Математика (стр. 3 )

где – загрузка i-го канала фазы приема (1). Дисперсия же вычисляется по формуле

.

Из независимости рассматриваемых на фазе приема m СМО следует, что ПЛС общего стационарного суммарного объема сообщений на первой фазе имеет вид

.

Соответствующие первый момент и дисперсия суммарного объема равны

, .

На фазе передачи (2) имеем n независимых однолинейных СМО , для каждой из которых можно определить явный вид ФР суммарного объема. ПЛС ФР стационарного объема такой СМО есть

, , .

В силу независимости передающих каналов для ПЛС общего стационарного суммарного объема сообщений, находящихся на второй фазе, получаем

.

Первый момент и дисперсия суммарного объема сообщений на второй фазе имеют вид

;

.

Как известно, в стационарном режиме поток обслуженных в j-м канале второй фазы сообщений является простейшим с интенсивностью (). Следовательно, поток сообщений, поступающих на фазу задержки (3), является простейшим с интенсивностью .

Легко понять, что фаза задержки моделируется с помощью стационарной СМО , т. е. ПЛС ФР стационарного объема сообщений на фазе задержки имеет вид

,

или в нашем случае (время обслуживания здесь не зависит от объема)

,

где . Первый момент и дисперсия суммарного объема сообщений на фазе задержки имеют вид

, .

В рассматриваемой системе отдельные фазы, строго говоря, нельзя считать независимыми, поскольку объем сообщения остается неизменным в течение всего времени его пребывания в системе. Рассматриваемые фазы будут независимы в том случае, если при поступлении на очередную фазу объем сообщения разыгрывается заново. Будем, однако, считать, что зависимость, которую вносит постоянный объем сообщения, не является существенной и, таким образом, анализируемые фазы независимы. Тогда для ПЛС стационарного суммарного объема коммутационного центра получаем

.

Первый момент суммарного объема равен (данное значение в рамках данной модели является точным, поскольку математическое ожидание суммы СВ всегда равно сумме математических ожиданий этих СВ)

.

Аналогичным образом, дисперсия суммарного объема будет равна (приблизительно) сумме дисперсий этой СВ по каждой из рассмотренных фаз.

Для оценки объема памяти V коммутационного центра можно воспользоваться тем, что

, где .

Поскольку здесь есть ФР суммы двух независимых СВ – суммарного объема и объема поступившего в систему сообщения , ее первые два момента имеют вид

, .

Тогда ФР аппроксимируется ФР гамма-распределения

,

где , . В этом случае имеет место приближенное равенство

,

где определяется по таблицам.

3. Расчет объема памяти коммутационного центра с учетом окружения. Рассмотрим фрагмент сети, содержащей четыре коммутационных центра, к каждому из которых присоединена группа из 30 одинаковых абонентских пунктов (АП). Каждый пункт соединен со своим центром индивидуальным дуплексным каналом со скоростью передачи 200 бит/с. Центры соединены между собой высокоскоростными дуплексными каналами. Структура фрагмента сети и его параметры представлены на рис. 14.

30

	200 бит/с
200 бит/с

Рис. 14. Фрагмент коммутационной сети

Каждый знак сообщения кодируется 8 двоичными разрядами, а система защиты от помех обусловливает снижение скорости передачи на ; значения эффективной скорости передачи и другие параметры представлены в табл. 3. В рассматриваемой сети пары АП обмениваются сообщениями. Будем считать, что объемы сообщений распределены экспоненциально со средним значением знаков. Через каждый АП в сеть извне поступает простейший поток сообщений с интенсивностью 25,2 сооб./час = 0,007 сооб./с, из которых адресуется абонентам той же группы с равновероятным распределением между пунктами, а распределено поровну по АП остальных групп.

Для обмена сообщениями между каждой парой центров выделяется только один допустимый маршрут, который выбирается по следующему правилу: для смежных центров обмен осуществляется по соединяющему их направлению, для несмежных – по направлениям с большими скоростями передачи.

Необходимо оценить средние значения и дисперсии суммарного объема по каждому направлению (в предположении неограниченных объемов памяти для всех центров), а также объем памяти центра (см. рис. 14), обеспечивающего вероятность потери сообщений не более 0,01.

Таблица 3

Параметр	Размерность	Значение параметра для каналов
абонентских
Номинальная скорость	бит/c	200	1200	600	2400
	зн./c	20	120	60	240
	сооб./с	0,007	0,084	0,042	0,126
	–	0,350	0,700	0,700	0,524
	зн.	0,89	3,03	3,03	1,6
		2,89	13,4	13,4	5,8

В таблице 3 скорость передачи по направлению (каналу) обозначена через . Каждое направление моделируется с помощью рассмотренной нами в п. 7.8 СМО с экспоненциально распределенным объемом требования и временем обслуживания, пропорциональным объему. Интенсивность входного потока в такой СМО обозначена через , а загрузка – через .

Тогда моменты первого и второго порядка стационарного суммарного объема по направлению определяются соотношениями

; ,

где f – параметр распределения объема требования ().

Считая направления и абонентские каналы независимыми, первый момент и дисперсию суммарного объема коммутационного центра получим, суммируя аналогичные характеристики для всех каналов этого центра и смежных с ним направлений. В итоге получаем, что первый момент и дисперсия соответственно суммарного объема равны

, .

Расчет объема памяти V центра производим по заданной вероятности в соответствии с соотношением , где , , , , . Легко получить, что , . Далее за единицу объема возьмем величину . Тогда имеем . Для простоты считаем . По таблицам[1] определяем, что вероятность потери не выше 0,01 будет гарантирована при объеме памяти единиц среднего суммарного объема, или, иначе,

ЛИТЕРАТУРА

1. Байхельт, Ф. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход / Ф. Байхельт, П. Франкен. М. : Радио и связь, 19с.

2. Бочаров, П. П. Теория массового обслуживания / , . М. : Изд-во Рос. ун-та дружбы народов, 19с.

3. Буриков, М. Д. Теория массового обслуживания / , , М. А. Маталыцкий. Гродно : Изд-во Гродн. ун-та, 19c.

4. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения / , Л. А. Овчаров. М. : Наука, 19c.

5. Вентцель, Е. С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / , Л. А. Овчаров. М. : Наука, 19c.

6. Гнеденко, Б. В. Введение в теорию массового обслуживания , . М. : Наука, 19c.

7. Дудин, А. Н. Практикум на ЭВМ по теории массового обслуживания / , , . Минск : Университетское, 20с.

8. Зелигер, Н. Б. Проектирование сетей и систем передачи дискретных сообщений / , , . М. : Радио и связь, 19c.

9. Ивченко, Г. И. Теория массового обслуживания / , , . М. : Высш. шк., 19c.

10. Кёниг, Д. Методы теории массового обслуживания / Д. Кёниг, Д. Штойян. М. : Радио и связь, 19c.

11. Клейнрок, Л. Вычислительные системы с очередями / Л. Клейнрок. М. : Мир, 19c.

12. Клейнрок, Л. Теория массового обслуживания / Л. Клейнрок. М. : Машиностроение, 19c.

13. Климов, Г. П. Стохастические системы обслуживания / . М. : Наука, 19c.

14. Королюк, В. С. Полумарковские процессы и их приложения / , . Киев : Наукова думка, 19с.

15. Кочегаров, В. А. Проектирование систем распределения информации. Марковские и немарковские модели / , . М. : Радио и связь, 19с.

16. Матвеев, В. Ф. Системы массового обслуживания / , . М. : Изд-во МГУ, 19c.

17. Прабху, Н. Методы теории массового обслуживания и управления запасами / Н. Прабху. М. : Машиностроение, 19c.

18. Риордан, Дж. Вероятностные системы обслуживания / Дж. Риордан. М. : Связь, 19с.

19. Розанов, Ю. А. Случайные процессы / . М. : Наука, 19с.

20. Саати, Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения / . М. : Сов. радио, 19c.

21. Скитович, В. П. Элементы теории массового обслуживания / . Л. : Изд-во Ленинградского ун-та, 19c.

22. Теория сетей связи / под ред. . М. : Радио и связь, 19c.

23. Тихоненко, О. М. Аналог формулы Литтла для систем обслуживания неоднородных требований / // Автоматика и телемеханика. 1996. № 1. С. 104–108.

24. Тихоненко, О. М. Модели массового обслуживания в информационных системах / . Минск : УП «Технопринт», 20с.

25. Тихоненко, О. М. Модели массового обслуживания в системах обработки информации / . Минск : Университетское, 19c.

26. Тихоненко, О. М. Теория массового обслуживания / . Минск : ВУЗ-ЮНИТИ, 19c.

27. Хинчин, А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания / . М. : Физматгиз, 19c.

28. Шварц, М. Сети ЭВМ: Анализ и проектирование / М. Шварц. М. : Радио и связь, 19c.

29. Шварц, М. Сети связи: протоколы, моделирование и анализ / М. Шварц. Ч. 1. М. : Наука, 19c.

30. Шварц, М. Сети связи: протоколы, моделирование и анализ / М. Шварц. Ч. 2. М. : Наука, 19c.

31. Яшков, С. Ф. Анализ очередей в ЭВМ / С. Ф. Яшков. М. : Радио и связь, 1989. 216 с.

32. Klimow, G. P. Procesy obsługi masowej / G. P. Klimow. Warszawa : Wydawnictwa Naukowo-Tecniczne, 19s.

33. Tikhonenko, O. Modele obsługi masowej w systemach informacyjnych / O. Tikhonenko. Warszawa: Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, 20s.

[1] См., напр., , Таблицы математической статистики. М. :

Наука, 1983.