Відповіді I ТУРУ обласної інтернет – олімпіади з математики 11 клас

Відповіді

I ТУРУ обласної інтернет – олімпіади з математики

11 клас

1. Скільки і яких цифр потрібно, аби записати всі числа від 1 до 999 999 включно?

Розв’язання

Загальна кількість цифр в усіх числах становить 9+2*90+3*900+4*9 000+5*90 000+6*900 000=5 888 889.

Кількість нулів: їх є 99 999 в числах, що закінчуються на 0 (10, 20, …, 999 990), на другому місці в 99 990 числах, на третьому в 99 900, на четвертому в 99 000, на п’ятому в 90 000, що разом складає 488 889.

Решта цифр від 1 до 9 записані однакову кількість разів і кількість кожної з них дорівнює

2. Завод випускає деталі двох типів шляхом послідовної обробки кожної з них спочатку в цеху А, а потім в цеху В. обробка кожної деталі 1-го типу займає 5 годин в цеху А та 3 години у цеху В, а 2-го типу – 2 години та 4 години у першому та другому цехах відповідно. Цех А може працювати не більше ніж 145 годин за місяць, а цех В – не більше, ніж 130 годин. За кожну деталь першого типу завод отримує 350 грн, а другого типу – 200 грн. Яким може бути найбільший прибуток заводу за місяць?

Розв’язання. Нехай - кількість деталей 1-го типу, вироблених заводом за місяць, а - кількість деталей 2-го типу, вироблених заводом за місяць. Тоді, треба знайти найбільше значення функції , якщо виконуються умови додатні числа. Будуємо графіки рівнянь , та знаходимо точки перетину даних графіків: . В отриманій області ОАВС найбільше значення треба шукати у кутових точках, але х та у – цілі числа, тоді найбільше значення шукаємо у точках, найближчих до кутових, координати яких є цілими, додатними числами і які належать даній області. , , . Найбільший прибуток 9600.

3. З довільної точки круглого більярдного столу випущено кулю. Доведіть, що всередині столу знайдеться таке коло, що траєкторія кулі її жодного разу не перетне.

Розв’язання

При відбиванні від "круглої стінки" кут падіння кулі (тобто кут між ланкою і перпендикуляром до дотичної до кола більярду в точці падіння кулі) дорівнює куту відбивання (тобто кут між наступною ланкою і тим же перпендикуляром). В такому випадку відстань від центру кола до ланки ламаної з траєкторії не змінюється.

Якщо ця відстань R>0, то підійде будь-яке коло з центром в центрі більярдного столу і радіусом r<R, наприклад r = R/2.

Якщо ж R=0, то траєкторією кулі є один з діаметрів столу, весь інший простір столу є вільним, тому там можна розмістити довільне коло.

4. Знайти всі пари чисел x та y, які задовольняють рівняння .

Розв’язання

Розглянемо ліву частину цього рівняння. Скориставшись нерівністю , справедливою для довільних і , отримаємо нерівність , причому рівність досягається лише при .

Далі як сума двох взаємно обернених додатніх величин, причому рівність досягається лише при .

Таким чином, ліва частина рівняння більша або рівна 4, причому дорівнює 4 лише при виконанні умов та .

З іншого боку і права частина рівняння менша або рівна 4.

Таким чином, дане рівняння виконується тоді і тільки тоді, коли кожна частина рівняння дорівнює 4, що еквівалентно системі:

З перших двох рівнянь , тобто , , звідки , , де .

З усіх, отриманих таким чином, пар значень для і , розв’язок даного рівняння утворюють тільки ті, при яких виконується третє рівняння системи.

Маємо

Тоді з розв’язків перших двох рівнянь системи, потрібно взяти такі пари і , для яких сума парна, тобто , де .

Отже, розв’язками даного рівняння будуть пари і виду:

, , де .

5. На дошці написані три натуральних числа x, y, z. Миколка записує на папір добуток будь-яких двох з цих чисел, а на дошці зменшує третє число на 1. З новими трьома числами, що записані на дошці, він знову проробляє ту ж операцію, і т. д. до тих пір, поки одне з чисел на дошці не стане рівним нулю. Чому в цей момент, дорівнюватиме сума чисел, записаних Миколкою на папері?

Розв’язання

Відповідь: xyz.

1) Добуток трьох чисел, записаних на дошці, щоразу зменшується на величину рівну добутку двох обраних чисел, тобто числа, записаного на папері. В момент, коли одне з чисел стає рівним нулю, добуток трьох теж дорівнює нулю. Отже, в цей момент, сума всіх виписаних чисел, дорівнює добутку початкових чисел x, y, z.

2) Розглянемо паралелепіпед з вимірами x, y, z. На кожному кроці ми «відрізаємо» від нього паралелепіпед товщиною 1 і об’ємом, який записує Миколка на папері. Процес закінчиться, коли «відріжемо» останній шар. В цей момент, на папері буде записано об’єм вихідного паралелепіпеда, тобто xyz.

6. Довести нерівність для всіх , .

Розв’язання

Скористаємось методом математичної індукції.

1) При отримуємо правильну нерівність або .

2) Індуктивний перехід. Нехай . Нам потрібно довести, що .

Виконаємо ділення обох частин нерівності на .

Маємо або

чи

.

Враховуючи припущення індукції та результат скорочення , маємо нерівність . Поділимо обидві частини нерівності на і отримаємо очевидну нерівність оскільки в лівій частині кожен множник більший ніж , а їх кількість в обох частинах однакова.

7. Чи існує 2012 послідовних натуральних чисел, кожне з яких складене (має більше ніж два дільники)?

Розв’язання

Так.

Це можуть бути числа 2013!+2, 2013!+3, 2013!+4, … 2013!+2013.

Перше з цих чисел ділиться на 2, друге на 3, і т. д. Останнє ділиться на 2013, а всього їх є 2012 шт.

8. Два павуки сидять у одній вершині куба, муха сидить у протилежній вершині. Павуки та муха можуть рухатись вздовж ребер куба з однаковими швидкостями. У будь-який момент часу павуки та муха знають розташування одне одного. Доведіть, що якщо павуки будуть рухатись узгоджено, то вони з’їдять муху.

Розв’язання

Нехай павуки в початковий момент сидять у вершині A, муха – у вершині С1. Перший павук рухається центрально-симетрично до руху мухи відносно центра кубу, поки муха не досягне середини P, M, K одного з ребер, що виходять з вершини С1. Наприклад муха досягла точки M, тоді перший павук починає рухатись симетрично рухам мухи відносно площини BDD1B1. Цей павук з’їсть муху, якщо вона попаде у одну з вершин B, D, B1, D1.

Якщо вона туди не потрапляє, то маршрут її рухів – це ламана, яка складається з ланки C С1 та двох пар ланок, які виходять з вершин C та С1. Тоді стратегія руху другого павука така – він повзе у напрямі вершини С1, а далі, очевидно, як він може її наздогнати (або вона досягне точки де її дожене перший павук. Якщо муха не досягає точок P, K, M, то вона рухається по ребрах С1B1, С1D1, С1C, не доходячи до середини. Тоді другому павуку достатньо просто дістатись до вершини С1 i подальша стратегія очевидна.

9. Дано рівняння , в якому – невідома, а та – координати деякої точки координатної площини. Розв’яжіть наступні завдання:

а) Для яких положень точки дане рівняння має лише один не кратний корінь?

б) Побудуйте лінію, для всіх точок якої і тільки для таких точок дане рівняння має один двократний корінь.

в) Знайдіть множину всіх точок , для координат яких дане рівняння має різні дійсні корені.

г) Знайдіть геометричне місце точок , для кожної з яких дане рівняння має корінь, що дорівнює 0.

Розв’язання

а) Рівняння має лише один не кратний корінь, якщо коефіцієнт при дорівнює 0, а коефіцієнт при не дорівнює 0, тобто , . Отже, геометричне місце таких точок – це вісь , крім точки .

б) Прирівняємо дискримінант до нуля або . Це рівняння кола з центром в точці і радіусом . Дане коло дотикається осі в точці , яка повинна бути виключена, бо при і рівняння розв’язків взагалі не має.

в) Для того, щоб рівняння мало дійсні і різні корені, необхідно і достатньо, щоб дискримінант даного рівняння був додатнім і виконувалась нерівність .

Тобто або . Отже, геометричним місцем точок є всі точки площини, що лежать поза колом із центром в точці і радіусом , за винятком всіх точок осі ().

г) Геометричне місце точок , для яких дане рівняння має корінь, що дорівнює 0, визначається умовою . Це рівняння прямої, паралельної осі і проходить через точку .

10. Два кола перетинаються у точках M і N, до них проведена спільна дотична, яка ближча до точки N, ніж до точки M i дотикається до першого кола у точці P i другого у точці Q. Пряма PN перетинає друге коло у точці R≠N. Довести, що MQ – бісектриса кута ÐPMR.

Розв’язання

Позначимо кути ÐPMN = α, ÐNMQ = β, ÐQMR = g, тоді ÐQPN = α, ÐPQN = β, за властивостями вписаних кутів. Аналогічно ÐQNR = g. Оскільки зовнішній кут ÐQNR дорівнює сумі двох інших внутрішніх для трикутника PNQ, то g = α + β, звідки ÐPMQ = α + β = ÐQMR, що й треба було довести.