Токарєва М. П., учитель математики та фізики обласного ліцею Луганського державного педагогічного університету імені Тараса Шевченка
Застосування пакету динамічної геометрії „DG” під час вивчення курсу геометрії в 7-9 класах
1 Знайомство з DG як засобом організації роботи по групах та розв'язання учбових проблем
Розпочати знайомство з пакетом динамічної геометрії можна вже на перших уроках геометрії 7 класу. Учні починають вивчати курс планіметрії з вивчення основних фігур та аксіом, що утворюють аксіоматичну базу всього курсу. Для дитини це новий предмет і іноді деякі речі вона не може зрозуміти, для неї не є такою очевидною та необхідною аксіоматична будова курсу планіметрії. І тут, після декілька уроків вивчення з усіх розділів аксіом, можна провести серію уроків знайомства з DG. На першому уроці учні ознайомлюються з зовнішнім виглядом пакету динамічної геометрії, її основними інструментами, зображеними у вигляді кнопочок, і розпочинають виконувати елементарні побудови точок, прямої, променя, відрізка, точок, що належать прямої і не належать, та проводити вимірювання відрізків та кутів.
На другому уроці для закріплення вивченого матеріалу можна запропонувати учням виконати узагальнення вивченого матеріалу. Для цього клас розбивається по групах і кожна група відповідає за свій блок аксіом:
І – Аксіоми належності точок і прямих.
ІІ – Аксіоми взаємного розміщення точок на прямій і на площині.
ІІІ – Аксіоми вимірювання відрізків і кутів.
ІV – Аксіоми відкладання відрізків і кутів.
V – Аксіома про паралельні прямі.
Через 10-15 хвилин групи міняються своїми робочими місцями (пересаджуються), залишається тільки один учень (хто – учні дізнаються тільки в момент переміщення) для захисту роботи своєї групи. Задача цього захисника полягає в тому, щоб сформулювати аксіоми, які група намагалась відобразити, і відповісти на запитання учнів іншої групи. На таку роботу дається 5 хвилин. Потім учнів знову переміщуються, і тепер представник іншої групи, що щойно прослухала виступ, залишається для захисту цієї роботи. Таким чином, учні не лише за допомогою пакету динамічної геометрії DG відтворять на екрані основні аксіоми, але й проговорять їх ще раз, що, на мою думку, дасть осмислене закріплення знань.
При вивченні теми “Суміжні та вертикальні кути” роботу класу можна спрямувати на вирішення за допомогою DG учбової проблеми – встановити зв'язок між градусними мірами суміжних і вертикальних кутів. Особливістю роботи в DG із цією темою є те, що за рахунок динамічності пакету можна змінювати положення півпрямих і прямих і тим самим перевіряти їх характерні властивості.
Так якщо змінювати положення півпрямих, що утворюють суміжні кути, (а це можна зробити, якщо переміщувати за допомогою “мишки” точку, що розміщується на одній зі сторін кута) можна розв'язати поставлену перед учнями на початку уроку проблему про взаємозв'язок між градусними мірами суміжних кутів.
Малюнок 2. Сума суміжних кутів дорівнює 180º.
Теж саме можна зробити і при розгляданні вертикальних кутів.
Малюнок 3. Вертикальні кути рівні.
Знаймство з пакетом динамічної геометрії DG у вигляді вирішення проблемних задач налаштує учнів з перших уроків, що DG є не розважальним засобом, а програмою, яка допоможе краще зрозуміти та уявити вивчаємі об'єкти. При подальшому вивченні геометрії, використовуючи DG, можна пропонувати учням самим складати проблемні задачки по вивченим темам.
Для сьомикласників можна запропонувати скласти динамічні проблемні задачі на: “Ознаку паралельності прямих”, “Суму кутів трикутника”, “Властивість зовнішнього кута трикутника” тощо.
2. Використання DG для розвитку навичок розв'язування задач на геометричні побудови
Але найактуальнішою, на мою думку, динамічна геометрія стає під час розв'язку проблеми, пов'язаної із зображенням предметів на площині. Важливим для курсу геометрії є розв'язування задач на побудову. Розв'язати задачу на побудову означає знайти скінчену послідовність елементарних побудов, після виконання яких шукана фігура буде вважатися побудованою на основі прийнятих аксіом конструктивної геометрії. У шкільному курсі геометрії задача на побудову вважається розв'язаною, якщо побудову можна виконати за допомогою циркуля та лінійки. При використанні комп'ютера рутинну роботу учень може перекласти на нього. При цьому досягається не лише вироблення відповідних практичних навичок, а й розвивається кмітливість вищого порядку, що полягає у застосування ідеї методу [3].
Пакет динамічної геометрії спрощує розв'язок задач на побудову тим, що містить на панелі інструментів кнопочки, що виконують найпростіші геометричні побудови, що розглядаються в курсі 7 класу, такі як: побудова бісектриси кута, ділення відрізка навпіл, побудова перпендикулярної і паралельної прямої, а також побудова кола по заданому і довільному радіусу, симетричної точки відносно точки і прямої.
Розглянемо деякі задачі, що можна розв'язати за допомогою пакету динамічної геометрії DG.
Стандартні задачі на побудову трикутників - базисних трикутників [2].
Побудувати трикутник:
1) за трьома даними сторонами a, b, c;
2) за двома сторонам і куту між ними.
3) за стороною і двома прилеглим до неї кутам;
4) за двома сторонами і куту, протилеглому більшій з них.
Побудувати прямокутний трикутник:
1) за двома катетами;
2) за катетом і гострим кутом;
3) гіпотенузою і гострим кутом;
4) гіпотенузою і катетом.
Задачі на застосування методу базисних трикутників.
Цей метод дозволяє будувати трикутники (а також многокутники і кола) способом, сутність якого – використання допоміжного трикутника (базисного) [4].
1. .Побудувати рівнобедрений трикутник за бічною стороною і медіаною, що проведена до цієї сторони.
2. Побудувати трикутник за основою, кутом при основі і сумі бічних сторін.
3. Побудувати трикутник за основою, медіаною, що проведена до основи, і висотою, що проведена до бічної сторони.
4. Побудувати рівнобедрений трикутник за основою та висотою, проведеною до бічної сторони.
5. Побудувати рівнобедрений трикутник за кутом при вершині та висотою, проведеною до бічної сторони.
6. Побудувати трикутник за кутом при вершині та висотами, що проведені до бічних сторін.
7. Побудувати трикутник за радіусом вписаного кола і двома кутами.
8. Побудувати трикутник АВС за його вершиною А, бісектрисою цього кута та висотою, опущеною на сторону АВ.
9. Побудувати ромб АВСD за діагоналлю BD і висотою ВН.
10. Через спільну точку двох кіл провести січну MN так, що її відрізок, який належить обом колам, був даної довжини.
Попередні задачі розглядаються на уроках та на факультативах в 7-9 класах. Кількість та складність таких задач залежить від учнів класу. Але необхідність таких задач, на мою думку, є виправданою. Пакет динамічної геометрії DG допоможе учням експериментувати, досліджувати, не боятися накреслити щось не так, “вийти за межи зошита”.
3. Формування навичок та вмінь роботи з декартовими координатами засобами пакету DG
Основне призначення теми “Декартові координати на площині” – показати учням роль методу координат у геометричних дослідженнях, дати можливість виробити найпростіші навички застосування методу координат до розв'язання геометричних задач. Перше знайомство з цією темою у учнів відбулось ще в 6 класі на уроках алгебри. Учні знайомі з поняттям координатні осі, координати точки. Тому вважаю вже майже з перших уроків можна формувати вміння й навички роботи з декартовими координатами за допомогою пакету динамічної геометрії DG.
Малюнок 4.
В пакеті динамічної геометрії за допомогою клавіш F6 і F7 (або за допомогою контекстного меню кнопочки ВИД) можна побудувати координатні вісі та розбити координатні площини на одиничні відрізки (див мал 4).
Розглянемо набір задач по даній темі.
1. Робота з координатами точок у декартовій системі координат.
Ø Побудуйте в прямокутній системі координат точки, поєднуючи їх між собою.
a) (2;8), (3;8), (5;9), (6;9), (4;8), (6;8), (3;7), (4;6), (6;6), (8;5), (9;3), (9;2), (10;3), (9;1), (4;1), (6;2), (5;3), (3;1), (2;1), (3;2), (3;3), (2;6), (1;6), (1;7), (2;8) – ЗАЄЦЬ.
b) (2;7), (5;7), (3;5,5), (3,5;2), (2,5;0), (2;0), (2;-3), (3;-4), (1;-4), (1;1),
(-1;1), (0;2,5), (-1;2,5), (-2;4), (0;5), (2;3), (2;7) – СТРАУС
c) (-4;0), (-2;2), (0;3), (2;1), (-2;2), (-2;-2), (2;-1,5), (4;-1), (6;-2), (5;0), (6;2), (4;0,5), (2,1) – РИБА.
Учням можна запропонувати самим намалювати малюнок і, визначивши координати точок, загадати однокласникам визначити за координатами малюнок. Вони залюбки виконують це без комп'ютера, а за допомогою DG це буде ще цікавіше.
Ø ГМТ. Відстані між точками та точкою і прямою.
1) Чому дорівнює абсциса точок, які лежать на осі ординат?
2) Чому дорівнює ордината точок, які лежать на осі абсцис?
3) Зобразіть геометричне місце точок площини ху, ордината яких дорівнює 5.
4) Зобразіть геометричне місце точок площини ху, абсциса яких дорівнює –3.
5) Знайти відстань від точки В(-6;-3) до осі ординат; до осі абсцис.
6) Знайти діагоналі квадрата АВСD, якщо А(0;4), В(4;4), С(4;0) і D(0;0).
Усі ці задачі на закріплення навичок роботи з декартовою системою координат можна виконати за допомогою панелі інструментів DG або контекстного меню властивості точки чи фігури.
2. Задачі на розвиток навичок роботи з аналітичними формулами прямої і кола.
Ø Рівняння кола.
Малюнок 5.
Для розв'язування задач цієї теми в DG є вже заготовки рівнянь кола, які можна задавати аналітично (див мал 5), і спостерігати залежність розміщення кола від коефіцієнтів.
Малюнок 6.
Рівняння кола можна задавати двома способами в DG:
1) в стандартному вигляді, де хс і ус координати центра кола;
2) в неявному вигляді (див мал 6).
Учні можуть намалювати довільне коло і за допомогою контекстного меню встановити рівняння цього кола, визначити координати центра та радіус даного кола (див мал7).
Малюнок 7.
Задачі
1) Побудуйте в декартовій системі координат коло довільного радіуса. Запишіть: а) координати центра кола; б) радіус даного кола; в) рівняння даного кола. Змінить місцеположення кола і виконайте все теж саме.
2) Побудуйте коло з центром О і радіусом R, задавши його аналітично:
а) О(3;4), R=4; б) О(-4;-5), R=
3) Знайдіть рівняння кола, побудувавши з початку його, якщо
a) центр кола С(2;2) і коло дотикається до осей Ох і Оу;
b) центр кола М(4;3) і коло перетинає осі координат;
c) центр кола початок координат і коло проходить через точку М(-3;4);
d) відстань від центру кола до осі Ох дорівнює 1, а до осі Оу – 4;
e) центр кола С(2;0) і коло проходить через точку А(1;0).
4) Знайти довжину діаметра кола, якщо його кінцями є точки (-4;2) і (6;-8).
5) Побудувати коло, задане рівнянням:
a) 
;
b) 
.
6) З'ясувати, чи належить точка А(1;7) колу з центром О(0;3) і радіусом R=3.
Ø Рівняння прямої.
Пряму в пакеті динамічної геометрії DG можна задати аналітично 5 способами, які розміщуються в розділі ФІГУРИ / АНАЛІТИЧНО
(див мал 5).
Малюнок 8.
Можна виконати зворотню операцію – по заданій прямій встановити рівняння прямої за допомогою контекстного меню прямої (див мал 8).
Задачі.
1) Побудувати і записати рівняння прямої, яка:
a) перпендикулярна осі Оу і проходить через точку А(1;4);
b) паралельна осі Оу і проходить через точку Р(-3;2);
c) проходить через точки О(0;0) і А(2;3);
d) проходить через точку А(4;3) і перпендикулярна до осі Ох.
2) Побудувати прямі, рівняння яких: у=5х+2; у=5х-2; у=-10х+0,2; у=-0,2х+1, у=0,1х-2. Що особливого можна зазначити в їх розміщенні? Зробіть загальний висновок.
3) Побудувати прямі, рівняння яких х+2у-1=0, 2х-у-2=0, х+2у+4=0 і 2х-у+3=0. Визначте особливості в розміщенні даних прямих. Зробіть загальний висновок.
4) Побудуйте довільну пряму та паралельну і перпендикулярну до неї прямі. Запишіть рівняння прямих. Порівняйте ваш висновок із попередніми завданнями.
5) Знайти координати точки перетину прямих х+2у+3=0 і 4х+5у+6=0.
6) Знайти площу трикутника, який утворюється при перетині прямої 2х+у+4=0, х=-1 і осі абсцис.
7) Знайти площу трикутника, який утворюється при перетині прямих у-3х+6=0, у=3 і осі ординат.
Ø Перетин прямої з колом.
1) З'ясувати взаємне розміщення прямої х-у+1=0 та кола х2+у2=1.
2) Скільки спільних точок мають пряма у=5 і коло х2+у2=9, а пряма х=5 і коло х2+у2=26?
3) Знайти точки перетину кола х2+у2=1 із прямою : а) у=2х+1; б) у=х+1; в) х+3у-4=0.
4) З'ясувати взаємне розміщення прямої у=27 і кола (х+5)2+(у-30)2=81. Знайти відстань від центра кола до прямої.
5) При яких значеннях с пряма х+у+с=0 і коло х2+у2=1: а) перетинаються; б) не перетинаються; в) дотикаються?
6) Три вершини прямокутника знаходяться в точках (0;5), (8;5), (8;-2). В яких точках коло (х-5)2+(у-2)2=25 перетинає сторони прямокутника?
7) Яку фігуру утворюють всі точки, що віддалені на 2 від кола х2+у2=49? В яких точках ця фігура перетинає осі координат?
Таким чином, виконуючи наведені завдання за допомогою пакета динамічної геометрії DG, діти можуть самі проводити дослідження з вивчаємими об'єктами, встановлювати закономірності між величинами, що описують дані об'єкти. DG не лише допомагає розвитку логічно-інтелектуальному та синтетично-аналітичному мисленню дитини, а й руйнує бар'єр складений роками – страх зробити помилку, дозволяє учням робити припущення і самим переконуватися в їх справедливості.
Література
1. и др. Задачи по геометрии для 7-11 класов/, , . – М.:Просвещение, 1991.
2. Кушнір І. А. Методи розв'язання задач з геометрії: Кн. для вчителя. – К.:Абрис, 1994.
3. Використання комп'ютерів на уроках алгебри і початків аналізу.//Математика в школі. – 2004.-№3.-С.22-25.
4. Погорелов ія: Планіметрія: Підруч. для 7-9 кл. серед. шк. – К.:,1994.
5. А, , Осенков і дослідження в курсі геометрії за темою “Геометричні перетворення” з використанням пакета динамічної геометрії DG.// Комп'ютер у школі та сім'ї. – 2004. - №7.- С.3-7.
