понятия планиметрии.

9. Треугольник и его основные свойства. Соотношения между стороной и углом треугольника. Замечательные линии в треугольнике.

10. Четыреугольник и свойства четыреугольника. Прямоугольник, ромб, параллелограмм, трапеция, окружность, круг, касательная, хорда, дуга.

11. Окружность, описанная около треугольника и четыреугольника, многоугольника, вписанная в треугольник и четыреугольник.

12. Многогранники в пространстве. Пирамида, параллелипед, призма, конус и вычисление площадей боковой и полной поверхностей и объемов многогранников.

13. Круглые тела. Вычисление площадей боковой и полной поверхностей и объемов круглых тел.

14. Предмет методики преподавания математики.

15. Цели обучения математике.

16. Принципы обучения.

17. Содержание обучения математике.

18. Методы обучения математике.

19. Средства и формы обучения математике.

20. Математические понятия, предложения и методика их изучения.

21. Психолого-педагогические основы в обучении математике.

22. Методика обучения математике через задачи.

23. Организация обучения математике.

24. Средства обучения математике.

25. Организация самостоятельной работы при обучении учащихся математике.

26. Современная математика и математическая наука.

27. Современная математика: предмет, метод, функции.

28. Современная математика как наука: философский аспект.

29. Предистория и этапы развития современной математики.

30. Внутренние и внешние факторы развития математической теории.

31. Сущность математизаций, методология математики, ее возникновение и эволюция.

32. Система математического образования.

33. Основные направления современных реформ в Казахстане в сфере общего образования по математике.

34. Упорядоченные и вполне упорядоченные множества.

35. Порядковые числа. Теорема Цермело.

36. Борелевские множества.

37. В-измеримые функции.

38. Баровская классификация функций.

39. Теорема Бара о функциях первого класса.

40. Сжимающее отображение. Принцип сжимающих отображений.

41. Теорема Арцела.

42. Евклидовы пространства. Скалярное произведение. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Гильбертово пространство. Ряды Фурье.

43. Обратный оператор. Ядро оператора. Теорема о существовании обратного оператора. Теорема о существовании правого и левого обратных операторов.

44. Слабая и сильная сходимость. Примеры. Теорема о сильно сходящейся последовательности.

45. Линейные функционалы. Линейные функционалы в нормированных пространствах.

46. R-линейные и C-линейные функции, R-дифференцируемые и С-дифференцируемые функции. Формальные производные. Производная функции комплексного переменного. Условие Коши-Римана. Аналитические функции.

47. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформное отображение.

48. Функции комплексной переменной и их однозначные голоморфные ветви. Понятие о точках ветвление и о римановой поверхности.

49. Гомотопия путей с общими концами и замкнутых путей. Теорема Коши.

50. Интегральная формула Коши. Теорема о среднем.

51. Свойства голоморфных функции. Интегральная формула Коши для производной голоморфной функции. Теорема Морера. Функции голоморфные в смысле Римана, Коши и Вейерштрасса.

52. Эллиптические уравнения второго порядка. Задачи, приводящие к эллиптическим уравнениям.

53. Принцип максимума для гармонических функций.

54. Слабый принцип максимума для эллиптического уравнения второго порядка. Лемма Хопфа.

55. Теорема единственности классических решении задач Дирихле и Неймана.

56. Пространства Соболева . Неравенство Фридрихса.

57. Существование решения задачи Дирихле в пространстве .

58. Системы линейных дифференциальных уравнений.

59. Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений.

60. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка.

61. Линейные неоднородные уравнения с частными производными первого порядка.

62. Система двух совместных уравнений первого порядка.

63. Уравнение Пфаффа.

64. Группы, различные определения, свойства единичной и обратного элементов, подгруппа, критерий подгруппы.

65. Смежные классы по подгруппе. Нормальная подгруппа. Фактор-группа.

66. Гомоморфизм групп. Свойства. Ядро гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах. Изоморфизм групп.

67. Периодические элементы. Свойства. Периодическая часть коммутативной группы.

68. Порождающее множество группы. Циклические группы и их описано. Подгруппы циклических групп. Гомоморфный образ циклической группы.

69. Конечные группы. Силовские подгруппы. Теорема Силова.

70. Кольцо, коммутативные кольца. Гомоморфизм и изоморфизм колец.

71. Идеалы колец. Свойства. Теорема о гомоморфизм и изоморфизм колец.

72. Поле, подполе. Конечные поля. Характеристика поля. Расширения полет.

73. Алгебраические элементы поля. Алгебраически замкнутые поля.

74. Модули. Подмодули. Фактор-модули. Нётеровы модули. Векторные пространства как модули.

75. Векторное произведение векторов. Площадь треугольника. Смешанное произведение векторов. Объем тетраэдра.

76. Прямая линия на плоскости. Различные способы задания прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

77. Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах.

78. Диаметры линий второго порядка. Главные направления.

79. Различные способы задания плоскости. Взаимное расположение двух и трех плоскостей.

80. Различные способы задания прямой в пространстве.

81. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям.

82. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.

83. Эллиптическая геометрия Римана.

84. Основные факты геометрии Лобачевского.

85. Кривизна и кручение кривой. Натуральные уравнения кривой.

86. Первая квадратичная форма поверхности.

87. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности.

88. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности.

89. «Начала» Евклида. Геометрия до Евклида. V постулат.