1 Теория линейных систем автоматического регулирования (стр. 3 )

Принимая значение a4 = 1,1, находим необходимое значение коэффициента k1 = (a4 – 1)/(k2k3) = (1,1 – 1)/(0,1∙10) = 0,1.

Рассчитанная с новым значением k1 передаточная функция САР

.

4.3 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать цель работы, характеристическое уравнение системы D(s) = 0, полученный на ЭВМ график D-разбиения, критические значения an, кр, выбранное значение an, проверку устойчивости системы при этом значении по критерию Рауса, зависимость an от коэффициента k1, рассчитанное значение k1 и вид передаточной функции системы после подстановки k1.

К защите знать основные определения метода D-разбиения по одному параметру, порядок построения кривых, штриховки, выбора параметра, формулировки и порядок применения критериев Гурвица и Рауса, определение для критического параметра.

5 Коррекция системы методом корневого годографа

5.1 Цель работы

Целью работы является изучение методов проектирования систем по корням характеристического уравнения при заданных показателях качества регулирования.

5.2 Общие сведения

Полюсами называются корни полинома знаменателя, а нулями – корни полинома числителя ПФ. Корневые оценки учитывают влияние на вид переходного процесса положения полюсов и нулей системы на комплексной плоско­сти. Качество регулирования оценивают лишь для устойчивых систем.

Корни, ближайшие к мнимой оси, назы­вают доминирующими, если влиянием осталь­ных корней можно пренебречь (остальные кор­ни находятся в 5-10 раз дальше от мнимой оси).

Расстояние от мнимой оси до ближайшего к ней корня характеристического уравнения (пары комплексных сопряженных корней) называется степенью устойчивости αmin или η, оно характеризует быстродействие системы. Максимальное по модулю отношение мнимой части корня к действительной из имеющихся полюсов называется степенью колебательности системы.

К основным показателям качества регулирования относятся время регулирования (длительность процесса) и перерегулирование (размах качаний при переходном процессе).

Для оценки времени регулирования tрег находят сначала степень устойчивости системы αmin или η, откуда при ошибке ∆ = 5 % или 0,05

.

Для оценки перерегулирования s определяют степень колеба­тельности μ системы, а затем значение перерегулирования . При нескольких парах комплексных корней максимальное значение μ у того корня, который первым встречается лучу, проведенному из начала координат по положительной мнимой полуоси и поворачиваемому против часовой стрелки. При единственной паре комплексных корней необходимость выбора отпадает.

Совокупность траекторий, описываемых на комплексной плос­кости корнями характеристического уравнения замкнутой системы при изменении одного из ее параметров от 0 до ∞, называется корне­вым годографом.

Поскольку обычно делают оценку для замкнутой системы, то в ее характеристическое уравнение попадают и нули, и полюса разомк­нутой системы. Если , то . Ча­ще всего изменяют коэффициент усиления регулятора k, вычисляют для каждого значения корни и наносят их на комплексную плоскость.

При построении корневого годографа обычно используют или учитывают его свойства:

- число ветвей корневого годографа равно степени характеристиче­ского уравнения;

- ветви комплексных частей корневого годографа симметричны отно­сительно действительной оси;

- точки расхождения ветвей на действительной оси соответствуют кратным действительным корням характеристического уравнения;

- при k, стремящемся к нулю, траектории корней начинаются в полю­сах передаточной функции разомкнутой системы;

- при k, стремящемся к бесконечности, m траекторий корней заканчи­ваются в нулях передаточной функции разомкнутой системы, а ос­тальные n-m ветвей асимптотически уходят в бесконечность. Здесь m – это порядок полинома числителя, а n – порядок полинома знамена­теля передаточной функции системы.

5.3 Указания к работе

В работе производится выбор значения коэффициента обратной связи kос в звене 6, ранее принимаемого равным единице, по условию получения минимального времени регулирования.

Поскольку этот коэффициент попадает в свободный член характеристического уравнения an, предварительно следует выразить аналитически зависимость этого коэффициента от коэффициента kос, учитывая новое значение k1, полученное в предыдущей работе.

Используя лист Лаб_5 "Корневой годограф" из книги LinCAD.xls и характеристическое уравнение системы из предыдущей работы, получим корневой годограф системы при изменении коэффициента an в задаваемом диапазоне (от нуля до значения, при котором корни перемещаются вправо от мнимой оси). Коэффициенты характеристического полинома (знаменателя ПФ) записывают в ячейки C6-C10 последовательно, начиная со старшего коэффициента, включая нулевые значения. Конечное значение а4 указывают в ячейке А10, пересчет производится после его изменения.

Просматривая колонку tрег, нужно найти наименьшее возможное время регулирования. При этом и будет обеспечиваться наибольшее значение степени устойчивости, т. е. значение коэффициента an, при котором все корни максимально удалены от мнимой оси.

Перенести корневой годограф в отчет, обозначив стрелками на ветвях направления движения корней при увеличении an.

Для выбранного значения an провести на графике линию степени устойчивости и луч выбора корней для оценки степени колебательности, записать соответствующие ему величины времени регулирования tрег и перерегулирования s, вычислить значение коэффициента обратной связи kос.

5.4 Методический пример

Характеристическое уравнение системы

D(s) = s4+2s3+3s2+4s+(k1k2k3koc+1) = s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 1,1 = 0.

Принимаем диапазон изменения коэффициента a4, включающего коэффициент обратной связи, в пределах граничных значений 0-2, найденных в предыдущей работе.

Корневой годограф (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1

Таблица значений корней знаменателя ПФ (таблица 5.1)

Таблица 5.1

	Значение коэффициента а4
а4, min = 0,000	а4, max = 2,000	а4, опт = 0,523
полюса системы	0,000	-1,000	-0,145
-0,174 + j1,547	-1,000	-0,140 + j1,506
-0,174 - j1,547	0,000 + j1,414	-0,140 - j1,506
-1,650	0,000 - j1,414	-1,574

Показатели качества для выбранного значения а4 = 0,523: время регулирования tрег = 21,36 с, перерегулирование σ = 0,746 или 74,6 %.

Вычисленное значение коэффициента обратной связи

kос = (a4 – 1)/(k1k2k3) = (0,523 – 1)/(0,1∙0,1∙10) = -0,477/0,1 = -4,77.

Передаточная функция после коррекции

Статическая ошибка ε(∞) = 1 - 0,1/0,523 = 0,809 или 80,9 %.

5.5 Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать название, цель работы, характеристическое уравнение системы, корневой годограф с нанесенными линиями степени устойчивости и колебательности, таблицу полюсов не менее, чем для трех значений an, включая наименьшее, наибольшее и окончательно выбранное (оптимальное), значения времени регулирования и перерегулирования для него, вид зависимости коэффициента характеристического уравнения an от коэффициента kос, полученное значение kос, величину статической ошибки.

К защите нужно знать все определения по корневому годографу и корневым оценкам качества регулирования, свойства корневого годографа, уметь самостоятельно определить доминирующие корни, время регулирования и перерегулирование по расположению корней на комплексной плоскости.

6 Оценка запасов устойчивости системы регулирования

6.1 Цель работы

Целью работы является изучение методов определения количественных оценок запасов устойчивости системы с помощью частотного критерия устойчивости Найквиста.

6.2 Общие сведения

Частотный критерий Найквиста (Nyquist, 1932 г.) основан на анализе вида амплитудно-фазовой характеристики (АФЧХ) системы регулирования. Его особенность состоит в том, что по характеристикам разомкнутой системы судят об устойчивости системы после ее замыкания. Говоря про замыкание системы, подразумевают ее замыкание единичной отрицательной обратной связью (ООС). АФЧХ называют также годографом Найквиста.

Обычная формулировка критерия: Система, устойчивая в разомкнутом состоянии или нейтральная, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если ее АФЧХ при изменении частоты w от нуля до плюс бесконечности не охватывает точку с координатами (-1, j0).

а б

Годограф нейтральной в разомкнутом состоянии системы с ПФ вида W(s) = W0(s)/sn дополняется дугой n(-p/2) бесконечного радиуса, начинающейся на положительной действительной полуоси. Здесь n – степень астатизма системы (число нулевых корней в знаменателе пе­редаточной функции), если n ¹ 0, то годограф Найквиста при w = 0 начинается в бесконечности.

Замкнутая система находится на апериодической границе ус­тойчивости, если при w = 0 годограф Найквиста начинается в точке
(-1, j0), и на периодической границе устойчивости, если при w ¹ 0 го­дограф проходит через точку (-1, j0).

Для анализа АФЧХ сложной формы рекомендуется применять правило штриховки – нанести штриховку справа от кривой, если двигаться по ней от w = 0 к w = +¥, и замкнуть кривую в соответствии с начальным направлением обхода (по или против часовой стрелки относительно начала координат). Замкнутая система устойчива, если точка (-1, j0) не попадает в заштрихованную область.

Для систем с отсутствием нулей, т. е. передаточной функцией вида W(s) = k/D(s), проще строить не прямую, а обратную АФЧХ для K-1(jω) = D(jω)/k (не нужно избавляться от мнимости в знаменателе). При этом изменяется формулировка критерия Найквиста. Для устой­чивости в замкнутом состоянии обратная АФЧХ разомкнутой сис­темы должна охватывать точку с координатами (-1, j0).

Количественная оценка удаления параметров системы от границы устойчивости называется запасом устойчивости. Запасы устойчивости обычно находят с помощью критерия Найквиста в обычном (по АФЧХ) или логарифмическом (диаграмма Боде) виде.

Запас устойчивости по амплитуде Am устойчивой системы ра­вен расстоянию от критической точки (-1, j0) до ближайшей точки пересечения АФЧХ с отрицательной действительной полуосью.

Этот запас Am = 1 - А(ω-π) лежит в пределах от 0 до 1, норма Am  ³ 0,5 ... 0,6. Для ЛЧХ или диаграммы Боде он вычисляется в децибелах , норма Am  ³ 6 дБ.

Физически такая оценка говорит о том, во сколько раз можно увеличить усиление системы без угрозы потерять устойчивость. Значение Am = ¥ в децибелах, имеющее место при отсутствии пересечения АФЧХ с отрицательной действительной полуосью, означает полную независимость устойчивости системы от величины ее коэффициента усиления. Система со сложной АФЧХ второго рода может иметь два запаса по амплитуде: на увеличение и на уменьшение коэффициента усиления.

Запас устойчивости по фазе jm равен углу между отрицатель­ной действительной полуосью и лучом, проведенным из начала коор­динат в точку пересечения АФЧХ с дугой единичного радиуса.

Запас по фазе jm = π - |φ(ωср)| находится в пределах от 0 до 180°, при проектировании обычно нормой для АФЧХ и ЛЧХ является величина jm ³ 30..60°. Запас характеризует возможность без изменения общего усиления системы до­бавлять звенья с суммарным сдвигом по фазе не более jm. Максимальное значение jm, равное 180°, говорит о том, что смещение по фазе сигнала при прохождении его по данной системе никак не отражается на ее устойчивости.

6.3 Указания к работе

Предварительно нужно вычислить передаточную функцию Wраз(s) разомкнутой системы по контуру главной обратной связи при исключенном сумматоре и выбранных ранее k1 и kос (работы 4 и 5).

Для построения годографа Найквиста используется лист Лаб_6 "Запасы устойчивости" из книги LinCAD.xls. Коэффициенты ПФ разомкнутой системы записывают в ячейки G5-K5 (числитель) и G6-K6 (знаменатель) последовательно, начиная со старшего коэффициента, включая нулевые значения.

Начальное и конечное значения частоты указывают в ячейках I9-J9. Их подбирают экспериментально, так, чтобы все изменения АФЧХ умещались на графике (можно начать подбор с частот 0 и 10 рад/с). При отрицательном числителе ПФ АФЧХ начинается на отрицательной действительной полуоси.

6.4 Методический пример

Структурная схема разомкнутой системы (рисунок 6.1).

Рисунок 6.1

Передаточная функция разомкнутой системы

.

Амплитудно-фазная частотная характеристика (рисунок 6.2).

Рисунок 6.2

Из графика запас устойчивости по амплитуде на частоте ω-π =
= 0 рад/с равен Ам = 1 - 0,477 = 0,523 или -20lg(0,477) = 6,43 дБ, запас устойчивости по фазе равен максимальному значению φм = 180 град, поскольку АФЧХ не превосходит дугу единичного радиуса во всем диапазоне частот. Значения запасов удовлетворяют стандартным требованиям к САР.

6.5 Содержание отчета

Отчет к лабораторной работе должен содержать название, цель работы, структурную схему и передаточную функцию разомкнутой системы, годограф Найквиста, найденные значения запасов устойчивости по амплитуде и фазе – на графике и отдельно, с указанием частот, которым соответствуют эти запасы, и единиц измерения.