Практикум з аналітичної геометрії

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Волинський національний університет імені Лесі Українки

Серія "Посібники та підручники ВНУ імені Лесі Українки"

ПРАКТИКУМ З АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

Навчальний посібник для студентів

вищих навчальних закладів

Луцьк

Волинського національного університету імені Лесі Українки

2012

УДК 514.12:371.214.114(075.8)

ББК 22.151.54я73

К77

Рецензенти:

– доктор технічних наук, професор Вінницького національного технічного університету;

Смолюк І. О. – доктор педагогічних наук, професор педагогічного інституту Волинського національного університету імені Лесі Українки

К 77 Практикум з аналітичної геометрії: Навч. посіб. для вищ. навч. закл. У 2 ч. Ч.1 / Ольга Мусіївна Кравчук – Луцьк: Волин. нац. ун-т ім. Лесі Українки, 2012. – 228 с. – (Посібники та підручники ВНУ імені Лесі Українки)

ISBN -193-5 (серія)

ISBN

У навчальному посібнику до кожної теми подаються основні теоретичні положення аналітичної геометрії як на площині, так і в просторі (пряма на площині і в просторі, площина в просторі, взаємне розміщення прямих і площин, криві другого порядку на площині та поверхні другого порядку в просторі, загальна теорія кривих і поверхонь), особлива увага приділена розв’язанню задач: тут виділені основні типи задач і наведені приклади розв’язання задач для кожного з них; підібрані завдання для самостійного розв’язання.

Для студентів-першокурсників математичного факультету денної та заочної форм навчання вищих навчальних закладів.

УДК 514.12:371.214.114(075.8)

ББК 22.151.54я7

ISBN -193-5 (серія) © , 2012

ISBN © (обкладинка), 2012

© Волинський національний університет ім.. Лесі Українки, 2012

Зміст

Передмова…………………………………………………………………………5

РОЗДІЛ I. Елементи векторної алгебри в просторі…………………………7

§ 1. Поняття вектора. Лінійні операції над векторами………………………….7

Розв’язання задач………………………………………………………………11

Рекомендована література………………………………………………….. 17

Завдання для самостійного розв’язання……………………………………...17

§ 2. Лінійна залежність векторів………………………………………………….21

Розв’язання задач…………………………………………………………….. 22

Рекомендована література……………………………………………………24

Завдання для самостійного розв’язання……………………………………....24

§ 3. Координати вектора. Лінійні операції над векторами в координатах…..…27

Розв’язання задач……………………………………………………………….32

Рекомендована література……………………………………………………43

Завдання для самостійного розв’язання………………………….………...…43

§ 4. Скалярний добуток векторів………………………………………………….46

Розв’язання задач……………………………………………………………….48

Рекомендована література…………………………………………………… 54

Завдання для самостійного розв’язання…………………………………..…. 54

§ 5. Векторний добуток……………………………………………………………62

Розв’язання задач…………………………………………………………….... 64

Рекомендована література…………………………………………………… 68

Завдання для самостійного розв’язання………………………………………68

§ 6. Мішаний добуток трьох векторів……………………………………………. 73

Розв’язання задач……………………………………………………………… 74

Рекомендована література…………………………………………………….79

Завдання для самостійного розв’язання………………………….…………...79

РОЗДІЛ II. Метод координат………………………………………………….. 84

§ 1. Різні системи координат. Геометричне місце точок………………………. 84

Розв’язання задач……………………………………………………………. 87

Рекомендована література………………………………………………..... 98

Завдання для самостійного розв’язання…………………………………… 98

§ 2. Основні задачі……………………………………………….………………. 102

Розв’язання задач………………………………………….…………………..116

Рекомендована література…………………………………………………..119

Завдання для самостійного розв’язання……………………………………..120

РОЗДІЛ III. Пряма на площині………………………………………………..123

§ 1. Пряма в афінній системі координат…………………………………………123

Розв’язання задач…………………………………………………………..….126

Рекомендована література………………………………………………..….131

Завдання для самостійного розв’язання……………………………………..131

§ 2. Пряма в прямокутній декартовій системі координат…………………...

Розв’язання задач………………………...……………………………………136

Рекомендована література…………………………………………………. 148

Завдання для самостійного розв’язання……………………………………. 148

РОЗДІЛ IV. Лінії другого порядку………………………………………..….. 156

§ 1. Канонічні рівняння ліній другого порядку…………………………………156

Розв’язання задач……………………………………………………………..163

Рекомендована література…………………………………………………. 177

Завдання для самостійного розв’язання…………………………………… 177

§ 2. Загальна теорія ліній другого порядку………………………………… 184

Розв’язання задач…………………………………………………………….. 189

Рекомендована література………………………………………………….. 206

Завдання для самостійного розв’язання……………………………………. 206

Відповіді…………………………………………………………………………..211

Список літератури……………………………………………………………... 227

Додатки……………………………………………………………………………229

Предметний покажчик……………………………………………………….....245

ПЕРЕДМОВА

Курс аналітичної геометрії належить до циклу фундаментальних дисциплін підготовки бакалаврів спеціальності “математика” на математичному факультеті університету.

Основними завданнями є формування у студентів базових понять аналітичної геометрії; розвиток абстрактного мислення та просторового уявлення; вироблення навиків застосування набутих теоретичних знань при розв’язуванні практичних задач з аналітичної геометрії, а також інших математичних дисциплін, спецкурсів.

У сучасних умовах кредитно-модульної системи навчання посилюється роль самостійної роботи студентів. Саме з метою сприяння ефективної організації цього виду діяльності студентів підготовлено посібник. У ньому відповідно до вимог навчальної програми курсу аналітичної геометрії подаються основні теоретичні відомості, зразки розв’язання різних типів задач та завдання для самостійного розв’язання до кожної теми, рекомендується література для самостійного опрацювання.

У розділі „Елементи векторної алгебри в просторі” формуються поняття, які є базовими для вивчення наступних розділів

Векторне числення - це математична дисципліна, в якій вивчаються властивості операцій над векторами. Виникнення цієї теорії тісно пов’язане з потребами механіки і фізики. Векторне числення є могутнім апаратом дослідження цілого ряду математичних та прикладних дисциплін.

Тема „Метод координат на площині” належить тій частині геометрії, яка називається аналітичною. Основними її поняттями є найпростіші геометричні образи (точки, прямі, площини, криві та поверхні ІІ порядку). Основними засобами дослідження цієї науки є метод координат і методи елементарної алгебри. Аналітична геометрія - частина математики, яка застосовуючи координатний метод, досліджує геометричні об’єкти засобами алгебри. Метод координат дав можливість пов’язати геометрію з алгеброю й математичним аналізом, так як з’явився спосіб перекладу геометричних задач на мову алгебри і аналізу, який дозволив шифрувати різні фігури, записуючи їх за допомогою чисел, з’явилась можливість геометричні задачі розглядати з алгебраїчної точки зору, надаючи їх розв’язкам тієї загальності, яка властива алгебраїчному методові. І, навпаки, задачі інших наук висвітлювати з геометричної точки зору, надаючи їм, властиву геометричним поняттям, наочність.

Вивчаючи тему, студент повинен навчитися перекладати геометричні задачі на алгебраїчну мову і розв’язувати геометричні задачі алгебраїчними методами. Для цього необхідно:

1) набути навичок в складанні рівнянь різних ліній;

2) навчитися за допомогою рівнянь і нерівностей аналітично записувати геометричну фігуру;

3) навчитися за геометричним рисунком і умовою задачі доцільно вибирати систему координат і записувати елементи рисунка аналітично;

4) навчитися геометрично інтерпретувати різні рівняння, нерівності та їх системи.

Тема „Лінії другого порядку” є складовою частиною аналітичної геометрії. Після вивчення теми студент повинен переконатися в ефективності і перевагах аналітичного методу, який дає змогу досить просто охарактеризувати властивості ліній та провести класифікацію всіх ліній другого порядку.

Згідно з освітньо-кваліфікаційною характеристикою бакалавра вивчення курсу аналітичної геометрії має бути спрямованим на формування у студентів уміння використовувати набуті знання.