Конспект лекцій з математичного аналізу

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

з математичного аналізу

Модуль № 2

Лекція 11 Стор. 2-14	Основні теореми диференціального числення ( Ролля; Лагранжа; Коші)
Лекція 12 Стор. 14-24	Формули Тейлора та Маклорена. Формули Маклорена для основних елементарних функцій.
Лекція 13 Стор. 24-29	Функція однієї змінної. Границя функції по Коші та Гейне. Теореми про границі функції. Однобічні границі.
Лекція 14 Стор. 29-33	Перша та друга чудові границі. Приклади.
Лекція 15 Стор. 33-37	Порівняння нескінченно малих функцій. Таблиця еквівалентних. Приклади знаходження границь.

Лекція 11

Основні теореми диференціального числення

Торема Ролля. Нехай функція f(x) задовольняє умовам:

1) f(x) неперервна на [a; b];

2) f(x) диференційована на (a; b);

3) f(a)=f(b)=0,

тоді існує хоча б одна точка c є (a; b) така, що f’(x)=0.

Доведення

Так як функція f(x) неперервна на відрізку [a; b], то вона має на цьому відрізку найбільше М та найменше m значення.

Якщо, то f(x) стала, тоді для f’(x)=0.

Розглянемо випадок коли Мm. Тоді хоча б одне із цих чисел не дорівнює нулю. Допустимо (для визначеності), що М>0 і функція приймає найбільше значення в точці х=с, тобто f(с)=М. при цьому с не співпадає ні з а, ні з b, так як f(a)=f(b)=0.

Так як f(с) – найбільше значення функції, то при Δх>0 та Δх<0.

Тоді при Δх>0

при Δх<0.

За умовою похідна в точці с існує, тоді

при Δх>0

при Δх<0.

Маємо

Геометричне тлумачення теореми:

Теорема Лагранжа (теорема скінчених приростів). Нехай функція f(x) задовольняє умовам:

1) f(x) неперервна на [a; b];

2) f(x) диференційована на (a; b).

Тоді існує точка така, що f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доведення. Розглянемо функцію

Функція F(x) буде неперервною на [a;b], диференційованою на (a;b). При цьому

F(a)=f(a)-f(a)-0=0

F(b)=f(b)-f(a)-(f(b)-f(a))=0

Функція F(x) задовольняє умоваі теореми Ролля, тоді існує хоча б одна точка с, така, що F’(c)=0. Маємо , тоді

Геометричне тлумачення теореми:

Лекція 12

Формула Тейлора

Допустимо функція y=f(x) має всі похідні до (n+1)-го порядку включно в деякому околі точки х=а. знайдемо многочлен Pn(x) степені не вище n, значення якого в точці х=а дорівнює значенню функції в цій точці, а значення його похідних до n-ого порядку в точці х=а дорівнює значенню відповідних похідних від функції f(x) в цій точці.

Будемо шукати цей многочлен по формі многочлена по степеням (х-а) з невизначеними коефіцієнтами.

Для знаходження ci знайдемо похідні від Pn(x)

………………

, тоді

f(a)=c0; f’(a)=c1; f’’(a)=2·1·c2; f(n)(a)=n·…·1·cn , звідки маємо:

с0=f(a);

Позначимо через Rn(x) різницю значень даної функції f(x) та побудованого многочлена Pn(x), тобто Rn(x)= f(x)-Pn(x), тоді f(x)= Pn(x)+ Rn(x) або

Одержана формула називається формулою Тейлора. Rn(x) називається залишковим членом.

Оцінимо залишковий член Rn(x).

Запишемо його у вигляді

Роглянемо допоміжну функцію з аргументом t (t заключаеться між х та а).

Маємо

Оскільки

F(x)=f(x)-f(x)-0=0

До функції F(t) можемо використати теорему Ролля. Маємо F’(c)=0, де с лежить між а та х.

Тоді

Q(x)=f(n+1)(c). Одержали

Вид для Rn(x) називається формулою Лагранжа для залишкового члена. Записавши , де 0<<1, одержимо

Формула називається формулою Тейлора для функції f(x) за залишковим членом у формі Лагранжа.

Якщо в формулі Тейлора покласти а=0, то одержимо формулу

, яка називається формулою Маклорена.

Застосування формули Маклорена для наближених обчислень

За допомогою формули Маклорена можемо проводити наближені обчислення в околі точки х=0.

Наведемо формули Маклорена для основних елементарних функцій.

Лекція 13

Зростання та спадання функції

Теорема.

1) Якщо функція f(x), яка має похідну на відрізку [a;b], зростає на цьому проміжку, то її похідна не від’ємна, тобто;

2) Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a;b] і диференційована на інтервалі (a;b), при чому , то ця функція зростає на відрізку [a;b].

Доведення

Доведемо першу частину теореми.

Нехай f(x) зростає на [a;b], тоді

f(x+Δx)-f(x)>0 при Δx>0

f(x+Δx)-f(x)<0 при Δx <0

Тоді залежно від знаку Δx маємо

Доведемо другу частину теореми.

Нехай

Розглянемо довільні х1 та х2 (х1<х2)

За теоремою Лагранжа маємо f(x2)-f(x1))=f’(c)(x2-x1) (х1<c<х2)

За умовою f’(c)>0, тоді

Аналогічна теорема існує і для спадної функції.

Теорема.

1) Якщо f(x) спадає на (a;b), тона цьому інтервалі.

2) Якщо на інтервалі (a;b), то f(x) спадає на (a;b).

Максимальні та мінімальні значення функції

Означення. Функція f(x) в точці х0 має максимальне значення (максимум), якщо значення функції f(x) в точці х0 більше, ніж її значення у всіх інших точках деякого околу точки х0, тобто для , для яких (x0+Δx) належить околу точки х0.

Означення. Функція f(x) в точці х0 має мінімальне значення (мінімум), якщо значення функції f(x) в точці х0 менше, ніж її значення у всіх інших точках деякого околу точки х0, тобто для , для яких (x0+Δx) належить околу точки х0.

Означення. Максимальні та мінімальні значення функції називають екстремумами функції або екстремальними значеннями.

Теорема (необхідна і достатня умова існування екстремуму)

Якщо диференційовано функція y=f(x) має в точці x0 екстремальне значення, то її похідна в цій точці дорівнює нулю.

Доведення

Допустимо, для визначеності, що в точці x=x0 функція має максимум, тоді

f(x0+Δx)- f(x0)>0 при Δx>0

f(x0+Δx)- f(x0)<0 при Δx<0

Звідси

Згідно визначенню похідної маємо

Геометричне тлумачення теореми:

Зауваження 1. Якщо функція y=f(x) в точці x0 має мінімум, то функція g=-f(x) в точці x0 має максимум, тоді

Зауваження 2. Диференційована на інтервалі функція може мати екстремальні значення тільки в точках, в яких похідна дорівнює нулю.

Ми розглянули випадок, коли похідна функції у всіх точках деякого інтервалу існує. Зараз на прикладах покажемо, що в точках, в яких похідна не існує, може бути або максимумом, або мінімумом, але може не бути ні максимумом, ні мінімумом.

У всіх випадках і точці х=0 похідна не існує. Але у випадку а) буде мінімальне значення, б) максимальне, в) екстремума немає. таким чином, функція може мати екстремуми лише в точках, де похідна існує і дорівнює нулю, або в точках де похідна не існує.

Означення. Значення аргумента, при яких похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними точками функції.

Для знаходження екстремума функції потрібно знайти всі критичні точки, а потім провести дослідження кожної критичної точки окремо.

Теорема 1 (достатня умова існування екстремума). Нехай функція f(x) неперервна в деякому інтервалі, на яком знаходиться критична точка х0 та диференційована у всіх точках цього інтервалу (крім, може бути, самої точки х0). Якщо при переході зліва направо через цю точку перша похідна змінює знак з «-» на «+», то функція має в цій точці мінімум.

Доведення

Теорема 3 (друга достатня умова). Нехай при х=х0 похідна функції y=f(x) дорівнює нулю, а також існує неперервна друга похідна в деякому околі точки х0, тоді функція при х=х0 має максимум якщо і мінімум якщо .

Доведення. Доведемо першу частину теореми (друга частина доводиться аналогічно).

Нехай .

Так як, за умовою, неперервна в деякому околі точки х=х0 то існує деякий окіл точки х0, де у всіх точках .

Так як є похідною від функції , то функціяспадає на інтервалі, якому належить точка х0. Але , тоді при х<х0 , а при х>х0 , тобто при переході через критичну точку х=х0 похідна змінює знак з «+» на «-». За теоремою 2 в точці х=х0 функція приймає максимальне значення.

Найбільше та найменше значення на відрізку

Нехай функція y=f(x) неперервна на відрізку [a;b]. Тоді на цьому відрізку функція приймає найбільше та найменше значення.

Найбільше (найменше) значення функція може приймати або на кінцях відрізка, або всередині відрізка.

А тому для знаходження найбільшого (найменшого) значення функції на відрізку потрібно:

1. Знайти всі критичні точки функції і залишити для дослідження тільки ті, які належать даному відрізку. Обчислити значення функції в цих точках.

2. Обчислити значення функції в граничних точках відрізка.

3. Із всіх одержаних значень вибрати найбільше значення та найменше. Найбільше значення буде найбільшим значенням функції на відрізку, найменше значення – найменшим.

Приклад…

Кривизна графіка функції

Розглянемо на площині криву y=f(x), яка є графіком однозначної диференційованої функції.

Означення 1. Крива називається опуклою вгору на інтервалі (a;b), якщо всі точки кривої лежать нище будь-якої її дотичної на цьому інтервалі.

Означення 2. Крива називається опуклою вниз на інтервалі (b;c), якщо всі точки кривої лежать вище будь-якої її дотичної на цьому інтервалі.