Постійно діючий семінар-практикум для вчителів математики КОІПОПК

Постійно діючий семінар-практикум для вчителів математики

КОІПОПК

ЗАНЯТТЯ №3 (18. 12.20 13)

Розминка

0. У Деякій казковій країні серед інших мешканців живуть карабаси та барабаси. Кожен карабас знайомий з 6-ма іншими карабасами і 9-ма барабасами. Кожен барабас знайомий з 10-ма карабасами і 7-ма барабасами. Кого в цій країні більше – карабасів чи барабасів?

Розв’язання

Позначимо загальну кількість карабасів як К, а барабасів – як Б.

Кількість знайомих пар карабас-барабас складає 9К, а барабас-карабас – 10Б. зрозуміло, що 9К = 10Б. Звідси К > Б.

Відповідь: Карабасів більше.

І. Як грати, щоб вигравати?

В минулий раз ми розглядали задачі на формування оптимальної комбінації дій. Наступний крок – задачі на виграшну стратегію.

Цікавими й популярними на математичних змаганнях є задачі на ігри двох осіб. Щоб розв’язати таку задачу потрібно мінімум математичних знань, але потрібно мати досить розвинене логічне мислення.

Задачі – ігри мають такі характеристики:

· У кожній грі беруть участь, як правило, двоє гравців.

· Суть гри – це почергове виконання суперниками скінченної кількості певних дій ( ходів ).

· Завжди відомо в чому полягає заключна виграшна позиція, а тому виграє той з гравців, після чийого ходу ця позиція досягається.

· Гра є відкритою: кожен з гравців має повну інформацію про її перебіг.

( Гра в шашки чи шахи є відкритою, а в доміно, « морський бій» чи карти - ні.)

Суть розв’язання задачі на ігри двох осіб – це з`ясування стратегії дій одного з гравців за яких перемагає цей гравець.

Зауважимо, коли встановлено виграшну стратегію, то в саму гру після цього можна вже не грати.

Не забувайте про парність!

Приклад 1. Двоє грають - ламають шоколадку, що складається з 6 4=24 дольок. При тому за один хід можна зробити лише один розлом по прямій вздовж заглиблення на шоколадці. Програє той, хто не матиме ходу. Хто виграє, перший, чи другий гравець?

Розв’язання

У якій послідовності гравці б не ламали шоколадку, все одно наприкінці гри вони отримають парну кількість шматочків. Тому виграє той, після ходу якого буде утворюватися парна кількість шматочків шоколадки, тобто перший гравець.

Відповідь: той, хто розпочинає гру.

Приклад 2. На дошці записано чотири числа: 4, 7, 11, 13. Дозволяється до довільних двох з них додати по одиниці й записати отримані суми замість двох обраних чисел. Чи можна таким чином зробити всі числа рівними?

Розв’язання

Якщо чотири числа рівні, то їхня сума є парним числом. Сума даних за умовою чисел є числом непарним (бо одне з цих чисел парне, а три - непарні). Тоді додаванням певно кількості двійок (1+1) треба перейти від непарної суми чисел до парної, що неможливо. (Додавання парного числа не змінює парності числа.)

Відповідь: ні.

В багатьох ігрових задачах виграшна стратегія досягається за допомогою вдалого ходу – відповіді на будь – який хід суперника. Існування такого ходу може забезпечитись симетрією, розбиттям на пари, доповненням до числа.

Приклад 3. Двоє по черзі кладуть п’ятаки на круглий стіл. Програє той, хто не має місця для ходу. Хто переможе?

Розв`язання

Дві точки кола, що є кінцями діаметра, симетричні відносно центра цього кола. Цим може скористатися перший гравець – першим ходом закрити центр столу, а потім викладати п’ятаки симетрично ходу суперника відносно центра стола.

Відповідь : виграє перший гравець

Приклад 4. Двоє по черзі проводять по одній діагоналі в правильному 100 – кутнику так, щоб вони не перетинались з уже побудованими. Хто переможе?

Розв`язання

Якщо провести діагональ через центр заданого 100 – кутника, то отримаємо два багатокутники симетричні відносно цієї діагоналі.

Виграє перший гравець. Він повинен першим ходом провести діагональ через центр заданого багатокутника, а далі робити ходи симетричні ходам другого гравця.

Відповідь : виграє перший гравець.

Приклад 5. Двоє гравців по черзі виймають із двох відер яблука. За один хід кожен гравець може брати з будь – якого, але тільки одного відра довільну кількість яблук. Виграє той, хто забере останнє яблуко. Як має грати перший гравець, щоб виграти, якщо у першому відрі 42 яблука, а в другому – 38?

Розв`язання

Першому гравцю потрібно взяти з першого відра 4 яблука. Після цього яблук в обох відрах стане порівну. А далі на кожен хід суперника першому гравцю слід відповідати симетричним ходом. Тобто, якщо другий бере певну кількість яблук з одного відра, то першому потрібно брати таку саму кількість яблук з другого відра і тоді останнє яблуко забере перший гравець.

Відповідь : Щоб виграти першому гравцеві потрібно взяти спочатку 4 яблука з першого відра, а далі брати стільки яблук, скільки братиме інший гравець. (Яблука слід брати не з того відра з якого брав суперник.)

Приклад 6. Дано шахівницю 8х8 і прямокутні доміно 1х2. За один хід дозволяється накрити дві сусідні клітинки шахівниці так, щоб плитки доміно не перекривались. Програє той, хто не зможе зробити наступного ходу. У котрого з двох гравців виграшна стратегія?

Розв`язання

Виграшна стратегія у другого гравця. Для перемоги він кожного разу повинен ставити плитку доміно симетрично відносно центра дошки до плитки, поставленої перед цим його суперником.

Відповідь : виграшна стратегія у другого гравця.

Універсальним методом для пошуку виграшних стратегій є аналіз гри « з кінця». Розглянемо цей метод на прикладі.

Приклад 7 . На столі – 23 цукерки. Кожен з двох гравців за один хід може взяти будь – яку кількість цукерок від 1 до 4. Виграє той, хто забере останню цукерку. У кого з гравців виграшна стратегія і в чому вона полягає?

Розв`язання

Розмістимо «умовні цукерки» в ряд, попередньо занумерувавши їх, але в зворотному порядку. Тобто, першою будемо брати цукерку під номером 23 і т. д.

23, 22, 21, 20, …,4, 3, 2, 1.

Назвемо першим гравцем того, хто робить перший хід. Тоді його супротивник буде другим.

Для того, щоб останнім своїм ходом ( нехай це n – ний хід ) забрати останню цукерку і, таким чином, виграти гру, першому гравцеві потрібно, щоб суперник після n-1 ходу залишив на столі 1,2,3 або 4 цукерки. Для цього першому гравцеві потрібно після (n – 2)-го ходу залишити на столі 5 цукерок. Тому « вихід» на номери кратні 5, забезпечує першому гравцеві перемогу в грі. Тому в першому ході першому гравцеві потрібно взяти 3 цукерки. А далі після кожного ходу першому гравцеві потрібно брати стільки цукерок, щоб кількість цукерок, що залишилась, була кратна числу 5.

Відповідь : Виграшна стратегія у першого гравця. Йому потрібно взяти спочатку 3 цукерки а потім брати стільки цукерок, щоб кількість тих, що залишились була кратною числу 5.

Приклад 8. Нехай маємо таку саму купку з 23 цукерок. Але брати з цієї купки можна тільки 2 або 5 цукерок. Останнім ходом можна забрати і 1 цукерку, якщо їх більше не залишилось. Хто виграє?

Розв`язання

Для більшої зручності зобразимо рядочок цукерок смужкою клітинок, в які будемо ставити знак «+», якщо позиція виграшна і знак «-» , якщо позиція програшна.

Для кінцевої позиції внесемо клітинку з номером 0, що характеризує відсутність цукерок. Це – перша з « кінця» програшна позиція, тому в цій клітинці ставимо «-». Від цієї клітинки одним ходом « назад» можна дістатись до клітинки з номером 1 ( якщо забереться остання цукерка), або 2, або 5. Тому це – виграшні позиції. У вказаних клітинках ставимо «+».

Позиції з номерами 3 і 4 – програшні, тому там «-». З цих програшних позицій за один хід ( коли береться 2 цукерки) можна перейти в позиції 5 або 6 – ставимо там «+». В клітинці під номером 7 позиція програшна - там «-». Після клітинки з номером 7 наступна виграшна позиція – це 8 і 9 ( якщо беремо 2 цукерки ) і 12 ( якщо беремо їх 5 ).

Маємо закономірність: знаки повторюються з періодом 7.

Таким чином, бачимо, що для першого гравця стратегія є виграшною, вона може бути, наприклад, такою. (Можливі ходи другого гравця поставимо у дужки.)

23→18 (→) →11(→)→4(→2)→0

Відповідь : Виграшна стратегія у першого гравця.

На подальших семінарах повернемося до задач цієї тематики.

ІІ. Хитромудрий модуль (Див. посібник Апостолової «Хитромудрий модуль»).

Значення теми у шкільному курсі математики (засіб формування мислення розгалуження). Як розпочинати (методика викладання теми у 7 класі). Найпростіші властивості модуля числа та відповідні вправи (завдання 10, 19, 20). Геометричний зміст модуля числа й його використання у розв’язуванні задач (§7-9). Метод інтервалів у розв’язуванні задач на модуль числа як пропедевтика навчання учнів розв’язуванню нерівностей методом інтервалів. Геометричний зміст суми модулів двох лінійних виразів, його використання у розв’язуванні рівнянь і нерівностей, у тому числі олімпіадного рівня (§ 10; с. 202, приклад №40).

ІІІ. Повертаємося до опорних задач планіметрії

· Знову про точку W (Див. Апостолова ія-8, §6; Кушнір І. А Повернення втраченої геометрії. )

1. О. З. Відрізки АН і АК – є відповідно висотою і бісектрисою трикутника АВС; О – центр описаного кола. Доведіть, що АК – бісектриса кута ОАН.

2. Відрізки АН, АК, АМ – є відповідно висотою, бісектрисою і медіаною трикутника АВС і ділять кут А на чотири рівні частини. Знайдіть кути даного трикутника.

3. Відрізки АН і АМ – є відповідно висотою і медіаною трикутника АВС і ділять кут А на три рівні частини. Знайдіть кути даного трикутника.

4. Нехай , . - точки перетину продовження бісектрис трикутника АВС (АВ=ВС) з описаним навколо нього колом. Доведіть, що А = С.

5. О. З. Кут між висотою АН і бісектрисою АК трикутника АВС дорівнює .

6. Нехай , . - точки перетину продовження бісектрис трикутника АВС з описаним навколо нього колом; I – ін центр; p – півпериметр ΔАВС; R –радіус описаного кола навколо цього трикутника, а r - вписаного. Доведіть:

1)) якщо А = В= С, то ΔАВС - правильний;

2) Δ,. гострокутний;

3) точка I - ортоцентр Δ;

4) О. З. ;

5) (австрійська олімпіада) А + В+ С.>2p;

7. У трикутнику АВС: і і висота і бісектриса, проведені з вершини А, R і r –радіуси описаного та вписаного кіл. Доведіть нерівність

8. О. З. У трикутнику АВС: СК – бісектриса; W – точка перетину прямої СК з описаним колом цього трикутника. Доведіть формулу Лагранжа: .(Див. Апостолова ія старшокласникам і абітурієнтам, с. 33; Шкільна геометрія в опорних схемах, задачах і прикладах, с. 45 ).

9. О. З. Доведіть, що відстань довільної точки D хорди АВ кола радіуса R від його центра цього кола О обчислюється за формулою /

10. О. З. Доведіть формулу Ейлера , де R і r – радіуси описаного (центр О) і вписаного (центр І) кіл трикутника. (Див. Шкільна геометрія в опорних схемах, задачах і прикладах, с. 48 ).

11. Доведіть нерівність , де R і r – радіуси описаного і вписаного кіл трикутника.

З НОВИМ РОКОМ, ШАНОВНІ КОЛЕГИ!

ЗАХОДЬТЕ НА САЙТ apostolova. .

ПИШІТЬ ЗА АДРЕСОЮ [e-mail]

ТЕЛЕФОНУЙТЕ 53