Учебно-методический комплекс дисциплины системный анализ и принятие решений (стр. 10 )

Тема 2.5 Многокритериальные задачи принятия решений

Сущность многокритериального выбора:

К простым задачам выбора относят те, в которых известен и ясен критерий оценки эффективности. В этом случае решается прямая задача исследования операций — требуется обратить в максимум (минимум) один единственный критерий. К сожалению, на практике такие задачи встречаются не так уж часто, а когда речь идет о крупномасштабных и сложных операциях, то их эффективность, как правило, не может быть полностью охарактеризована с помощью одного единственного показателя эффективности. На помощь приходится привлекать другие дополнительные показатели. Такие задачи называются многокритериальным выбором индивидуального ЛПР. Рассмотрим примеры таких задач.

1. Предположим, необходимо выбрать кандидатуру на место главного
инженера. Чтобы определить, подходит тот или иной кандидат на эту
должность, надо рассмотреть следующие требования: деловая компетенция,
опыт работы, чувство ответственности, организаторские способности, возраст и
т. д.

2. При покупке автомобиля вы выводите часть критериев, исходя из
свойств самого приобретаемого объекта, например, вместимость, мощность
двигателя, комфорт, обеспеченность запасными частями и, конечно, стоимость.

3. Пример задачи, которую вы решаете каждый день, когда спешите в
университет на занятия: каким транспортным средством ехать? Какие критерии
принимать во внимание? Стоимость проезда, скорость, возможность застрять в
«дорожной пробке» и т. д.

4. По условиям деловой игры, приведенной в Приложении к данному
пособию, при распределении нового автомобиля между членами группы
работников необходимо учитывать такие показатели, как стаж работы, возраст
и состояние автомобиля, необходимость выезда за город и т. д.

Примеров можно привести много. Такая множественность показателей эффективности, из которых одни желательно обратить в максимум, а другие в минимум характерны почти для любой сложной задачи принятия решения.

Спрашивается: можно ли найти решение, одновременно удовлетворяющее всем этим требованиям. Ответим откровенно, нет. Решение, обращающее в максимум какой-то один показатель, как правило, не обращает ни в максимум, ни в минимум другие. Поэтому часто применяемая формулировка — «достигнуть максимального эффекта при минимальных затратах» — это всего лишь фраза и при научном анализе должна быть отброшена. Как быть в случае, когда все же приходится оценивать эффективность по нескольким показателям? Что предлагает теория принятия решений? Сам процесс выбора того или иного подхода представляет собой целенаправленное действие, которое мы хотим оптимизировать.

Многокритериальные задачи можно решать путем сравнения многокритериальных альтернатив и для этого можно выбрать один из предлагаемых в п. 5.4 способов. Однако для того, чтобы ими воспользоваться, необходимо предварительно решить следующие задачи:

- определить приоритеты или коэффициенты относительной важности
частных показателей;

- определить правила или приемы сведения всей совокупности
показателей к единой шкале для случая, если среди частных показателей
встречаются и количественные, и качественные, а также разные по размерности
показатели.

Способы определения коэффициентов относительной важности показателей:

При сравнении и выборе вариантов (альтернатив) решений часть показателей или критериев имеет большую важность (могут быть более приоритетными), а часть — меньшую (могут быть менее приоритетными), а некоторые вообще могут не учитываться. Именно системный подход помогает решить эту проблему, так как особенностью системного анализа является подход к аналитическому сопоставлению альтернатив с использованием субъективных суждений.

Величины, показывающие степень важности (приоритетности) одних показателей или критериев задачи принятия решений перед другими будем называть коэффициентами относительной важности, или весовыми коэффициентами.

В процессе принятия решений коэффициенты относительной важности могут различаться и со временем существенно меняться. Поэтому надо указывать или отмечать период действия этих коэффициентов. Информация о коэффициентах относительной важности существенна при формировании критериев выбора наилучшего варианта решения. В Приложении к настоящему пособию приведено описание деловой игры, из содержания которой видно, что выявление приоритетов среди таких показателей, как стаж работы, возраст и состояние автомобиля и необходимость выезда загород представляет один из основных этапов на пути выработки коллективного решения.

Будем обозначать коэффициент относительной важности буквой ωi, i = 1, ..., I, где I — номер последнего показателя (критерия). Формализация важностей (приоритетов) может быть осуществлена путем экспертных оценок, для которых необходима определенная организация проведения экспертиз.

Сформулируем ряд предположений.

Во-первых, будем считать, что показателям, или критериям, соответствуют определенные коэффициенты важности, численные значения которых меньше единицы ωi ≤ 1.

Во-вторых, эти величины не могут быть отрицательными ωi ≥ 0.

В-третьих, сумма коэффициентов относительной важности всех показателей равна единице (свойство нормирования).

Экспертное определение коэффициентов относительной важности показателей решения осуществляется поэтапно для каждого показателя. Например, важности показателей из деловой игры: стаж работы, возраст и состояние автомобиля, необходимость выезда в пригород также определяются последовательно.

Вся процедура определения коэффициентов важности показателей будет состоять из трех этапов:

- определения приоритетов по какой-либо шкале (10-балльная,
5-балльная или др.);

- формирования вектора приоритетов показателей решения, элементами
которого являются экспертные значения в баллах по принятой шкале;

- нормирования.

Рассмотрим два из возможных способов определения коэффициентов относительной важности.

1. Способ одного эксперта

Составляется перечень показателей, для которых необходимо определить весовые коэффициенты. Выбирается подходящая шкала и против каждого показателя записывается значение Oi, i = 1, …, I, по этой шкале в количественной или качественной форме, соответствующей суждению эксперта относительно приоритетности этого показателя. Затем, если суждения качественные, то осуществляется перевод в количественную форму, например по шкале Харрингтона.

Затем складываются все баллы, и для определения коэффициента относительной важности i-го показателя каждую оценку Oi делят на сумму баллов, т. е.

При необходимости получения приоритетного ряда рекомендуется расположить показатели по убыванию коэффициентов относительной важности.

Пример. Составим перечень показателей, используемых в деловой игре (см. Приложение) и определим их приоритеты и коэффициенты относительной важности.

Допустим, что эксперты (в их качестве выступали студенты) подготовили ЛПР (менеджеру) следующий перечень характеристик:

- стаж работы члена бригады;

- возраст автомобиля;

- состояние автомобиля;

- необходимость работы за городом.

В результате ранжирования был определен следующий приоритетный ряд: состояние автомобиля, стаж работы, возраст автомобиля, необходимость работы в пригороде, и характеристикам присвоены значения по пятибалльной шкале. Для данного примера суждения студентов совпали, и они выступили как индивидуальное лицо, принимающее решение.

Значения приоритетов и значения коэффициентов относительной важности представлены в следующей таблице.

2. Групповая экспертиза

При принятии важного решения, как правило, возникают разногласия. Одним из наиболее распространенных и простых приемов их устранения является усреднение результатов, полученных разными экспертами в группе. Каждым экспертом должна быть выполнена процедура по первому способу. Величины вектора коэффициентов важности, полученные каждым экспертом нужно сложить и разделить на число экспертов, т. е.:

где ωin — значение коэффициента относительной важности, полученного экспертом с номером n,аN— число экспертов.

В рассмотренном выше примере группа студентов оказалась единогласной в выборе приоритетов показателей рассматриваемой задачи принятия решения, и соответственно, групповые значения коэффициентов относительной важности совпали с суждением по способу одного эксперта.

Способ сведения качественных и разных по размерности показателей к единой шкале:

Задачу сравнения альтернатив, характеризующихся несколькими показателями, можно упростить, если предварительно показатели привести к безразмерному и нормированному виду. Если часть показателей приведена в качественном виде, то можно воспользоваться шкалой Харрингтона или другой вербально-числовой шкалой. Оценки показателей, полученные путем преобразования по шкале Харрингтона, имеют значения не больше единицы. Под нормированием понимают переход к универсальному масштабу значений. Обычно нормируют в шкале [0,1] или [0,100]. Для реализации процедуры нормирования можно воспользоваться следующим приемом. Для каждого показателя по рассматриваемым альтернативам определяются минимальные и максимальные значения.

Если обозначить через vli исходное значение i-го показателя в l-й альтернативе (варианте), тогда относительное (нормированное) значение показателя, которое обозначим yli, будет определяться по следующим формулам:

альтернативам.

Формула (5.3.1) для варианта, когда оптимальное значение показателя соответствует наибольшему значению. Формула (5.3.2) для варианта, когда оптимальное значение показателя соответствует наименьшему значению.

Этот способ позволяет привести численные значения показателей к безразмерному виду в шкале [0,1].

Приведем в качестве примера две таблицы, исходные данные для которых взяты из описания деловой игры (см. Приложение), в табл. 5.3.1 приведены исходные значения показателей, в табл. 5.3.2 — нормированные значения, рассчитанные с помощью приведенной выше формулы.

Приведенные способы определения приоритетов или коэффициентов важности для частных показателей могут быть использованы и для определения важности других элементов задачи принятия решений, например, целей.

Способы сравнения альтернатив:

Когда все показатели приведены к нормированному виду, можно приступить к основному этапу на пути сравнения альтернатив — к выбору способа сравнения, приводящему к определению наилучшей альтернативы из множества возможных.

Рассмотрим основные подходы.

1. Метод построения обобщенного критерия состоит в том, что из
множества критериев выбирается один в качестве основного (главного), все
остальные рассматриваются как ограничения. Ранжирование критериев и
определение наиболее приоритетного может быть основанием для реализации
задачи принятия решения по данному способу. Например, если бы в деловой
игре в качестве основного был принят первый показатель — стаж работы в
компании, и на показатель «возраст авто» было бы наложено ограничение,
например 3 года, то можно было бы сразу в качестве лучшего решения принять
вариант 2.

2. Введение некоего обобщенного показателя W, представляющего собой
«взвешенную сумму» частных показателей yi (i =1,…,I), в которую каждый из
них входит с каким-то «весом» ωi, отражающим его важность, представим
следующей формулой:

w = ∑ωi -yt, где I— число частных показателей.

i=1

Весовые коэффициенты могут меняться в зависимости от ситуации.

Пример. Человек выходит из дома, боится опоздать на работу и размышляет, каким транспортом воспользоваться:

1) автобус — быстрее, но с большими интервалами;

2) такси, но это обойдется дорого;

3) часть пути можно проехать на метро, а затем взять такси.

Задача принятия решения сводится к двум показателям:

Первый ut — среднее ожидаемое время, которое хотелось бы

минимизировать; второй иc — стоимость проезда, ее желательно

минимизировать. Но эти требования несовместимы, человек должен принять

компромиссное решение. Обобщенный показатель будет иметь следующий вид:

Весовые коэффициенты ωt, ωc зависят от времени и денег, которые имеются у человека, и зависят от ситуации, в которой он находится. Если человек уже получил выговор от начальника за опоздание, то весовой коэффициент времени у него увеличится, а весовой коэффициент стоимости уменьшится. Однако на следующий день после заработной платы будет наоборот. Если назначать «веса» произвольно, то столь же произвольным будет и вытекающее отсюда оптимальное решение. Здесь мы встречаемся с типичным для подобных ситуаций приемом — «переносом произвола из одной инстанции в другую». Как пишет : «Нечего надеяться полностью избавиться от субъективности в задачах, связанных с выбором решений. Даже в простейших, однокритериальных задачах она неизбежно присутствует, хотя бы в выборе показателя и математической модели». Тем более, неизбежна субъективность в задачах со многими критериями, что следует из системного анализа.

В качестве иллюстрации метода приведем расчеты по примеру из деловой игры на основании данных из табл. 3. Обобщенный показатель для каждой альтернативы (варианта) будет определяться по следующим формулам:

На основе полученных результатов наибольшее значение обобщенного показателя соответствует альтернативе B3. Поэтому наилучшим выбором будет передача нового автомобиля «Шевроле» работнику по имени Иван.

3. Выбор наилучшего решения из эффективных «паретовских» решений.

Рассмотрим суть данного подхода. Пусть имеется многокритериальная задача с несколькими критериями, т. е. W = (y1, y2,... yI). Для простоты предположим, что все их необходимо максимизировать. Пусть в составе множества возможных решений есть такие, что все критерии для первого решения больше или равны соответствующим критериям для второго решения. Если рассмотреть альтернативы из деловой игры, то имеем следующие варианты:

Например, сравнение варианта 3 и варианта 4, показывает, что по первым двум показателям третий вариант превосходит четвертый, однако по третьему показателю условие превосходства не выполняется:

Очевидно, что в составе множества решений нет смысла оставлять вариант 5, так как он не представляется перспективным, и поэтому этот вариант вытесняется или, как говорят, «доминируется», соответственно вариантом 2. Вариант 5 является неконкурентоспособным. В результате описанной процедуры отбрасываются непригодные варианты (решения), множество оставшихся решений уменьшается, и в нем сохраняются так называемые «эффективные», или «паретовские», решения, характерные тем, что ни у одного из них не существует доминирующего решения. Анализ вариантов возможных решений деловой игры показывает, что такими «паретовскими», недоминируемыми, вариантами являются первые четыре варианта — B1, B2, B3, В4 (см. табл. 3.). В приведенном примере множество возможных решений сократилось только на единицу, но возможны задачи, в которых число неэффективных вариантов может быть значительно больше.

Таким образом, множество Парето содержит только те варианты, которые не доминируются другими вариантами. После того как получены «паретовские» варианты, можно воспользоваться первым приемом сведения к обобщенному показателю уже только для недоминируемых вариантов.

4. Построение обобщенного критерия основано на определении качества альтернатив как расстояния между некой «идеальной» и рассматриваемой альтернативой. В качестве идеальной обычно принимается альтернатива, которой соответствуют наилучшие значения по всем показателям.

Наилучшим (целесообразным) по такому правилу будем считать вариант, у которого расстояние в пространстве координат, определяемое разностью показателей до «идеала» среди всех рассматриваемых альтернатив, минимально. Расстояние измеряется как корень квадратный из суммы квадратов разности координат идеала и сравниваемого варианта, либо как разница показателей «идеала» и сравниваемой альтернативы. Та альтернатива, у которой сумма расстояний до «идеального» варианта будем минимальна, считается наилучшей.

В качестве сравниваемых вариантов следует брать недоминируемые варианты.

Расчеты по этому способу несложны, правила позволяют учитывать любые количественные и формализованные качественные характеристики. Следует только предварительно преобразовывать критерии к одной шкале. Если это не сделать, то в различных масштабах будут и различные расстояния. Для этого подойдут описанные выше способы нормирования показателей, т. е. приведения их к шкале: [0, 1]. Проиллюстрируем на примере по данным деловой игры, описанном в предыдущих пунктах. В п. 5.4.2 были получены недоминируемые варианты:

Определим «идеальный» вариант Bид = (0.37; 0.26; 0.2; 1). Проводим сравнение каждого варианта с «идеальным» и определяем значения по следующей формуле:

Оптимальным будет считаться тот вариант, который ближе к «идеальному», т. е. определяется min(∆Wl) по всем вариантам.