Розділ 2. Випадкові величини (стр. 4 )

, де . Так як n=243, k=70 , p=0,25, , то , Шукана ймовірність дорівнює

Задача 29. Ймовірність появи події А в кожному із 100 незалежних випробовувань постійна і дорівнює р=0, 8. Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться: а) не менше 75 раз і не більше 90 раз;б) не менше 75 разів.

48

Розв’язування. а) Скористаємося інтегральною теоремою Муавра – Лапласа:

де - функція Лапласа,

, .

Враховуючи, що функція Лапласа непарна, тобто одержимо

Відповідь. б) )).

Задача 30. Магазин одержав 1000 бутилок мініральної води. Ймовірність того, що при перевезенні бутилка дуде розбитою, дорівнює 0,003. Знайти ймоварність того, що магазин одерже розбитих бутилок: а) рівно дві; б) не менше двох; в) більше двох; г) принаймі одну. ( Вказівка.; а) ; б) ; в) ; г)).

2.3 Абсолютно неперервні випадкові величини.

Функція розподілу випадкової величини x - це ймовірність F(x)=P{x<x}. Функція розподілу F(x): а) неперервна зліва; б) неспадна на
(-¥, +¥); в) F(-¥)=0, F(+¥)=1

Для кожної функції F(x), яка має ці властивості можна побудувати ймовірний простір (W, Á, Р) і випадкову величину x(w) на ньому, яка має функцію розподілу F(x).

Випадкова величина називається абсолютно неперервною, якщо існує невід’ємна функція р(х), яка називається щільністю ймовірності , така що [ 5] .

49

Майже при всіх х виконується рівність F¢(x)=p(x). Для щільністі розподілу мають місце рівністі , P{a £ x £ b}= = F(b)- F(a) (a<b).Якщо р(х) – неперервна функція, то

Р{ x £ x £ Dx} = p(x) Dx + 0(Dx).

Рівномірний розподіл. Випадкова величина x має рівномірний розподіл на відрізку [a, b], якщо щільність розподілу x дорівнює

p(x)=

0,

Нормальний розподіл N(a, s2). Випадкова величина має нормальний N(a, s2) розподіл, якщо щільність розподілу x дорівнює

p(x)=exp, -

Показниковий розподіл. Випадкова величина має показниковий розподіл з параметром l, якщо щільність розподілу x дорівнює

p(x)=

0,

Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.

Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань.

Функція розподілу випадкового вектора (x1,…, xn) – це ймовірність

F(x1,…,xn)=P{x1 < x1…, xn < xn}.

Незалежні випадкові величини. Випадкові величини x1,…, xn незалежні, якщо

P{x1< x1,…, xn< xn}= P{x1< x1}… P{xn< xn}.

Теорема. Випадкові величини 1, 2,…., n незалежні тоді і тільки тоді, коли

(х1,х2,….,хn)=х1) х2)… хn).

Щільність розподілу випадкового вектора. Якщо функцію розподілу F(x1,…,xn) вектора (x1,…, xn) можна подати у вигляді

F(x1,…,xn)=

то кажуть, що випадковий вектор (x1,…, xn) має щільність розподілу р(x1,…,xn). Щільність розподілу р(x1,…,xn) випадкового вектора (x1,…, xn) є невід`ємна функція і

.

50

Для неї майже всюди має рівність

Знаючи щільність розподілу випадкового вектора, можна знайти щільність розподілу кожної його компоненти

.

Математичне сподівання випадкової величини. Нехай
x(w) – випадкова величина на ймовірному просторі (W,Á, Р).

Випадкова величина x(w) має математичне сподівання, якщо існує інтеграл

Мx=,

де р (х)- щільність розподілу x(w).

Якщо g(x) – однозначна функція і , то

Мg(x)=.

Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.

Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань.

Дисперсія випадкової величини.

D= M(-M)2=M2- (M)2=.

Випадковий вектор (x1,…, xn) має нормальний розподіл, якщо його щільність розподілу дорівнює

де , = Mi,

( i =1,…,n ),- визначник, який складений з елементів матриці коваріацій,

-елементи оберненої до матриці .

51

Задача 1.В книзі Г. Крамера дана функція розподілу рівних доходів осіб, які обкладаються податком:

Визначити розмір річного доходу, який для випадково вибраного платника податку може бути перевершеним з ймовірністю 0,5.

Розв’язування. Р{x ³ x}= 0,5, за умовою задачі.

Р{x ³ x}=1 - Р{x < x}=1-1+ (х0 ¤х)a = 0,5 Þ (х0 ¤х)a = 1¤2, х0 ¤х=(1/2)1/a ,
х0 = (1/2)1/a х, х=2a х0

Задача 2 .Нехай x - випадкова величина з неперервною функцією розподілу F(x) і h = F(x). Обчислити функцію розподілу h.

Розв’язування. Нехай Тоді При (так як F(x) – функція розподілу), при Отже, h має рівномір-ний розподіл на [0,1).

Задача 3.Нехай x - рівномірно розподілена на [0, 1] випадкова величина. Знайти функцію розподілу випадкової величини h = 1¤l ln(1-x). (Відповідь: показниковий розподіл з параметром l).

Задача 4. Нехай випадкова величинаx має нормальний розподіл N(а, s2). Показати, що .

Задача 5.Випадкова величина x має нормальний розподіл N(0,s2). При якому s ймовірність попадання в інтервал (а, b) буде максимальною?

Розв’язування.

52

.

Задача 6.Нехай x - має показниковий розподіл з параметром l. Обчислити а) Мx ; б) Dx ; в) Р{x ³1}.( Вказівка. , ).

Задача 7.Нехай x - випадкова величина, яка має показниковий розподіл з параметром l. Знайти розподіл випадкової величини h = [x]. Обчислити Мh.

( Відповідь. Геометричний розподіл з параметром р=1- е-l).

Задача 8 а) Знайти М|x |, якщо випадкова величина x розподілена нормально з параметрами (0, s 2).б) Нехай x - нормально розподілена з параметрами (а, s 2). Обчислити М|x -а|. Відповідь .

Задача 9 . Нехай x - випадкова величина, яка рівномірно розподілена на проміжку [-a, a]. Обчислити: а) Мx ; б) Dx ; в) Р{ |x | > a/2 }

Задача 10. Щільність випадкової величини x має вигляд р(х)=Ае-х при х³0 й р(х)=0 при х<0. Знайти коефіцієнт А. Обчислити дисперсію x .

Задача11. Випадкова величина x рівномірно розподілена на проміжку , , а та w - додатні постійні. Знайти математичне сподівання та дисперсію h. ( Мh = 0 ; Dh = а2¤2 )

Задача12. Випадкова величина x має щільність Знайти математичне сподівання та дисперсію. Відповідь Мx=0, .

Задача13. Нехай випадкова величина x задана наступним чином:.

53

Знайти а) коефіцієнт А й функцію розподілу; б) математичне сподівання та дисперсію x . (А=1/2, F(x)=1/2 (sin x –1) при -p/2<x£p/2, F(x)=0 при х£-p/2, F(x)=1 при х>-p/2; б) Мx=0; Dx=p2/4-2.

Задача14. Випадкова величина x розподілена по закону Лапласа, тобто її щільність дорівнює р (х)=.Знайти математичне сподівання та дисперсіюx..

Задача 15. Випадкова величина x має щільність (закон Коші)
а) коефіцієнт А та функцію розподілу x; б) знайти ймовірність нерівності
-1£х<1, в) яке математичне сподівання, цього розподілу?
( Відповідь. А=1/p ; ; Р{-1£x<1}=1/2; математичного сподівання не існує).

Задача 16 .Випадкова величина x розподілена логарифмічно нормально, тобто її щільність р(х)=0, при х£0 й , при х>0. (a - довільне число, b - додатнє). Знайти Мx та Dx . (Відповідь , ). ).

Задача 17 . Нормальний розподіл з щільністю зрізано значенням х=b, а значення менше b відкинуті. Знайти математичне сподівання та дисперсію цього розподілу.

(відповідь: Щільність зрізаного розподілу

54

Задача 18. Нехай випадковий вектор (ξ , ξ) має нормальний розподіл

N(а ,а , σ, σ , ρ) на площині. Показати, що кожна з величин ξ і ξ має відповідно нормальний розподіл N(а, σ) і N(а , σ ).

Розв’язування. Випадковийо вектор (1,2)має нормальний розподілN (,, , ) на площині, якщо його щільність

(х, у)=ехр {-[ - 2 +] }. При цьому , =, ,

.

Зробимо заміну змінних

, v

та врахуємо, що .

55

Одержимо

або .

Задача19. Випадкові величини незалежні і мають нормальні розподіли), ). Довести, що випадкова величина має

нормальний розподіл ). (Скористатись формулою

=,

де -щільності випадкової величини , і=1,2.).

Задача 20. Випадковий вектор () з невід’ємними компонентами має функцію розподілу

F(х, у)=1-.

Знайти математичне сподівання та матрицю коваріацій цього вектора. Залежні чи незалежні його компоненти? ( Відповідь. Випадкові величини та незалежні. M=, M=, D =, D=).

Задача21. Випадкова величина рівномірно розподілена на інтервалі (-1 , 1), =m (m-ціле додатнє число). Знайти коефіцієнт кореляціїта. Розлянути випадки парного та непарного n.

Задача 22. Випадковий вектор (,) має щільність р(х, у)=.

Знайти коефіцієнт . Знайти одновимірні щільності випадкових величин та . Установити, залежні чи ні випадкові величини та.