Розділ 2. Випадкові величини (стр. 2 )

Сумісний розподіл випадкових величин x(w) і h(w). Нехай x(w) – дискретна випадкова величина, яка набуває значень х1, х2,…, хі,…, h(w) – дискретна випадкова величина, яка набуває значень y1, y2,…, yі,…. Набір чисел

Р{w:x(w)=xi, h(w)=yi}=pij

(i=1, 2, …; j=1, 2, …) називається с у м і с н и м р о з п о д і л о м випадкових величин x і h (розподілом випадкового вектора (x, h)). Мають місце такі твердження:

а) рij³0,

б)

де {pi} розподіл x(w), {qi} – розподіл h(w).

41

Незалежні випадкові величини. Випадкові величини x і h
н а з и в а ю т ь с я н е з а л е ж н и м и, якщо для будь-яких i j

P{x(w)=xi, h(w)= yi} = P{x(w)=xi} · P{h(w)= yi}.

Математичне сподівання випадкової величини. Нехай x(w) – дискретна випадкова величина, яка набуває значень хі з імовірностями рі(і=1, 2, …). Припустимо, що ряд S½хі½рі збігається. Тоді м а т е м а т и ч н и м с п оді-

в а н н я м випадкової величини x(w) називається сума ряду М x(w) = Якщо S½хі½рі=+¥, то кажуть, що випадкова величина x(w) не має математичного сподівання. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.

Дисперсія випадкової величини x(w) визначається рівністю

Dx=M[x- Mx]2= Mx2-( Mx)2=

Властивості дисперсії.

1. Dx=0x=соnst;

2. Dx=

3. D(Cx)=c2 Dx;

4. D(xC)= Dx .

5. Якщо та незалежні випадкові величини, то D( )= D+D .

Коєфіцієнт коваріації випадкових величин та це:

cov(x, h)=M(x-Mx)(h-Mh).

Коефіцієнт кореляції. К о є ф і ц і є н т о м к о р е л я ц і ї випадкових величин x і h називаються

Мають місце такі твердження:

а) ½r(x, h)½£ 1;

б) якщо x і h незалежні, то r(x, h)=0;

в) якщо ½r(x, h)½=1, то з імовірністю одиниця h=аx+b, де а і b – деякі сталі.

Схема Бернуллі. Класичні дискретні розподіли.

Біномінальний розподіл. Проводяться незалежні випробовування; в кожному випробовуванні може бути два результати: «успіх» - з імовірністю p, або невдача з імовірністю 1-р=q. Нехай проведено n випробовувань. Позначимо через x число «успіхів», тоді

Pn(k)=P{x=k}= (k=0, 1,…, n).

Розподіл випадкової величини x називається
б і н о м і н а л ь н и м р о з п о д і л о м Б е р н у л л і, а описана вище схема носить назву схеми незалежних випробовувань, або схеми Бернуллі.

42

, .

Локальна теорема Муавра - Лапласа.Якщо ,то

; .

Iнтегральна теорема Муавра – Лапласа. Якщо , р –константа, то

рівномірно по х1,х2 (-

Теорема Пуассона. Якщо р=рn o та при (, то

Геометричний розподіл. Випадкова величина x, яка набуває значень 0, 1, …, k…має геометричний розподіл з параметром р, якщо

Р{x=k}=(1-p)kp.

Величину x можна інтерпретувати як число випробувань до першої появи успіху в схемі незалежних випробувань з ймовірністю появи успіху р.

Розподіл Пуассона. Випадкова величина x, яка набуває значень 0, 1, …, k…має розподіл Пуассона з параметром l ), якщо

Р{x=k}=,

Зазначемо, що параметрl в цьому розподілі задовільняє рівності l=np, де n-число випробувань, а p - ймовірність успіху. При великому числі випробувань, число успіхів, наближено розподілено по закону Пуассона, а ймовірність успіху має порядок (закон рідких подій).

Задача 1.Двічі підкидають монету. Описати простір елементарних подій W. Нехай x(w) - число появи герба. Знайти розподіл випадкової величини x , математичне сподівання Мx та дисперсію Dx.

W={ГГ, ГР, РГ, РР}

ξ( ω)	2	1	0
Р

Р1=Р{x =2}=1¤4; Р2=Р{x =1}=1¤2; Р3=Р{x =0}=1¤4;

Мx = 1¤4 × 2 + 1¤2 + 1 =1; Мx 2 = 1¤4 × 4 + 1¤2 × 1 =3¤2;

Dx. = Мx 2 + (Мx)2 = 1¤2.

Задача 2. Випадкова величина приймає значення –1, 0 та 1 з ймовірностями, відповідно рівними та . Написати вираз та побудувати графік функції розподілу величини.