Розділ 2. Випадкові величини (стр. 1 )

38

Розділ 2. Випадкові величини.

2.1 Випадкові величини - функції на просторі елементарних подій.

Одним з основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини. Випадкова величина - це величина, яка приймає те чи інше значення в залежності від випадку. Прикладом випадкової величини можуть бути число очок, які випали при одному підкиданні грального кубика, число попадань в ціль при n пострілах, час безвідмовної роботи приладу, дальність польоту балістичної ракети та інш. Випадкова величина x є число, яке ставиться у відповідність кожному можливому наслідку експеримента. Оскільки наслідки експерименту описуються елементарними подіями, випадкову величину можна розглядати як функцію x = x(w) на просторі елементарних подій W.

Приклад. Нехай двічі підкидають монету. Простір елементарних подій має вигляд W={ГГ, ГР, РГ, РР}. Нехай x - число появ герба. Величина x є функцією x = x(w) елементарної події. Таблиця значень функції x(w) має наступний вигляд:

w	Г Г	Г Р	Р Г	Р Р
x(w)	2	1	1	0

Функція x = x(w) на W називається вимірною відносно s - алгебри Á, якщо для кожного дійсного х виконана умова {w: x(w)< х}ÎÁ.

Випадковою величиною x на (W, Á, R) називається вимірна функція
x = x(w), яка задає відображення W в множину дійсних чисел R.

39

Функцією розподілу випадкової величини x(w) називається функція
F(x)={ w : x(w) < x}.

Нехай <W, Á, R> - ймовірнісний простір і x(w) - випадкова величина на ньому. Показати, що кожна із множин множини W

{ w : x(w) ³ x}, { w : x(w) £ x},

{ w : x(w) >x}, { w : a£x(w) < b},

{ w : x(w) =x}, { w : a<x(w) < b}

є випадковою подією, тобто кожна з цих множин належить s - алгебрі Á. Показати, що P{ w : x(w) £ x}=, P{ w : x(w) =x}=-

Р{ w : a£x(w) < b}= F(b)- F(),

2.2 Дискретні випадкові величини.

Нехай <W, Á, R> - ймовірнісний простір. Дискретною випадковою величиною називається функція x(w) на W, яка набуває скінченне або зліченне число значень х1, х2, …, хn , … і є вимірною відносно s - алгебри Á. Це означає, що для кожного хі

{ w : x(w) =x} Î Á (1)

Дійсно, якщо для функції x(w) має місце співвідношення (1), то ця функція вимірна відносно Á, так як для кожного дійсного х

{ w : x(w) <x}= { w : x(w) =xі} Î Á.

Рn=Р{ w : x(w) =xn} (2)

Нехай x(w) – дискретна випадкова величина, яка набуває значення х1,…, хі,…. Набір чисел

Р{w:x(w)=xi}=pi (i=1,2,…)

називають р о з п о д і л о м випадкової величини x. Зрозуміло, що

рі ³ 0, .

Часто розподіл випадкової величини подають у вигляді такої таблиці, в якій перераховуються значення випадкової величини разом з відповідними ймовірностями:

	x	x1	…	xk	…
	p	p1	…	pk	…

Функція розподілу дискретної випадкової величини x(w) визначається рівністю